“二进制数和五进制数”教学实录及评析

◇执教/沈 强 评析/王建良

教学内容：

数学绘本《二进制数》和《五进制》。

教学过程：

一、课前谈话，提出数学问题

师：同学们，我们所用的阿拉伯数字一共有几个？

生：10个。

师：世界上的数有那么多，为什么只有10个数字符号呢？

生：因为可以用数字和数字组合在一起。

生：因为我们是满十进一。

（生阅读绘本，了解数的起源）

[评析]数学是一门奇妙的学科，10个阿拉伯数字可以组成无数个数，背后的道理是什么呢？开门见山，揭示了本课学习的目标。

二、出示挑战性问题，学习五进制计数法

1.出示挑战性问题，初步认识五进制计数法。

师：在这本绘本中，有这么一幅图（如图1），这两个数居然是相等的，这是怎么回事？

图1

生：可能左边是31个樱桃，右边是16个苹果。

师：你觉得可能是两种水果，它们的质量一样，但书中是指物体的个数一样多，这是为什么呢？

（学生思考中，但没有学生举手回答。师出示五进制、十进制，如图2）

师：原来是它们的计数方法不同，哪种计数法你们比较熟悉？

生：十进制。

师：（出示16颗弹珠，如图2）16里的1和6分别表示多少？

图2

生：1表示1个十，6表示6个一。

师：既然是相等的，那么五进制应该也有16颗弹珠（出示左边的16颗弹珠）。刚才是10个一圈的，那么五进制是几个一圈呢？

生：5个一圈。

师：现在你知道31里的3和1分别表示多少了吗？

生：3表示3个五，1表示1个一。

师：3乘5加上1，是16，所以十进制的16和五进制的31，所表示的数量是相等的。为了和十进制区分开来，我们把五进制的31读作：三一，记作31（5）。

[评析]“31”和“16”相等，在学生眼中是不可能的。正是这一具有挑战性的问题，激起了学生探究的欲望。教师在设问后，给予了学生足够的思考时间。但在一般情况下，学生很难想到这是用两种不同进制表示的数。事实上教师也并不期待学生能说出这一答案。当教师补充呈现信息“16是十进制数，31是五进制数”后，学生的思维闸门瞬间打开。十进制是学生已经熟悉的常用计数方法，五进制或许是学生第一次接触，但以十进制类推，结合图示，学生很快就把握住了五进制是“五个五个数”的数学本质。

2.巩固练习，巩固读写和计数单位。

师：这里有一些弹珠，用十进制表示是23，那用五进制表示会是多少呢？请在练习纸上圈一圈，把它写下来。（如图3）

图3

［呈现学生的作品：用五进制表示是43（5），读作：四三］

师：这里的4和3分别表示多少？

生：4表示4个五，3表示3个一。

[评析]教学需要适度的反复，以上教学过程是加深学生对五进制“5个5个数”这一属性认识的过程。

3.设置认知冲突，进一步认识五进制计数法。

师：这里一共有32颗弹珠，如果用五进制表示，会是哪个数呢？请在练习纸上圈一圈，把它写下来。（如图4）

图4

师：你的答案是多少？

生1：62（5）。

生2：62（5）。

……

师：答案是六二的举手。

（全班都举手）

师：但我告诉你，绘本上的答案不是62（5），问题出在哪里？

（生思考片刻，四人小组交流）

生：五进制是满五进一，十位上是6，满5了。

生：十位上的6，应该向百位进一，应该是112（5）。

师：刚才两位同学所说的，谁听懂了？

(学生复述)

师：在十进制计数法里，从右往左依次是个位、十位、百位，在五进制计数法里，我们就说右起第一位、第二位、第三位……

[评析]3个五、1个一，用五进制表示是31（5），4个五、3个一，用五进制表示是43（5）。根据前面的学习经验，当面对“6个五、2个一”用五进制表示时，所有学生的答案都是62（5），而62（5）是一个错误的答案。一石激起千层浪，这时教师适时地安排了学生独立思考与小组讨论，给学生进入深入思维状态提供了时间和空间。从一个学生的顿悟到小组学生的发现，似乎可以听到学生思维拔节生长的声音。

师：刚才这道题，一开始全班同学都认为是62（5），看来都掉进了陷阱，说明我们有必要对五进制计数法重新认识。

（课件出示计数器。逐个出示1～4个弹珠，让学生口答。当出示5个弹珠时，让学生记在本子上，如图5）

图5

生：10（5）（读作一零）。

师：你知道这里的1表示1个几吗？

生：表示1个五。

（师板书：满五进一。5个5个呈现，让学生口答。当呈现25个时，让学生写一写）

生：100（5）（读作一零零）。

师：你知道这里的1表示1个几吗？

生：1个百。

生：1个五十。

师：看来，这个问题有点难，请四人小组讨论一下。

生：1表示1个二十五。

师：你怎么知道的？

生：因为有5个五，所以是二十五。

生：还可以从图上看出来，正好圈了25颗弹珠。

师：你们观察得很仔细。刚才我们发现五进制右边起第一位的计数单位是一，第二位的计数单位是五，第三位的计数单位是二十五，那你知道第四位的计数单位会是多少吗？同桌讨论一下。

生：我觉得是一百二十五。

生：我也认为是一百二十五，我发现每次都乘5。

师：你们太厉害了，五进制相邻的计数单位进率都是5。

［课件继续呈现弹珠，累加下去，直到32颗弹珠全部完成，用五进制表示是112（5）］

师：在刚才的学习过程中，你发现五进制用到了哪几个数字？

生：用到0、1、2、3、4，用到5个数字。

师：为什么没有5呢？

生：因为到5就满五该进一了，所以5用不着。

[评析]学生要接受十进制“满十进一”、五进制“满五进一”并不困难，但要真正理解在用不同进位制表示数时，不同数位上的数字表示不同的值，却是件不容易的事。教师通过弹珠图与计数器的对照，遇到5颗、25颗时还让学生用五进制计数法写一写，同学之间议一议，这是有意识地延长学生的体验过程，帮助学生建构五进制数的计数单位。

三、在五进制学习的基础上，认识二进制计数法

师：通过刚才的学习，你有什么收获？

生：我知道了五进制计数法是满五进一。

生：我还知道五进制计数法只用到数字0、1、2、3、4。

师：你还有什么问题？

生：数学上除了十进制和五进制，还有几进制计数法？

师：问得真好，还有几进制计数法，你们谁知道？

生：二进制。

生：十二进制、二十四进制。

生：六进制、七进制、八进制……

师：看来大家数学课外知识很丰富。那我们选二进制来研究一下吧。请你根据刚才的学习，想一想：二进制会是满几进一？会用到哪几个数字？每个数位上的计数单位又分别是多少？

图6

（学生思考后同桌交流）

师：谁来说一说你的想法？

生：是满二进一，因为十进制满十进一，五进制是满五进一，所以二进制就是满二进一。

生：会用到0、1，因为十进制用到的数字是0～9，五进制是0～4，那么二进制应该是0～1。

生：二进制的计数单位是一、二、四、六、八、十。

生：不对，应该是一、二、四、八、十六。

师：你们同意谁的？说明理由。

生：同意第二位同学的，因为十进制的计数单位，每次都乘10，五进制每次都乘5，所以二进制应该是每次都乘2。

师：同学们的推理能力都很强。那你知道二进制有什么用吗？

[播放视频：二进制在电脑中的应用（科普中国）]

[评析]由于有了十进制、五进制的学习经验，加之对于二进制学生并不完全陌生，所以很容易理解“满二进一”，也不难推理得出二进制的计数单位。

四、课堂小结和拓展

（简单介绍十二进制和六十进制）

[评析]本课教学的重点是让学生体会到用不同的进位制表示数时，计数单位不同，相同数位上的数字所表示的数值也不同。其目的并不是要求学生掌握用多种进位制来表示数，更不要求学生能熟练地进行不同进位制数之间的转换。教学的核心目标是通过其他进位制的学习，更好地认识十进制，理解计数法的基本原理——位值制和进位制。