浅谈类比推理在高中数学解题中的应用

◎崔冬林

与高中教育中的其他学科相比，数学知识的学习难度相对较高。因此，我们在高中数学考试中常常会遇到考试时间不够用的问题。类比推理法在解答高中数学题目方面存在着显著的优势，为了实现提升解题效率目的，我们可以尝试利用类比推理法解答相关高中数学问题。

一、类比推理

1.类比推理法的概念 高中数学教学中，类比推理一般是比较不同知识内容，找出他们的相同点与不同点。应用类比推理方法寻找两类对象的相通属性，进而逐渐推理其他相通点，举一反三。这样一来，学生就会掌握两种数学概念知识结构并构成严谨、缜密的逻辑思维，扩散思维。

类比推理方法对高中数学解题具有重要作用，即：提升推理能力、发展抽象思维、起到思维启迪的作用。第一，应用类比推理方法解题过程中，可以将散碎的知识点综合在一起，构成明确的数学知识概念结构，便于学生理解与知识掌握，了解推理方法便于总结经验，学以致用。第二，因为数学课程中一些知识点较为抽象，使得想要完全理解具有一定难度，比如：向量、函数。应用类比推理解题有助于将抽象的数学知识内容转为具象化。第三，应用类比解题方法也能够扩大自身知识结构，调动学习积极性与反映能力。

这种方法是指，已知某种事物存在一种属性，进而通过推测分析出与该事物相似的其他事物也存在这种属性的比较过程。

2.类比推理法的种类 在高中数学解题过程中，可用的类比推理法主要包含以下几种：

（1）普遍性类比推理法。这种类比推理方法可被应用在以下两种不同的环境中：第一，某一参考依据对象中不存在某种情况，则可以利用其推理出另一中对象也不存在该情况。第二，某一参考依据对象中存在某种情况，则可以利用该对象推理出另一对象中同样存在这一情况［1］。

（2）个别性类比推理法。这种类比推理方法是指：将某种个别对象作为参照依据，进行利用该对象推测出其他对象同样包含参照依据对象某种属性或特点的结论。

二、类比推理在高中数学解题中的应用

这里主要从以下几方面入手，对类比推理在高中数学解题中的应用进行分析：

1.函数方面 例题：设f（x）为定义Q上的函数，且该函数的图像关于直线x=p、x=o对称。根据上述条件，请将f（x）是否属于周期函数确定出来，并分析理由。

对于我们高中生来说，如果单纯利用已知条件进行求解，则整个分析过程会产生大量的计算量，且较容易得出错误的推理结果。相比之下，类比推理法的应用可以简化这道函数题目的难度，并从一定程度上提升分析结果的正确性［2］。

基于类比推理法的分析流程如下：

在x=p、o这两种对称轴，可以将函数y=f（x）作为参照对象，将该对象与y=sinx进行对比。就对比对象而言，函数y=sinx的对称轴分别为x=-以及x=。对比对象函数在这两条对称轴的的周期相同，同为2π（刚好为两条对称轴数值绝对值之和的二倍）。利用这种情况对函数y=f（x）进行推理，可得：函数y=f（x）屬于周期函数，且该函数的对称周期为2（p-o）。

利用题目中的已知条件可得，f（x）=f（2p-x）、f（x）=f（2o-x）。

所以 f（2p-x）=f［2o-（2p-x）］=f（2o-2p+x），因此可得：

f（x）=f（2p-x）=f（2o-2p+x），即函数f（x）属于周期函数，其周期为2（p-o）。

2.平面到空间方面 例题：勾股定理中指出：某直角三角形△ABC的直角位于边长AB与AC之间，此时，该三角形的边长存在AB2+AC2=BC2关系。该关系是在平面基础上得出的，请在空间层面上验证勾股定理是否成立，如果成立，三棱锥A-BCD中的面积关系是什么？

平面与空间之间存在本质性区别，因此，我们在面对这道问题时通常无法找到正确的解题思路。针对这种现象，可以将类比推理法应用在实际的解答过程中。类比推理流程如下：

首先分析平面与空间之间的区别：可以将平面中的点看成是空间中的线；可以将平面中的线看成是空间中的面；将平面中的三角形、平行四边形分别看成空间层面中的四面体、平行六面体；将平面中的平面向量看成是空间中的空间向量。当得出上述对应关系之后，可以将三角形中的边长关系转化成面积关系，进而得出推理结果。

3.数列方面 例题：设函数f（x）=。请利用高中数学教材中等差数列的相关推理知识，将下列函数关系的最终数值确定出来：f（-5）+f（-4）+f（-3）+…… +f（0）+…… +f（3）+f（4）+f（5）+f（6）。

这道题目的类比推理参照依据为等差数列前n项和公式。由于该公式是通过倒序相加的方式得到的，因此，这道题目中的函数关系也可以利用这种方式进行推理。

结合等差数列前n项和公式的获得方式，可以将f（-5）+f（-4）+f（-3）+…… +f（0）+…… +f（3）+f（4）+f（5）+f（6）推理转换成［f（0）+f（1）］+［f（-5）+f（6）］……

此时，如果x1与x2之和为1，则可以将这两个数值的函数之和推理成：

f（x2）+f（x1）=+=。

结合上述推理结果，可以将题目中的函数关系计算为6X=3（利用前n项和公式的推理方法将题目中的函数关系转化成6组不同的函数关系）。

结论：对于我们高中生而言，类比推理方法可以帮助我们快速根据高中数学题目找到便于计算的解题思路，进而高质量完成数学题目的解答。与其他方法相比，类比推理方法的应用优势主要体现在促进旧知识向新知识的迁移以及降低数学题目难度等多种方面。从本质角度来讲，该方法的应用可以提升我们的解题效率和质量。

［1］陈诚.类比推理在高中数学教学实践中的应用研究［D］.陕西师范大学，2012.

［2］孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用［D］.辽宁师范大学，2012.