基于最大功效积的磁谐振无线电能传输系统的PCB线圈优化设计

陈 政 闫 海 毛行奎 兰石发

（1. 福州大学电气工程与自动化学院，福州 350108；2. 古田溪水力发电厂，福建 宁德 352000）

将电能进行无线传输，是人类一直以来的梦想，自从法国物理学家赫兹发现电磁波后，美籍科学家特斯拉便提出利用电磁波携带能量实现无线电能传输的构想[1]，多年来国外的一些科学家坚持开展着这项研究，但是进展缓慢[2]，直到2007年MIT的科学家们成功在 1.9m距离外“隔空”点亮一盏 60W的灯泡[3]以来，全世界范围内掀起了一股研究无线电能传输的热潮[4-5]。

在许多应用场合，对于无线电能传输系统的PCB线圈尺寸有一定的限制，因此在有限空间下对其进行优化是很有必要的，文献[6]提出以最大效率为目标，以强耦合系数为优化函数，对PCB线圈进行优化。但优化后的线圈在效率最优的情况下，功率往往较低。文献[7]针对磁耦合谐振系统满足最大输出功率时效率比较低的情况，提出了功效积指标。

首先，本文通过对磁谐振无线电能传输系统进行建模分析，通过分析系统的输出功率和传输效率与负载、互感、频率之间的关系，得出系统无法实现对同一负载同时兼顾最大输出功率与最大传输效率两种特性，提出了以功效积为优化函数，优化PCB线圈。之后，运用Mathcad数学软件作出功效积优化函数随线圈各参数变化的曲线，通过找这些曲线的最优点初步确定线圈参数。随后，在此基础上，采用电磁场有限元分析软件Ansoft进行仿真优化设计。最后，根据优化结果制作了一组线圈，并对互感和交流电阻进行了测试，验证了该方法的正确性。

1 系统建模分析

1.1 系统电路模型

图1所示是四线圈结构的磁谐振无线电能传输系统的电路等效模型。根据补偿结构的不同，可分为 SSSS、SSSP、PSSS、PSSP[8]，其中，S表示串联，P表示并联，其中SSSS型四线圈互感耦合模型如图1所示，Us是正弦高频激励源，Rs为其内阻，L1—L4是各线圈的自感，C1—C4是各线圈的补偿电容，R1—R4是各线圈的等效电阻，M12、M23、M34是各线圈间的互感，RL是负载阻抗。

图1 磁耦合结构互感耦合模型

本文选取 SSSS模型作为分析对象，如图1所示，各线圈回路的阻抗可表示为

由电路理论[9]可得，各线圈电压方程为

为了简化分析，可引入发射阻抗的概念，令Z12、Z23、Z34表示后一级线圈回路反射到前一级线圈回路的阻抗，则各反射阻抗可表示为

系统的输入阻抗可以表示为

根据图1可得，系统的输出功率和传输效率：

当系统工作在谐振频率时，电源线圈和负载线圈为单匝结构，可忽略其交流电阻、交叉互感[9]，各线圈自阻抗和反射阻抗可简化为

根据电路理论，电源线圈感应到发射线圈的电压源可以表示为ωM12I1，将负载线圈的阻抗折算到接收线圈，得到图2所示的两线圈等效电路模型。

图2 系统的等效电路模型

根据图2，由式（2）、式（4）至式（6）可得

1.2 线圈参数对系统传输特性的影响

从式（7）可以看出，Po和η 均与ω、RL、收发线圈参数及 M23等因素有关，而互感与传输距离 D有关[10]。下面以负载电阻RL对系统传输特性的影响为例进行分析。

在进行负载对系统传输特性影响的分析中，选择系统工作频率 f=4MHz，R2=0.15Ω，R3=0.36Ω，M23=19.6nH，M34=0.45μH，RL=500Ω的传输线圈，交流激励源U21=2V，根据上述公式，借助数学分析软件Mathcad对磁谐振式无线供电技术的传输特性进行分析。

分别对系统的Po与η 求关于R0的一阶导数，可得

令0()0Rη′=，可得效率最优负载：

图3为Po和η 随R0的变化曲线。由图3可知，Po和η 无法实现同时达到两者的最佳值。

图3 Po、η 与R0的关系曲线

运用上述负载对系统传输特性的分析方法，可以得出ω、M23与输出功率、效率的关系如图4所示。

图 4Po、η 与ω、M23的关系曲线

由图4可知，随着频率、互感的增加，系统输出功率最优时，效率较低，Po和η 不能兼顾。

1.3 SSSS拓扑系统的功效积分析

通过以上分析可得，对于一个系统而言，Po和η 不可兼得。鉴于此，本文应用功效积这个综合性指标，为系统参数优化提供理论基础，使系统在满足输出功率的情况下，也能实现较高的传输效率，定义功效积为输出功率和传输效率的乘积[11]，用符号ψ 表示，由式（7）可得

由式（11），可得功效积随等效负载 R0的变化曲线，如图5所示。

图5 ψ 与R0的关系曲线

由图5可以看出，功效积存在最优等效负载。令dψ/dR0=0，可得功效积最优负载：

将式（9）、式（12）代入式（7），可得最大效率和最大功效积指标下的Po和η，见表1。

表1 最大效率与最大功效积指标下系统传输特性对比

由表 1，可知在最大功效积指标下，传输效率降低了4.3%，但功率却增加了14.7%。综上所述，以功效积为优化指标，能较好的兼顾输出功率和传输效率。

2 线圈的优化设计

2.1 PCB线圈

图6为长方形PCB线圈的结构图。其中，Amax、Bmax为线圈的最大尺寸，Amin、Bmin为线圈的最小尺寸；lw为N匝导体的总长度；w为导体线宽；s为线间距；t为铜厚。

图6 长方形PCB线圈

由图6可推导出线圈的几何关系如下：

线圈优化时需满足以下约束条件：

1）线圈最大尺寸：A1max=80mm，B1max=100mm，A2max=50mm，B2max=80mm。

2）工作频率：f=4MHz。

3）传输距离：D=130mm。

其中，下标 1、2表示发射线圈和接收线圈，A1min、B1min、A2min、B2min均不得小于零。

2.2 理论优化

交流电阻可根据以下公式近似计算[12]：

式中，σ 为铜的电导率，δ 为趋肤深度；μo为真空磁导率；f为工作频率；Rdc为线圈的直流电阻。

图7为单匝线圈互感耦合模型图，其中圆形线圈的互感可通过下式计算[9]：

式中，r1、r2分别为发射线圈和接收线圈的半径，D为两线圈中心间的距离，E(k)、K(k)为具有模数k的第一类和第二类椭圆积分。

图7 单匝线圈模型

当长方形线圈的面积与圆形线圈的面积相等时，长方形线圈间的互感与圆形线圈间的互感近似相等[14]，故多匝长方形线圈间的互感可通过下式计算：式中，N1、N2为发射和接收线圈的匝数；r1a、r2a为长方形线圈最大尺寸与最小尺寸的等效圆形半径的平均值。

将式（12）代入功效积表达式（11），可得最优负载下的功效积（以下简称最大功效积），再结合交流电阻、互感计算公式以及式（13）所示的线圈各参数之间的几何关系，可推导出基于PCB线圈参数的最大功效积表达式ψmax（N,w,s,t），以此作为优化函数，运用数学分析软件 Mathcad，采用单因素法描绘出ψmax随各优化目标参数的变化曲线。

1）铜厚

先假定 N1=7，w1=3mm，s1=1mm，N2=6，w2=2mm，s2=1mm，设t1=t2=t，作出ψmax与t的关系曲线，如图8所示。

图8 ψmax与t的关系曲线

由图8可得，最大功效积随铜厚的增加而增加，这是由于随着铜厚的增加，交流电阻值明显降低的结果。且在铜厚小于70μm内，功效积增速明显，而在铜厚大于70μm后增速减缓，考虑性价比，取t1=t2=70μm。

2）线间距

固定 N1=7，w1=3mm，N2=6，w2=2mm，s2=1mm，t1=t2=70μm，ψmax与 s1的关系曲线如图 9所示，随线间距的减小最大功效积不断增大，但这是在忽略了导线之间临近效应的情况下，实际上随着线间距的减小，临近效应的影响会逐渐越大，反而会造成最大功效积减小，所以实际应用中，线间距不宜取的太小，初步取s1=0.5mm。

图9 ψmax与s1、s2的关系曲线

固定 N1=7，w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，t1=t2=70μm，ψmax与 s2的关系如图 9所示。同理，取s2=0.5mm。

3）线圈匝数

固定 w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，如图10所示。由图可知，最大功效积随着N1的增加而逐渐减少，考虑到实际应用时，线圈自感值不能大小，因此本文取N1=4。

图10 ψmax与N1、N2的关系曲线

固定 N1=4，w1=3mm，s1=0.5mm，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，由图10可知，最大功效积在N2=6时取到最大值，因此取N2=6。

4）线宽

固定 N1=4，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，ψmax与 w1的关系曲线如图 11所示。随着w1的增加最大功效积逐渐增加，这是因为w1的增加可以有效减小电阻值，但随着线宽的增加，会带来涡流损耗的增加，所以实际线宽不宜过大，取w1=4mm。

图11 ψmax与w1、w2的关系曲线图

固定 N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，ψmax与 w2的关系曲线如图 11所示。由图可知，最大功效积随着接收线圈线宽的增加先增加后减小，因此取w2=2mm。

综上所述，可以确定以最大功效积为目标的PCB线圈理论优化的参数为：N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm。

2.3 仿真优化

交流电阻和互感的计算公式是近似的，偏差比较大，理论优化存在一定的局限性。以下基于电磁场有限元分析软件ANSYS Maxwell，利用其参数扫描功能对不同参数下线圈的交流电阻值和互感值进行仿真，并将仿真值代入最大功效积表达式，再利用单因素法进行PCB线圈参数的最终优化。

图12为在Maxwell仿真软件xyz坐标系下建立的长方形PCB线圈的二维仿真模型。

图12 长方形PCB线圈二维仿真模型

其中交流电阻值通过涡流损耗计算得到，互感值通过软件自带的电感矩阵得到。

1）铜厚

固定 N1=7，w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm。设 t1=t2=t，对 t进行参数扫描，由仿真结果可得如图13所示的最大功效积曲线。

考虑到铜厚的性价比，取t=70μm。

图13 ψmax与t的关系曲线

2）线宽

固定 N1=7，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，对线宽 w1进行参数扫描，由仿真结果可得如图14所示。由图可得，当w1=4mm时，最大功效积取得最大值，因此取w1=4mm。

固定 N1=7，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，对线宽w2进行参数扫描，由仿真结果可得如图14所示。同理，取w2=2mm。

图14 ψmax与w1、w2的关系曲线

3）线圈匝数

固定 w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，将发射线圈匝数由 1匝增加到7匝，由仿真结果可得如图15所示的最大功效积曲线。考虑实际情况下，匝数不能太小，因此取N1=4。

图15 ψmax与N1、N2的关系曲线

固定 N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，接收线圈匝数进行变化，由仿真结果可得如图15所示的曲线。由图可得，当N2=6时，最大功效积取得最大值，因此取N2=6。

4）线间距

固定 N1=4，w1=4mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，对线宽 s1进行参数扫描，由仿真结果如图16所示。由图可得，当s1超过2mm时，最大功效积基本不增加，因此取s1=2mm。

图16 ψmax与s1、s2的关系曲线

固定 N1=4，s1=2mm，w1=4mm，N2=6，w2=2mm，t1=t2=70μm，对线宽 s2进行参数扫描，由仿真结果如图16所示。由图可知，当s2=0.5mm时，最大功效积取到最值，因此取s2=0.5mm。

综上所述，可以确定以最大功效积为目标的PCB线圈仿真优化的参数为：N1=4，w1=4mm，s1=2mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm。

3 线圈制作与测试

根据上述优化方法，制作了两组线圈，理论优化线圈实物如图17所示。

图17 理论优化的线圈实物

采用阻抗分析仪在4MHz频率下测得线圈的交流电阻见表 2（阻抗分析仪的型号为 WK-6520A，最高测试频率为 15MHz）。根据表格 2中的线圈参数值，可以看出电阻的仿真值与计算值很相近，电阻的计算值与实测值有一些误差，导致误差的原因可能有：①测量探头的接触电阻而带来的附加电阻；实测时周围难免有导体和导磁体，比如阻抗分析仪的外壳就为金属物；②线圈导体的铜厚未达到设计值的要求。减小该误差的方法：①采用测量精度更高的阻抗分析仪；②搭建辅助电路，以测量线圈的交流损耗，最后计算出更准确的交流电阻值。

表2 线圈的交流电阻

根据反射阻抗的式（7），通过阻抗分析仪测得发射线圈阻抗实部的最大值，可间接得到发射和接收线圈的互感值，见表 3，互感的计算值和实测值是很接近的。

表3 不同距离下线圈之间的互感

再根据仿真分析优化的结果，制作的线圈实物图如图18所示。

图18 仿真优化的线圈实物

按照上述测试方法，得到表4所示的交流电阻和表5所示的互感值。具体分析过程和上述一样。

表4 线圈的交流电阻

表5 不同距离下线圈之间的互感

根据表2和表4，得出实测值与计算值的误差、仿真值与计算值的误差，见表 6（表格里前一个数是表2的，后一个是表4的），计算与仿真的误差很小，说明仿真用的模型较准确，计算公式较精准。计算、仿真值与实测值之间的误差主要是由测量误差导致的。

表6 误差对比

4 结论

本文通过对四线圈结构的磁谐振无线传输系统进行建模分析，得出了影响系统传输效率和输出功率的因素，以线圈的参数为变量对系统传输特性进行分析，发现Po和η 无法实现同时达到两者的最佳值。因此，本文以最大功效积为优化目标，提出了一种在有限尺寸空间下的PCB线圈优化设计方法。通过理论和仿真的优化方法，寻找最优功效积下的线圈各参数，最后，根据优化结果，制作了两组线圈，分别对两组线圈的互感和交流电阻进行了测试。测试结果与理论计算和仿真结果基本一致，从而验证了所提方法的可行性与正确性。

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