具有振幅依赖性的纤维增强复合薄板非线性阻尼的时域测试方法

李 晖， 孙 伟， 常永乐， 李 健(东北大学 机械工程与自动化学院， 沈阳 110819)

纤维增强复合材料及其结构具有比强度高、比模量高、热稳定性好，还有一定的阻尼减振能力，因此被广泛应用于航空、航天、汽车工业、船舶、体育器械与兵器工业等重要领域-2]。目前，工程实际中存在大量通过该类型材料制成的典型复合薄板结构件，如太阳能帆板、航空发动机风扇叶片以及大型风力机叶片等[3-4]，随着它们的结构越来越复杂、工作环境越来越苛刻，其振动问题也越来越突出，由此引发的振动超标、磨损、疲劳失效等故障问题也越来越突出[5-8]。同时，其宏观结构还表现出随外界激振幅度及频率变化的阻尼特性(称之为频率依赖性和振幅依赖性)以及非线性的刚度特征(固有频率也随着振幅而改变)，这给传统的以线性等效为主的振动测试方法带来很大的挑战，也增大了从理论角度建立其非线性解析模型的难度。

长期以来，人们在实验研究纤维增强复合材料结构线性及非线性阻尼特性方面做了很多工作，已经取得了阶段性的研究成果。来自美国伊利诺伊大学的Schultz和空军材料研究所的Tsai[9]在1968年首次对玻璃纤维/树脂复合悬臂梁的阻尼特性进行了测试，在频率范围5～10 kHz内，发现复合梁的阻尼具有频率依赖性，即在不同的激振频率下，复合梁结构表现出不同的阻尼值。经过与金属铝悬臂梁相比较，研究发现纤维方向分别为0°、22.5°、45°和90°的复合悬臂梁的阻尼值一般为1%左右，是金属悬臂梁阻尼值的5倍～30倍。Wolfenden等[10]基于Granato-Lucke理论，实验研究了纤维/铝基复合材料结构阻尼随应变幅值变化的非线性问题，研究表明短纤维材料结构的应变振幅依赖性要明显强于长纤维结构，并且增大纤维直径也有助于提高结构的阻尼性能。Crane等[11]搭建了脉冲激励实验台，对三类不同材料复合梁试件的损耗因子进行了测试，研究发现90°纤维复合梁的阻尼性能要优于0°纤维复合梁。Kostopoulos等[12]对碳纤维/树脂复合悬臂梁的阻尼参数也开展了实验研究，在0～1 750 Hz频率范围内，通过自由振动衰减法获得了小振幅激励情况下前4阶固有频率和阻尼参数，发现该类型复合材料结构的阻尼与激振频率存在非线性的依赖关系。Berthelot等[13]利用锤击法获得芳纶纤维和玻璃纤维两种复合梁结构的频响函数，并识别获得了模态损耗因子等参数。Matter等[14]搭建了纤维增强复合薄板声激振测试平台，用扬声器对复合薄板进行非接触激励，用激光位移传感器测量振动响应，并在自由状态下获得了复合薄板的固有频率、阻尼比和模态振型等参数。Iriondo等[15]同时对玻璃纤维/铝基复合薄板和自增强聚丙烯(self-reinforced polypropylene)复合材料薄板的阻尼进行了表征测试，并通过半功率带宽法获得其阻尼参数。研究发现上述复合薄板的阻尼与激励频率密切相关，且通常会随着激励频率的增加而增大。李瑞杰等[16]搭建了悬臂梁振动实验台，研究发现基体材料组分和纤维铺设方向对复合材料结构系统的刚度和阻尼性能有重要影响。黎大志等[17]对碳/环氧树脂复合梁结构的阻尼测试方法进行研究，研究认为采用非接触测振方式，且在自由边界条件开展实验，可能会获得最佳的阻尼测试效果。李明俊等[18]借助动态热机械分析仪考察了不同边界条件下纤维增强复合梁结构的阻尼性能。研究发现该类型复合材料结构的内耗都随着结构应变振幅的增加而减少，且结构内耗峰值所对应的温度随应变振幅的增加而向低温方向移动。杨云昭等[19]对国产JHT300-3K和MT300-3K碳纤维梁结构的阻尼特性也进行了测试，研究发现增大铺层角度，损耗因子增大，且随着振动频率变化，在某一频率下存在最大的损耗因子。Chen等[20]在简支边界条件下利用振动台对碳纤维复合薄板结构进行扫频测试，通过对比在不同扫频方向获得的响应信号的频谱及其发生跳跃现象对应的频率，来判断复合材料结构系统的硬式、软式刚度非线性特征，初步确认了一套可行的非线性振动参数的实验测试方法。

虽然人们对纤维增强复合材料结构开展了大量的实验研究工作，但绝大多数是从线性测试角度出发来获取阻尼结果，对具有振幅依赖的该类型复合结构系统非线性阻尼特性开展实验研究的相对较少，特别是从时域测试角度研究其非线性阻尼变化及其影响的文献并不多见，因此关于其阻尼的测试研究还应进一步深入，以便可以科学地掌握其非线性振动的特点与行为。

本文利用了Hilbert变换适用领域广、运算效率高、变换原理简单的优势[21]，从时域信号分析与处理角度，提出了具有振幅依赖性的纤维增强复合薄板非线性阻尼的测试方法。首先，利用Hilbert变换技术，推导获得了复合结构系统非线性阻尼的表达式，明确了从时域测试角度获取非线性阻尼参数的理论原理。然后，编写了MATLAB算法，并用数值算例证明了该算法的正确性。最后，总结并概括出一套合理、规范的测试流程，并对TC500碳纤维/树脂基复合薄板进行了实际测试。实践证明，利用本文所提出的方法，可以有效获得不同衰减时刻对应的阻尼参数，该方法可以用来定量评价不同激励幅度及频率下具有振幅依赖的复合材料结构的非线性阻尼特性。

1 理论原理

由于从信号分析与处理角度来看，时域信号具有物理概念明晰、测试原理简单、信号波形直观等独特优势，因此本文从时域测试角度出发，结合Hilbert变换技术来研究纤维增强复合薄板具有振幅依赖的非线性阻尼特性，以下详细说明该方法的理论原理。

根据振动学原理，一个结构系统的阻尼特性决定了其振动能量消耗的快慢，假设结构系统共振时(不论复合材料结构还是单一材料结构)，当其各阶模态互不耦合时，可以将其看作单自由度系统，并可通过自由振动衰减法来获取其阻尼参数。即首先利用振动激励设备，激发其达到某阶共振状态，然后在切断激励源后，研究其时域信号衰减的快慢程度，进而从时域测试角度来客观评价其阻尼参数的大小。对于本文所研究的纤维增强复合材料结构，由于其刚度及阻尼参数均随着系统的振幅而发生改变，因而对于这一衰减过程，可以认为其刚度及阻尼随着衰减时间的变化而发生改变，这样我们可将上述衰减过程用如下的单自由度方程来进行描述。

(1)

式中：m为纤维增强复合薄板的模态质量；c(t)和k(t)则分别表纤维增强复合薄板的时变模态阻尼及刚度；q(t)为对应模态坐标的振动衰减响应。

下面，基于Hilbert变换技术，推导对纤维增强复合材料结构进行具有振幅依赖的非线性阻尼测试的理论原理。首先，通过测试，可以获得某阶固有频率对应的共振状态下的时域衰减信号q(t)，然后对其进行Hilbert变换，并将变换表达式表示为

(2)

进行Hilbert变换后，可以将变换后的信号与原始时域衰减信号进行合并，并获得一组新的分析信号Q(t)，假设其表达式为

(3)

新的分析信号Q(t)的包络线A(t)和瞬时相位ψ(t)可分别表示为

(4)

(5)

对瞬时相位ψ(t)求导数，则可获得即时频率ω(t)，即

ψ′(t)=ω(t)

(6)

对式(1)进行Hilbert变换，可以得到

(7)

需要说明的是，对式(1)进行Hilbert变换时，这里假设时变模态阻尼c(t)和时变刚度k(t)都是稳定改变的，即在变换过程中，c(t)和k(t)都为常数，即

(8)

(9)

将式(7)两端乘以虚数单位j后加到式(1)上，可得到用分析信号表达的运动方程，即

(10)

(11)

(12)

将式(11)和式(12)代入式(10)，整理后可获得

(13)

令式(13)的实部和虚部都等于零，就可获得复合结构系统的具有振幅依赖的非线性刚度及阻尼的表达式

(14)

(15)

2 数值算例

本节用数值算例校验所提出的时域测试方法的正确性，设复合材料结构系统的时变刚度表达式为k(t)=1 000-100tN/m，阻尼的表达式分别c(t)=0.5+0.2tN·s/m，系统的质量m=1 kg。

3 测试流程

根据上述的理论原理，经过反复实验，不断总结，可参照如下的测试流程，从时域角度来获取纤维增强复合薄板具有振幅依赖的非线性阻尼参数，共包含以下7个关键步骤。

(a)时域衰减信号(b)包络线(c)即时频率

图1 复合结构系统的时域衰减信号以及Hilbert变换后获得的衰减信号的包络线和即时频率

Fig.1 Time attenuation signal of composite structure system and its envelope and instant frequency obtained after Hilbert transform

图2 阻尼辨识结果与设定值的时域曲线

(1) 固有频率的理论计算

首先，可通过解析或有限元方法对维增强复合薄板结构的固有频率进行计算，初步掌握各阶固有频率所在频段及其对应的模态振型的节点、节线的分布位置，以便在实验中确定测试频率范围，掌握模态数量，建立测试模型，科学合理地布置测点。

(2) 确定测试所需的边界条件

若在自由态测试，则需采用橡皮绳将被测薄板结构悬挂，确保可以有效模拟自由边界条件；若在约束态下测试，则需要开展“预实验”，即通过力矩扳手来确定被测结构对应夹具上夹紧螺栓的最大力矩值。应以统一规定的力矩，测试获得前三阶固有频率，至少测试三次，直到各次测试结果相差不大为止(例如3～5 Hz)，确定为正式测试时所采纳的边界约束条件。若各次测试的频率结果超过10 Hz，则还需进一步增大拧紧力矩，重复进行预实验多次。同时，还需开展maxwell互异性实验，排除约束边界造成的非线性影响。

(3) 确定测试时响应点的位置

参照步骤(1)中获得的固有频率和振型结果，科学地确定测试时响应点的位置。实际测试时，由于纤维增强复合材料结构的振型节线复杂，且局部振型丰富，为了避免将响应点布置在结构的节点或节线，应至少获取3个响应点的振动数据，并通过比较后，来获取最佳的响应点的位置。同时，为了减小阻尼参数的测试误差，应通过非接触测振的方式来获取其响应信号。

(4) 记录不同激励幅度下某阶固有频率对应的共振状态下的时域衰减信号

首先，通过扫频激励方法，获取不同激励幅度下纤维增强复合薄板的某阶固有频率(该固有频率值受到激励幅度的影响，会呈现一定程度的变化)。然后，按照激励幅度依次增大的顺序，利用稳态激励装置(例如，电磁振动台或激振器)激发其达到共振状态，并在其稳定一段时间后，停止激励，最终记录不同激励幅度下某阶固有频率对应的共振状态下的时域衰减的位移信号。

(5) 计算纤维增强复合薄板的模态质量

由于实际测试中，复合薄板多处于一端约束、一端自由的悬臂状态，下面以悬臂复合薄板为例，给出计算纤维增强复合薄板的模态质量的方法。首先，可通过双向梁函数法将悬臂复合薄板的振型函数W表示为如下形式

(16)

式中:Aij(i=1,2,…,α，j=1,2,…,β)是与激励幅度有关的待定系数;Xi(x)表示沿着x方向时一端固定，一端自由梁的第i阶模态函数;Yi(y)表示沿着y方向时两端自由梁的第j阶模态函数;p，q为各自模态所考虑的最大阶次，利用该振型函数可获得薄板任一位置的模态质量m(x,y)，其表达式为

m(x,y)=∬sρHW2(x,y)dxdy

(17)

式中:S为复合薄板的面积;ρ为其密度;H为薄板的厚度。

(6) 对各阶时域衰减信号进行EMD分解

由于Hilbert变换需要信号在任意时刻具有单一频率成分，而测试获得的信号在某一时刻并不能完全保证处于单一频率，因而需要对原始信号进行EMD分解，以排除背景噪声及其它干扰因素的影响。此外，对测试获得的原始信号进行EMD分解，也有助于判断测试获得衰减信号是否为共振衰减响应，这样有利用提高后续步骤中Hilbert变换的变换精度。

(7) 进行Hilbert变换并获得具有振幅依赖的非线性阻尼参数

在通过步骤(6)获得了维增强复合薄板的各阶时域衰减信号后，分别对其进行Hilbert变换处理，进一步利用式(4)和式(6)来获得各阶时域衰减信号的包络线A(t)和即时频率ω(t)，然后将其代入到式(15)，则可获得被测复合薄板的时变阻尼参数c(t)。最后，根据下式，将其转换成为常用的模态阻尼比ζ(t)。

(18)

4 测试实例

下面以TC500碳纤维/树脂基复合薄板为研究对象，如图3所示，对其非线性阻尼进行测试。该类型复合薄板为对称正交铺设，即[(0/90)s/0/(90/0)s]，共有21层，每个铺层具有相同的厚度和纤维体积分数，其纤维纵向弹性模量E1=136 GPa，横向弹性模量E2=7.92 GPa，剪切模量G12=3.39 GPa，泊松比v12=0.32，质量为251 g，密度为1 780 kg/m3。通过图3所示的夹具来将其夹紧，用以模拟悬臂约束边界条件，夹持长度为30 mm，夹持后复合薄板的长、宽、厚尺寸为200 mm×130 mm×2.36 mm。

首先，搭建了复合薄板振动测试系统，其连接示意图见图3，主要包括激光测振仪、数据采集设备、笔记本工作站以及由电磁激振器、功率放大器以及振动转化底座、激振平台构成的振动激励系统，表1给出了相关仪器的具体型号。其中，数据采集设备可发出激励信号，并通过功率放大器将信号放大，进而控制电磁激振器实现振动激励。电磁激振器的振动能量将作用在振动转化底座上，并通过激振平台以基础激励的形式传递给复合薄板结构，然后通过反馈测点位置的加速度传感器对激励幅度进行有效控制。

表1 测试仪器型号

测试时，首先将复合薄板通过夹具固定在激振平台上，并通过力矩扳手拧紧夹具上的四个M12螺栓。接下来进行测点位置的确定，经过反复测试对比，最终选取了距离复合板约束端150 mm，且距离上端自由边20 mm、振动响应较强又不超出传感器量程的A点为响应测点，并将夹具上的B点作为反馈传感器测点，然后按照所提出的测试流程，首先通过力矩扳手，经过“预实验”准确确定了悬臂边界对应的拧紧力矩值为50 Nm；然后，参考有限元方法获得的计算结果，对纤维增强复合薄板开展扫频测试，分别在1 g，2 g和4 g三个激励幅度下获得该类型复合薄板的各阶固有频率，结果如表2所示。接着，在上述固有频率处激发其达到共振状态，并通过激光测振仪获取其时域衰减的位移信号。同时，对各阶时域衰减信号进行EMD分解，以排除背景噪声的干扰，图4和图5分别给出了1 g激励幅度下，测试获得的第6阶共振衰减信号以及经过EMD分解后获得的相应结果，从中可以看出，通过EMD分解步骤，确实提高了衰减信号的信噪比。

表2不同激励幅度下纤维增强复合薄板的前7阶固有频率

Tab.2Thefirst7naturalfrequenciesoffiber-reinforcedcompositethinplateunderdifferentexcitationamplitude

激励幅度固有频率/Hz1阶2阶3阶4阶5阶6阶7阶1g48.8101.6310.8416.0505.2854.0966.82g47.098.8308.8414.2503.8848.2965.34g46.798.0306.0410.0500.2846.0961.6

图4 1 g幅度下测试获得的复合薄板第6阶共振衰减信号

图5 1 g幅度下经过EMD分解后获得的第6阶共振衰减信号

最后，按照所提出的测试流程，计算纤维增强复合薄板的模态质量并进行Hilbert变换处理操作，首先可获得各阶时域衰减信号的包络线和即时频率，然后通过式(15)、和式(18)来获得被测复合薄板的具有振幅依赖性的非线性阻尼参数，图6给出了1 g，2 g和4 g三个不同激励幅度下通过时域测试方法获得的第3阶阻尼结果，图7给出了1 g，2 g和4 g三个不同激励幅度下通过时域测试方法获得的第6阶阻尼结果。需要说明的是，为避免偶然性因素的影响，上述时变阻尼结果均是在相同实验条件下重复实验三次，并经过线性平均处理后获得的。

从上述结果可以看出，随着激励幅度的增大，纤维增强复合薄板的阻尼呈现逐步增大的趋势，这可能和纤维与基体材料相互作用的摩擦效应增大有关。另外，0～0.6 s时间范围内来看，该类型复合材料结构阻尼随着衰减时间的持续呈现加速增大的特点，后续有必要针对这种非线性现象，从理论上建立其非线性阻尼模型，进一步解释其非线性变化的能量耗散机理。

(a)1g激励幅度(b)2g激励幅度(c)4g激励幅度

图6 不同激励幅度下通过时域测试方法获得的第3阶阻尼比

图7 不同激励幅度下通过时域测试方法获得的第6阶阻尼比

Fig.7 Damping ratios obtained by time domain test method under different excitation levels at the sixth order

5 结 论

本文提出了纤维增强复合薄板具有振幅依赖的非线性阻尼参数的时域测试方法，该方法共包括7个关键步骤：① 固有频率的理论计算；② 确定测试所需的边界条件；③ 确定测试时响应测点的位置；④ 记录不同激励幅度下某阶固有频率对应的共振状态下的时域衰减信号；⑤ 计算纤维增强复合薄板的模态质量；⑥ 对各阶时域衰减信号进行EMD分解；⑦ 进行Hilbert变换并获得具有振幅依赖的非线性阻尼参数。

利用所提出的方法，获得了TC500碳纤维/树脂基复合薄板在不同衰减时刻对应的非线性阻尼比。实践证明，该方法可以用来定量评价不同激励幅度及频率下纤维增强复合材料结构的非线性阻尼特性，同时也有助于研究者从理论和实践两个层面揭示其非线性振动特点。

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