特殊与一般思想在高中数学解题中的应用探讨

李子玥

摘要：特殊与一般是对立统一的，在人类认识活动中，常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。在多数数学问题中，特殊问题简单、直观容易认识，容易把握。但是，也有一些问题中，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简单。所以，特殊与一般不仅在科学研究中有着重要的地位和作用，而且在数学中也是经常使用的两种重要的方法，是学习和研究数学必须掌握的数学解题理论。

关键词：高中数学；特殊与一般

特殊与一般思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论的指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。

一、特殊化的思想方法

由于特殊问题的解决孕育着一般问题的解决，将一般问题特殊化是解决某些问题或探索某些解题途径的常见思想方法之一

取特殊值

例1 设函数 ，已知不论 为何实数，恒有 ，求 的值？

解：由于 ，且 恒成立，所以 .

由于 ，且 恒成立，所以

所以 ，即 ，得 。

二、一般化的思想方法

运用一般化的思想方法解题，其基本思想是：先把具体问题抽象化，然后从一般（抽象）原理出发，又回过头来解决特殊（具体）问题.也就是说将给定问题看作某个一般问题的特殊情况，先解决一般问题，原問题便解决了。

例2 求证：

证明；设 ，其中 且

因为 ，所以 ，故 是单调递增函数，因此对任意的 且 ，有 ，所以 。

所以令 ，便可得 。

说明：这里不等号左右两边的数实在是太大了，如果找不到一般化方法，将是很难证明的。

三、特殊化探路，一般化解决

有些问题要通过特殊情况探路，再经过一般情况证明，才能达到目的

例3：在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且 成等差数列， 成等比数列

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明： 。

解：（1）由条件得 ，由此可得 ，猜测 。

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立，

②假设当n=k时，结论成立，即 ，那么当n=k+1时， ， ，即结论也成立。

由①②可知 对于一切正整数都成立。

（2）提示：放缩法 ；当 时， .

综上可知，熟练掌握“特殊与一般”的思想有助于学生更好更快的解题。同时由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，通过培养学生“特殊与一般”的思想不仅能够让学生提高解题速度，还能更好的认知世界。

参考文献：

[1]童其林.特殊与一般思想在解题中的运用[J].中国数学教育，2013（3）： 42-44.

[2]朱日华.特殊与一般思想在解填空题中的应用[J].中学数学月刊，2012（10）： 53-54.

[3]倪富春.特例法在解选择题中的妙用[J].中学数学（高中版），2014（3）： 95-97.