含改进LuGre动摩擦的非光滑振动系统的动力学分析

张艳龙， 王 丽， 唐斌斌

(1 兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2 兰州城市学院 数学学院，兰州 730070)

含摩擦及间隙的碰撞振动机械系统普遍存在工程应用中，如制动振动与尖叫、冲击旋转钻井、装于滑动轴承上的大型高速转子的油膜振荡、离合颤振、机器人关节处的摩擦诱导振动、噪声控制等。摩擦及间隙构成的强非线性系统，吸引了众多国内外学者致力于建立不同的力学模型和摩擦模型，来研究摩擦及间隙对系统动力学的影响。文献[1]从一类轴承模型中简化出含间隙及摩擦的单自由度碰撞振动系统，进行动力学分析发现黏着的存在，并且可以用来预测螺栓的松动；文献[2]研究单边约束的两自由度塑性碰撞振动系统，分析分段特性、擦边奇异性和参数变化对碰撞振动系统的影响；文献[3-5]利用含有干摩擦的Filippov振动系统研究滑移分岔和混沌动力学行为；文献[6-7]利用增量谐波平衡法研究了含分段阻尼和刚度的非线性系统；丁旺才等[8]结合Lyapunov指数数值仿真分析了两自由度干摩擦振动系统的动力学响应得到系统经周期运动失稳通向混沌的道路；钱大帅等[9]利用谐波平衡法研究了干摩擦质块双黏着运动响应的级数形式解及对黏滑边界的分析。上述文献建立和研究不同含有静摩擦及间隙的力学模型，分析和解释工程中的振动。

实际上，两接触物体之间的摩擦，其摩擦力不仅由摩擦接触表面的相对速度决定，还取决于两接触物体之间的某些内部变量和影响因素，如两接触物体之间摩擦温度及粗糙度等，一般将粗糙度简化为鬃毛刚度(Bristle Stiffness)和鬃毛阻尼(Bristle Damping)等，称此类摩擦模型为动摩擦模型，如LuGre动摩擦模型[11]、Dankowicz动摩擦、改进的LuGre动摩擦模型。动摩擦模型深入到微观，从宏观和微观两方面探讨摩擦性质，动摩擦模型本身具有动力学特性，能够更加深入地描述两物体接触面之间的摩擦状态。文献[12]对含有LuGre动摩擦的两自由度制动系统进行稳定性分析，研究动摩擦对系统的动力学影响。Saha等[13-14]针对含LuGre动摩擦、改进的LuGre动摩擦和Dankowicz动摩擦的单自由度光滑振动系统，通过多尺度法得出系统发生Hopf分岔的次临界和超临界分岔点，比较了不同系统参数变化下的相轨迹；Saha等[15]针对含改进LuGre动摩擦的单自由度光滑系统，通过相图说明系统存在黏滞运动，选取不同的系统参数分析了带与质块的相对速度对摩擦特性曲线影响，说明了改进和未改进LuGre动摩擦对系统行为的影响。本文在文献[15]的基础上将改进的LuGre动摩擦模型引入含分段阻尼和刚度的碰撞振动系统，对系统的运动过程进行分类讨论，通过数值仿真探讨含分段阻尼和刚度及改进的LuGre动摩擦的单自由度非光滑系统存在的摩擦诱导振动现象以及系统运动在滑移-黏滞-碰撞接触-颤振之间转换的动力学行为。将改进的LuGre动摩擦模型运用到此类系统模型中可以更全面地描述摩擦诱导振动特性以及对机械机构的参数优化、运动过程控制等起到很好的理论指导意义。

1 力学模型

图1 含改进的LuGre动摩擦的非光滑振动系统力学模型Fig.1 Mechanical model of non-smooth vibration system with modified LuGre dynamic friction

(1)

质块M在x=d处发生碰撞，构成非光滑振动系统，根据碰撞定律可得

(2)

改进的LuGre动摩擦力的无量纲为

(3)

鬃毛刚度均匀形变z的演化由式(4)支配

(4)

式中：w1>0和w2>0是两个常量；函数g(vr)为高斯模型

g(vr)=fR(μk+(μs-μk)e-(vr/vs)2)

(5)

系统含分段阻尼和弹簧及改进的LuGre动摩擦构成的非连续运动，质块的运动状态将会在滑移、黏滞、颤振与碰撞之间相互转换，运动过程变的复杂。为了能够更好的理解系统的运动状态变化，根据质块的受力和速度变化情况，将运动过程分情形讨论：

情形1质块与带相对滑移运动

(6)

情形2质块与带相对黏滞运动

(7)

(8)

情形3质块静止状态

(9)

情形4质块与挡板碰撞运动

质块为M的质块在x=d处与右边的挡板发生弹性碰撞接触，根据碰撞关系得

(11)

如果当质块第i次接触约束面时，质块与带的相对速度为零或在零附近波动，质块所受合力小于0

(12)

质块将会在约束面处发生颤振或黏滞，直到质块所受合力的方向发生改变，质块重新回到滑移运动状态。

如果当质块第i次接触约束面时，质块与带的相对速度为零或在零附近波动，质块所受合力大于等于0

(13)

质块M将不会在约束面处发生颤振或黏滞，质块所受合力会将质块M从颤振或黏滞状态拉离约束面。

2 振动系统的黏滑颤振动力学分析

2.1 黏滑运动

选取系统参数一：k2=0.5，ξ1=0.5，ξ2=2.5 ，d=0.8，p0=2.5，vb=0.35，vs=0.25，μ=0.3，μk=0.3，μs=0.3，fR=10.5，w1=1，w2=1，σ0=100，σ1=10，σ2=1，对系统进行动力学分析，以激振频率ω为分岔控制参数，局部分岔图2(a)呈现出质块的运动速度与激振频率ω的分岔关系，速度大于零的部分取质块与挡板碰撞接触时的Poincaré截面；为了更清楚的了解系统随控制参数的变化情况，得到速度小于零的部分取质块与挡板接触分离时的Poincaré截面得到的分岔图如图2(b)所示，由于分岔图中得不到系统的黏滞情况，具体的黏滞运动见相图所示；图3(a)展示了质块和带的相对与改进的LuGre摩擦力之间的关系，动摩擦模型可预测在纯滑移区域的顺时针和逆时针两种不同的迟滞环及下垂摩擦特性，摩擦力随着相对滑移速度的增长的变化关系；图3(b)呈现出质块的运动速度与带速vb之间的变化关系。相图和Poincaré映射图如图4(a)～图4(d)所示，时间历程图如图4(e)～图4(h)所示。将含改进的LuGre动摩擦模型引进含有分段刚度阻尼约束的碰撞接触系统运动中，动摩擦对系统运动的动力学行为转换有着重要的影响，尤其是系统在滑移运动与黏滞运动之间的转换。具体详细运动过程分析如下，质块在动摩擦力及激振力共同作用下，系统的动力学行为发生着复杂的运动变化。图4(a)和图4(e)呈现出系统在激振频率ω=1.8时发生周期1-1-0运动，质块在运动过程中与挡板发生一次碰撞接触和一次接触分离，在相图中碰撞接触点用黑圆点表示，接触分离点用黑叉点表示，图4(b)～图4(d)表示相同，相轨迹表现出质块无黏滞运动，质块的运动状态在滑移与碰撞之间相互转换；随着激振频率的减小，当ω=0.9时系统发生周期1-1-1黏滞运动，由Poincaré映射可以很清楚的看出系统在碰撞面处，发生了一次碰撞接触和一次黏滞运动，如图4(b)和图4(f)所示；当激振频率降到ω=0.3时系统发生周期1-2-1运动，系统的动力学行为在滑移-接触碰撞-分离接触-黏滞之间转换，具体分析过程以黏滞结束点A作为质块运动的起点，质块在A点被迫与挡板碰撞，碰撞接触后与挡板一起进入滑移运动，质块到达B点与挡板分离，再次以滑移状态运动到D点，与挡板发生第二次碰撞接触，碰撞接触后与挡板共同滑移到E点，质块在E点与挡板分离，质块与挡板分离后，质块滑移运动到F点，开始进入黏滞状态，与带黏滞运动到A点，质块的一个周期运动结束，质块在滑移-碰撞接触-黏滞之间的运动过程转换如相图4(c)和时间历程图4(g)所示；图4(d)和图4(h)呈现出的系统发生周期1-2-1黏滞运动，具体分析过程与上述一致。

图2 黏滑运动分岔图 图3 带速与摩擦力和质块速度的关系(ω=1.0) Fig. 2 Bifurcation diagrams of the Fig.3 The relationships between belt speed and slip-stick motion friction or mass velocity when ω=1.0

图4 黏滑运动相图及时间历程图Fig.4 Phase diagrams and history time diagrams of the slip-stick motion

2.2 黏滑颤振运动

选取系统参数二：k2=2.5，ξ1=1.5，ξ2=2.5，d=0.7，p0=1.2，vb=0.2，vs=0.11，μ=0.3，μk=0.3，μs=0.3，fR=10.5，w1=1，w2=1，σ0=100，σ1=10，σ2=1，以激振频率ω为分岔控制参数，将含改进的LuGre动摩擦模型引进含有分段非光滑接触的碰撞系统运动，选取质块速度大于零的部分与挡板碰撞接触时的Poincaré截面得到系统运动局部分岔图图5(a)所示；为了更进一步说明激振频率ω与质块速度的分岔关系，将质块速度小于零的部分取质块与挡板接触分离时的Poincaré截面所得分岔图如图5(b)所示，由于分岔图中得不到黏滞和颤振的具体变化情况，关于黏滞和颤振的详细变化过程有相图和时间历程图表示；图6(a)呈现出相对速度与动摩擦力的变化关系；图6(b)展示了带速vb与质块速度的分岔关系，结合带与质块的相对速度和动摩擦力之间的关系，可得出质块在速度为零的附近发生颤振。从分岔图中得出，分岔控制参数在0～2.4内变化时，质块的运动速度主要集中在零附近，由相图及时间历程图可清晰地看出，质块在其速度为零时发生颤振及静止运动状态。对系统的具体运动过程转换分析如下，相图7(a)呈现出系统在控制参数ω=0.2时，质块的运动状态在滑移-接触碰撞-颤振-静止-滑移之间相互转换，时间历程图7(e)完整地展示出；控制参数的进一步变化，系统的运动过程会更加的复杂，相图7(b)及时间历程图7(f)呈现出质块在滑移-接触碰撞-颤振-静止-黏滞-滑移之间相互转换，为了更加详细地阐述系统在诸多运动过程中的转换，对时间历程图7(f)详细说明，从黏滞结束的A点开始分析质块的运动转换过程，黏滞运动结束的A点为质块被迫与挡板碰撞接触，速度发生变化，在激振力与摩擦力相互作用下，进入颤振状态，随着质块的受力变化，质块在颤振结束后从C点进入静止状态，静止运动，随着时间的变化，简谐激振力增大，在D点重新将其拉回滑移状态，质块滑移运动到E点，此时质块所受摩擦力大于其它力之和，且运动速度与带速相等，质块发生黏滞运动，黏滞运动持续到质块与挡板发生碰撞接触在A点结束，表示质块在一个运动周期内完成了滑移-接触碰撞-颤振-静止-黏滞等运动过程的相互转换；当分岔控制参数ω=3.0时，系统的运动过程在滑移-颤振-碰撞接触之间相互转换，如相图7(c)和时间历程图7(g)所示，具体分析过程与上述一致；当分岔控制参数ω=3.5时，系统发生周期1-2-0运动，无黏滞及颤振运动发生，系统的运动过程在滑移-碰撞接触之间相互转换。

图5 黏滑颤振运动分岔图 图6 带速与摩擦力和质块速度的关系(ω=0.5) Fig.5 Bifurcation diagrams of the Fig.6 The relationships between belt speed and slip-stick and chattering motion friction or mass velocity when ω=0.5

图7 黏滑颤振运动相图和时间历程图Fig.7 Phase diagrams and time history diagrams of the slip-stick and chattering motion

3 结 论

本文建立了一类由含分段阻尼刚度和改进的LuGre动摩擦构成的非光滑振动系统的力学模型，给出了系统的运动方程和不同运动状态的判断条件，数值仿真了摩擦诱导振动的动力学现象。主要研究结论如下：

(1)考虑含分段阻尼刚度和改进的LuGre动摩擦后，在一定的系统参数下带与质块的相对速度对摩擦力的影响较大。

(2)在一定的系统参数下，系统系统在低频区域存在滑移-碰撞接触的运动过程向滑移-黏滞-碰撞接触或者滑移-黏滞-颤振-碰撞接触的运动过程转换现象，系统参数的变化使系统的动力学行为变得非常复杂。

因此，通过本文的研究可以根据需要调整系统参数(改变部分系统结构)使系统工作在一定的运动状态，如避免发生颤振或黏滞运动等，从而为系统的运动过程控制和结构优化设计提供一定的依据。在低频下系统运动过程中极易出现黏滞及颤振运动。

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