从中间问题入手引导小学生数形转化

王浩 王艳

数学家华罗庚曾说过，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形是数学中两个最古老也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。学数学就是学方法，数学方法是数学思想的具体化反映，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学课程标准也明确指出，要“通过数学的学习与探究，培养和提升学生的数学素养”。考察一个学生的数学素养，要看他能否在数学思想的指导下，采用数学方法与策略解决数学问题。所以教师在课堂教学中，应提炼数学知识中蕴含的数学思想、方法及策略。下面结合义务教育课程标准试验教科书（人教版）小学数学五年级上册的课例，谈谈如何从中间问题入手，让学生体会数形转化的数学思想并掌握数形转化的方法。

一、创設情境，将数变形

数学来源于生活，又服务于生活，数学的工具性特点决定了数学独特的抽象性和概括性。数学家或数学教育者截取生活中的某一个画面，结合数学知识，使其成为情境图。这种情境图往往具有浓郁的生活气息，使学生感到亲切自然，能唤醒学生的生活经验，体现数学的实用价值。但数学本身又具有符号性的特点，如果没有对情境图进行数形转化的过程，只会使学生停留在片段的情境中，不能形成抽象概括能力，不利于掌握解决问题的方法。因此，教师要引导学生根据情境图进行数形转化，将形象的实物图形抽象成数学模型或数学符号，这也是数学教师要探究的教学方法和教学策略。

基于以上认识，笔者在设计用小数的除法解决问题时，首先让学生感知情境图，收集情境图中所给予的已知数学信息，并找出要解决的问题。例如已知信息是“220.5千克的产奶量是上周3头奶牛的”，问题是“平均每头奶牛每天的产奶量是多少千克？”要让学生抓住问题进行分析：平均分的是什么？分给了谁？怎么分的？学生根据情境图的信息，马上就能说出：分的是上周产奶量，平均分给了3头奶牛。教师继续因势利导：你能画出一个图表示题目的意思吗？学生经过小组合作探讨后画出了两种示意图（见图1）。

学生利用自己的生活经验完成了数形的转化。之后教师让学生说一说图画代表的意思，并给予恰当的评价鼓励。然后对比两幅图哪一幅更简洁一些，再进行优化。在学生普遍认为右图更简洁的情况下，教师让学生利用课前准备好的学具——21厘米长的纸条，将其折成3等份，每一份代表一头奶牛上周的产奶量，然后适当引导：如果把长方形纸条变成一条线段，你能用点表示出上周每一头奶牛的产奶量吗？这样，学生就能化繁为简，完成3头奶牛上周产奶量的线段图，使数转化为形。

二、数形分析，提出中间问题

数与形的转化是解决实际应用问题的重要途径。数与形转化能力的培养和形成不是短期内一下子完成的，必须结合具体内容系统地、有针对性地、循序渐进地开展。数形转化思想也不是靠简单的画图就能实现，而是要渐进地渗透，应根据所学数学知识与实际问题的联系，在教学中逐渐培养。本例中数形对应的建构，克服了学生在思考抽象文字时遇到的阻碍，使问题更形象具体，同时也使学生学会了一种解决问题的方法——画图。在图示的指导下，教师再问：“根据你的线段图或折分的纸条，你能提出什么问题？”学生很容易就会提出“上周每头奶牛的产奶量是多少千克？”的问题。这样就抓住了本节课的重点，即中间问题。中间问题的提出，为解决最终问题扫清了障碍。学生利用已有知识——平均分的除法意义，列出算式，对中间问题进行了解答。在此基础上，教师再让学生对比“我们提出的问题和解决的问题与题目要求解决的问题一样吗？”学生通过认真观察与讨论，发现刚刚求出的是上周每头奶牛的产奶量，而并非平均每头奶牛每天的产奶量。教师此时可以引导学生审题后回答：上周是多少天呢？平均每头奶牛每天产奶多少千克是什么意思？在学生明确了上周是7天后，再让学生通过纸条，找出一头奶牛上周的产奶量，再动手折纸平均分到7天里（见图2）。学生思考与动手操作后，就能够说出：平均每头奶牛每天的产奶多少千克，只要把上周一头奶牛的产奶量平均分到7天里，就是一头奶牛一天的产奶量。

然后教师再让学生回到线段图上，找到哪一部分是一头奶牛上周的产奶量，再把它平均分成7份，就找到了一头奶牛一天的产奶量，从而使数形一一对应起来。这样分层递进，就构建了数形结合解决问题的策略体系。最后列式解答，让学生思考并练习如何将连除问题还原成连乘问题进行验算，使学生养成科学的态度和验证习惯。

三、数形结合，发散学生思维

学生理解了数形结合解决问题的策略后，教师应该利用这种思想方法培养学生发散思维，引导学生从不同角度思考问题，培养思维的灵活性、敏捷性和深刻性。如教师在本例第一种方法完成以后，接着鼓励学生思考：除了把3头奶牛上周的产奶量先平均分给3头奶牛外，你们还可以先算什么？让学生通过小组合作，利用线段图边画边探讨。学生画出了如图3所示的几种不同的线段。

（1）先求3头奶牛一天的产奶量，再求一头奶牛一天的产奶量

（2）先求上周的产奶量相当于多少头奶牛一天的产奶量， 再求一头奶牛一天的产奶量

（3）先求一头奶牛多少天能产220.5千克奶，再求一头奶牛一天的产奶量

数形结合可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。通过对数形结合思想方法的分析，教师采用“一画（自由画）、二折（平均分）、三讨论、四抽象（建立模型，规范线段图）、五对应（数形对应，表明条件问题）、六列式、七解答、八验证”八个环节，发展学生数形结合的思想，培养学生的发散思维能力，对学生深刻理解数学知识、提高创造性地解决数学问题的能力起到了促进作用。同时，也有利于提高学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，使他们真切地感受到数学的有趣和有用。