任意多个沉积谷地对平面SV波的散射

巴振宁， 陈昊维， 梁建文(. 天津大学 土木系， 天津 300072； 2. 滨海土木工程结构与新材料教育部重点实验室， 天津 300072)

局部地形对地震动的影响是地震工程、地球物理和地震学等领域中备受瞩目的研究课题。沉积谷地会显著放大地震动，如1976年唐山大地震时，天津古河道及新近沉积土内外两侧建筑物震害尤为严重；2008年四川汶川特大地震中位于沉积谷地范围内的建筑物，其破坏程度远大于均匀平坦场地中的建筑物。鉴于许多民用建筑及重要结构建造于盆地等沉积地形之上，研究沉积地形对地震动的放大作用在理论和工程上都有着重要的意义。

为探究沉积地形对地震动的影响机理，诸多学者针对该问题进行了理论研究。Trifunac[1]最先给出了半圆形沉积谷地在SH波入射下散射问题解析解；之后，Wong等[2]运用其解析解研究了半椭圆沉积谷地对SH波的散射问题；Todorovska等[3-4]采用波函数展开法研究了浅圆弧沉积谷地对SH波的散射问题；梁建文等[5-7]采用波函数展开法得到了圆弧型单一沉积层的谷地对P、SV和Rayleigh波的散射解析解；在此基础上，梁建文等[8-10]又利用波函数展开法给出了具有两个沉积层的河谷场地在平面SH波、平面P波和平面SV波入射下散射问题的解析解；杨彩红等[11]在文献[8]的基础上又研究了含多个圆弧状沉积层河谷场地对平面SH波散射问题的解析解；运用Wolf理论体系[12]，梁建文等[13-14]研究了弹性层状半空间中沉积谷地对入射平面SH和SV波的放大作用；张郁山[15-18]采用波函数展开法研究了多沉积层谷地对平面P、SV和Rayleigh波的散射。数值方法方面，Dravinski等[19-20]采用波源的方法、Kawase等[21]采用离散波数法、Sanchez-Sesma等[22]采用边界元方法、Semblat等[23]采用模态叠加法分别讨论了任意形状沉积谷地对弹性波的散射问题。

值得指出的是，以上文献均以单个沉积谷地为模型进行研究，然而由于河道改道或河流分支等情况，实际情况中通常为多个沉积河谷同时出现，因此研究多个沉积对地震动的影响十分有必要。目前，针对多个沉积谷地的研究还很少，据作者所知，仅有王慧文等[24]分析了SH波入射时多个半圆形沉积谷地附近浅埋圆形孔洞的动力响应，Chen等[25]给出了可以计算多个沉积谷地中SH波散射问题的半解析解以及吕晓棠等[26]采用复变函数法研究了SH波入射下半圆凸起与沉积谷地相连地形的地震动情况。但以上研究仍未涉及到多个沉积地形对平面P或SV波的散射问题。因此，本文在文献[14]研究的基础上，研究多个沉积谷地对SV波的散射问题。本文对提出的方法进行了介绍，并以均匀半空间中多个半圆沉积地形为例，进行了数值计算分析，讨论了沉积间距和沉积数量对SV波入射下沉积附近地表位移幅值及其放大谱的影响，得到了一些有益的结论。

1 模型与计算方法

图1 层状半空间上多个沉积地形模型

1.1 层状半空间自由波场计算

Q=SP-SVU

(1)

其中U为位移幅值列向量，Q是外荷载幅值列向量。

(2)

1.2 动力格林函数及散射波场求解

本文采用的格林函数是指在层状半空间内部作用斜线均布荷载时，在层状半空间中任意点产生的位移和应力响应。具体求解过程详见文献[12]和文献[14]。

从文献[14]可知，当点ξ=(x,z)位于斜线荷载作用层内时，动力响应包括荷载层内解(特解和齐次解)和固定端面反力解，位移和牵引力可表示为

(3)

当ξ位于其他层内时，动力响应仅包括固定端面反力解，位移和牵引力可表示为

(4)

式中：gu(ξ,ξl)和gt(ξ,ξl)分别为斜线均布荷载的位移和牵引力动力格林函数，表示在第l个单元(中点为ξl)作用单位均布斜线荷载时，在ξ处产生的位移和牵引力，上标“p”表示固定层内特解，上标“h”表示固定层内齐次解，上标“r”表示固端反力解，k为波数。求得斜线均布荷载动力格林函数之后，则各沉积域Ωi和层状半空间域ΩL对应散射波场的位移和牵引力可分别表示为

(5)

(6)

1.3 边界条件及问题求解

沉积闭合域Ωi和层状空间域ΩL在边界Si上位移和牵引力连续条件可表示为

(7)

式中：[W(s)]为权函数，可取为单位矩阵，使积分在每个单元上都能独立进行。将式(5)和(6)代入式(7)中可得

(8)

其中，

(9)

由式(8)求得虚拟分布荷载向量{p0,r0}T和{pi,ri}T(i=1，…，M)后，结合式(5)和式(6)，最后可求得各沉积域内外的各点位移

(10)

2 方法验证

3 算例与分析

3.1 沉积间距对地表位移幅值的影响

从图3中可以看出，沉积间间距对位移幅值有着显著影响，且影响又依赖于SV波的入射角度和入射频率。整体上，波掠入射(θ=5°)时，沉积间距对位移幅值的影响相对较小，而波斜入射(θ=45°)和垂直入射(θ=90°)时，沉积间距对位移幅值影响较大，说明波以较大角度入射时，沉积间动力相互作用更为显著；随着频率的逐渐增大，不同沉积间距情况对应的位移幅值间差异减小，尤其η=2.0和3.0时，对所有入射角度，三种沉积间距对应位移幅值均较为接近，说明随着波入射频率的增大(波长逐渐减小)，沉积间动力相互作用逐渐减弱。沉积间距的改变导致了沉积间动力相互作用机制的改变，使得位移幅值的幅值及其空间分布均随间距改变显著变化，且规律并非总是间距越小幅值越大，如θ=90°和η=0.5时，对应间距L/a=6.0、8.0和10.0的竖向位移幅最大值分别为5.18、1.43和4.22。

3.2 沉积个数对地表位移幅值的影响

为研究沉积个数对沉积附近地表位移幅值的影响，本文以均匀半空间中半径a相同且间距L也相同的半圆沉积为例，图4给出了沉积数分别为M=1、3、5和7时，中间沉积附近地表位移幅值。定义无量纲频率为η=ωa/πcs，间距分别为L/a=6.0。计算参数与图3中参数相同，波的入射角度分别为θ=5°、45°和90°，无量纲频率分别取η=0.5、1.0、2.0和3.0。

从图4中可以看出，首先，多个沉积(M=3、5和7)与单一沉积(M=1)对应的地表位移幅值有着显著的差异。SV波掠入射(θ=5°且入射频率为η=0.5时，由于前方沉积的屏障作用，使单个沉积的位移幅值大于多个沉积，而随着频率的增大，沉积间的动力相互作用增强，多个沉积的位移幅值大于单个沉积；当SV波斜入射和垂直入射时，沉积间的动力相互作用更加明显，多个沉积位移幅值明显大于单个沉积。同时，也是因为沉积间的动力相互作用，造成了多个沉积地表位移幅值在中间沉积两侧的振荡比单个沉积时剧烈，这种现象在频率较高、SV波斜入射情况下尤为明显。

对比多个沉积(M=3、5和7)之间地表位移幅值，可以发现，SV波斜入射时，沉积个数的改变对位移幅值的影响程度要比SV波掠入射和垂直入射时明显，但由于沉积个数的不同使得沉积间动力相互作用更加复杂化，因而地表位移峰值的没有固定的变化规律。同时，还可以发现，当频率η=2.0和3.0时，沉积个数的改变对地表位移幅值的影响程度越来越小，这说明随着频率的升高，多个沉积间动力相互作用越来越相似。

3.3 沉积间距对地表位移幅值放大谱的影响

为进一步研究沉积间距对沉积地表位移幅值的影响，本文以图3的模型和参数为例，给出了SV波以不同角度入射时，中间沉积内部的水平和竖向地表位移幅值放大谱曲线。三个观测点分别为观测点1(x/a=-0.5)、观测点2(x/a=0.0)和观测点3(x/a=0.5)，波的入射角度分别为θ=5°、45°和90°。

从图5中可以更为清晰的看出，沉积间距的改变改变了沉积间的动力相互作用机制，使得不同间距情况对应放大谱的峰值及峰值频率均差异明显。SV波掠入射时，观测点3的位移幅值在η>1.0情况下，幅值较大且逐渐大于观测点1和2的位移幅值，说明多个凸起情况，在频率较大时沉积右侧部分放大作用较强；SV波斜入射和垂直入射时，位移幅值放大谱更为复杂，振荡也更加剧烈，沉积间表现出更强的动力相互作用，这与图3规律一致。另外，SV波垂直入射时，由于观测点2位于模型的对称位置，且垂直SV相对于竖坐标轴是反对称振动，观测点2的竖向位移放大谱值始终为零。

位移幅值放大谱受到沉积间距、入射角度、观测点具体位置和位移分量的影响，规律较为复杂。如SV波斜入射时，随着沉积间距的减小，观测点1的水平位移第一峰值和峰值频率均逐渐增大，而观测点2的水平位移第一峰值频率呈现：L/a=8.0>L/a=10.0>L/a=6.0，第一峰值呈现：L/a=10.0>L/a=6.0>L/a=8.0。整体上，SV波斜入射时，位移幅值放大谱受沉积间距的影响更为显著。如SV波掠入射时，观测点3的位移放大谱值较观测点1和2要大。SV波斜入射时，三个观测点位移放大谱值较为接近。SV波垂直入射时，观测点2的水平位移幅值较观测点1和3要大。另外，从图中还可以看出，沉积间距对位移幅值放大谱的影响主要集中在η<1.5的频段内。

3.4 沉积个数对地表位移幅值放大谱的影响

为进一步研究沉积个数对沉积地表位移幅值的影响，以图4的模型和参数为例，给出了SV波以不同角度入射时，中间沉积内部的水平和竖向位移幅值放大谱曲线。三个观测点坐标同图5，波的入射角度仍分别为θ=5°、45°和90°。

从图6中可以看出，多个沉积(M=3、5和7)与单一沉积(M=1)的位移幅值放大谱的峰值和峰值频率均差异显著，这同样是由于多个沉积间的动力相互作用引起的。但不同与图5沉积间距对位移幅值放大谱的影响(不同沉积间距对应放大谱的峰值和峰值频率均明显不同)，不同沉积个数对应的放大谱的峰值虽然差异较大，但峰值频率较为接近，说明沉积个数的改变更多的是增强或减弱了沉积间的动力相互作用，但对相互作用机制影响较小，然而沉积间距的改变直接改变了沉积间的动力相互作用机制。

整体上，相对于垂直入射情况，波掠入射和斜入射时，位移幅值放大谱受沉积个数的影响更为明显。随着沉积个数的增多，放大谱的峰值逐渐增大，这在波斜入射时的水平位移幅值放大谱和波垂直入射时的竖向位移幅值放大谱中尤为明显，说明随着沉积个数的增加，沉积动力相互作用进一步加强。同图5中沉积间距的影响相似，沉积个数对位移幅值放大谱的影响主要集中在η<1.5的频段内，说明当入射波频率较大时，三个沉积计算结果，可以较好的近似更多沉积情况的结果。

4 结 论

本文采用间接边界元法研究了层状半空间中任意多个沉积谷地对平面SV波的散射问题。文中通过与已有结果的比较验证了方法的正确性，并以均匀半空间中多个沉积谷地为例，研究了沉积间间距和沉积个数对沉积附近位移幅值的影响，得到了以下主要结论。

多个沉积情况，由于沉积间的动力相互作用，使得多个沉积对应的位移幅值及其放大谱均与单一沉积情况存在显著的差异，多个沉积情况对应的位移幅值显著大于单一沉积情况；沉积间距的改变改变了沉积间的动力相互作用机制，使得不同间距情况对应的位移幅值及其放大谱均明显不同，而沉积个数更多的是增强或减弱了沉积间的动力相互作用，对动力相互作用机制的影响较小，因而沉积个数对放大谱峰值影响较大，而对峰值频率影响较小；总体上波以较大角度入射时，沉积间动力相互作用更强，沉积间距和沉积个数对位移幅值的影响更大；沉积间距和沉积个数的影响主要集中在η<1.5的频段内。

值得指出的是，本文结果均是以均匀半空间半圆沉积为例进行的解答分析，但文中的方法也适用于层状半空间和任意形状的沉积，对此将另文讨论。

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