四边自由矩形板横向振动的近似解及其实验

付江松， 徐 鉴(同济大学 航空航天与力学学院， 上海 200092)

在航空航天领域中，太阳能帆板的作用至关重要。对于远离航天器的矩形太阳能帆板，其边界条件可视为四边自由。因此，太阳能帆板的振动在某种程度上可以看作是四边自由矩形板的振动问题。但在实际工程中，四边自由矩形板的振动问题难度比较突出。这种难度主要表现在其振型函数没有精确解，进而对板固有频率和振型的计算带来很大困难。

航天器进入太空后，太阳能帆板大多暴露在航天器外部，很容易在外力作用下产生振动。如果外激励频率接近板的固有频率，就会引起共振，这是我们要竭力避免的后果。因此，为了避开共振区，寻找四边自由矩形板振型函数的一种近似解及固有频率计算公式是十分必要的。

关于矩形板的振动问题在国内外各类文献中被广泛研究，例如Mindlin[1]于1951年研究了关于边界自由厚板的横向振动问题并得到了一些解析解。Chang等[2]使用伽辽金单模态近似方法研究了各向异性矩形板的自由振动。Eslami等[3-4]运用多尺度法与单模态和双模态伽辽金法，研究了简支边界条件下各向异性板的强迫振动问题。Mochida等[5]分析了边界自由矩形板固有频率的上下界限问题。Wang[6]通过改进的Ritz法研究了带圆角矩形板的振型函数。许琪楼[7-8]通过引入附加振型，构造了新的振型函数表达式，提出了一种关于有角点支座的矩形板自由振动分析的新方法。曾军才等[9]采用改进的Fourier级数方法，研究了正交各向异性矩形薄板的弯曲振动问题。

然而其中针对四边自由矩形板振型函数和固有频率精确解的研究相对较少，其原因在于很难找到一个既满足平板弯曲控制方程又满足自由边界条件的振型函数表达式。目前的处理方法大多都是通过寻找振型函数的近似解，从而求解板的固有频率。在近似解的选取方式上，曹志远[10]提出了一种双向梁函数的级数组合，作为板的振型函数近似解，但缺乏实验结果的比较。方奕忠等[11]采用了另一种组合级数表示了板的振型函数近似解，并通过实验对近似解进行了验证。然而该近似解的精确程度并不理想。本文在以往学者所提供思路的启发下，从矩形板基本控制方程出发，通过对实验结果的拟合，找到了一种满足精度要求的四边自由矩形板的近似解。

1 薄板的控制微分方程

本文所研究的矩形板的模型如图1所示，板结构的四个边界处均为自由。

图1 矩形薄板模型

根据薄板振动理论，矩形板自由振动的控制方程为

(1)

本文研究四边自由矩形板，其边界条件满足：

在x=0,a自由边界上，有

(2)

在y=0,a自由边界上，有

(3)

2 实验方法的验证

在四边自由矩形板振型函数近似解验证方法的选取上，我们采用克拉尼斑图[12]实验方法。该方法可得到板的二维驻波图形(克拉尼斑图)。

为了验证克拉尼斑图实验方法的正确性，我们通过该方法得到了边界自由圆板的二维驻波图形。再将其与由边界自由圆板精确解所求出的理论驻波图形相比较，从而验证其正确性。图2为边界自由圆板横向振动实验装置。

图2 边界自由圆板实验装置

对于边界自由的圆板，其振型函数表达式为

W(r,θ)=[C1Jn(αr)+C2In(αr)]cosnθ

(4)

将自由边界条件

(Mr)r=r0=0，

(5)

代入式(4)可得关于参数α的频率方程，并解得若干α。将得到的α代入圆板的固有频率计算公式

(6)

求出其各阶固有频率，进而解出圆板的二维驻波理论图形[13]并与实验结果相比较。二者对比结果如表1。各种计算参数为E=71 GPa，ν=0.33，ρ=2 830 kg/m3，圆板半径r0=150 mm，h=0.9 mm。

从表1的结果可以看到，理论结果与实验结果接近并满足精度要求，说明由克拉尼斑图实验方法所得到的二维驻波图形结果是可靠的。

表1 理论驻波图形与实验驻波图形对比结果

3 四边自由矩形板振型函数的近似解

对于四边自由矩形板的振动问题，我们将控制方程(1)的解表示为

w=W(x,y)(Acosωt+Bsinωt)

(7)

式中：W(x,y)即为板的主振型函数。将式(7)代入微分方程式(1)及边界条件式(2)，(3)中，得到有关主振型的振动微分方程

(8)

(9)

(10)

在四边自由矩形板振型函数的选取问题上，目前尚没有既满足微分方程式(8)，又满足边界条件式(9)，(10)的精确解存在。因此，本文选取了式(11)和式(12)两种形式的组合级数，并利用这两种级数组合出本文的近似解。

式(11)表达式如下

(11)

其中Amn为待定系数，用来调整不同阶次的组合级数以逼近矩形板振型函数真实解。

式(12)表达式如下

(12)

其中

W1mn=A1mn(cosβmx+B1sinβmx)×

(cosβny+D1sinβny),

W2mn=A2mn(coshβmx+B2sinhβmx)×

(coshβny+D2sinhβny)

(13)

在式(11)中，Xm(x)和Yn(y)分别取为边界自由梁的第m阶和第n阶振型函数。显然式(11)满足边界条件(9)，(10)。按照文献[10]中的方法，将振型函数(11)代入微分方程式(8)中，通过求解频率方程我们得到了矩形板第(m,n)阶固有圆频率计算式

(14)

在式(12)中，Wmn(x,y)为板的第(m,n)阶振型函数。将式代入微分方程及边界条件可得，表达式满足微分方程，但不满足边界条件。式中A1mn，B1，D1，A2mn，B2，D2，βm，βn为待定参数。

由于式(12)不能满足所有的边界条件式(9)和(10)，为了求解其中的待定系数，我们将四边自由的边界条件弱化为四角点自由。即将边界条件式(9)和(10)改写为如下形式

(15)

(16)

(17)

(18)

将Wmn=W1mn+W2mn代入边界条件式(15)至式(18)中可解得

其中可令A1mn=A2mn=Amn。

由式(21)可知，βm与βn均由方程

cos(βa)cosh(βa)=1

(22)

(23)

表2 矩形板理论固有频率

从实验中我们发现，板的第(m,n)阶振型函数的近似解，在m+n为偶数时，取为式较为合适；m+n为奇数时，应取为式(12)。因此板的振型函数近似解可由式(11)与式(12)组合而成。而在实际工程应用中，由于式(11)与式(12)为无穷级数的形式，需要对其进行简化。经过数值计算与实验结果的对比我们发现，第(m,n)阶固有频率下的振型函数近似解W(x,y)可以用第(m,n)阶振型函数Wmn(x,y)与附近几阶振型函数叠加后近似表示。因此我们将第(m,n)阶固有频率下振型函数表达式取为

(24)

其中

(25)

(26)

(27)

在式(25)与式(26)中，各项级数前的参数Aij为常数。而Aij的值原本由边界条件确定，但由于近似解无法满足所有的边界条件，我们通过对实验结果的拟合，给出了关于常数Aij的一种经验公式，式(28)与式(29)

其中fmn为第(m,n)阶固有频率值。

在表达式(28)，(29)中，Aij的大小反应了该阶振型函数在近似解中所占的比重。从能量角度来讲，越接近第(m,n)阶固有频率的振型越容易被激发，在近似解中所占的比重也应该越大。因此常数Aij的大小与该项级数所对应的主振型函数的固有频率fij，第(m,n)阶固有频率fmn有关。即认为越远离共振频率的振型函数前的常数Aij越小，在整个近似解中所占比重也越小，这一性质也与矩形板结构在实际工程和实验中的表现相

吻合。

4 近似解与实验解的比较

通过近似解表达式(24)，我们可以得到四边自由矩形板二维驻波理论图形。利用克拉尼斑图实验方法，可以得到矩形板的二维驻波实验图形。

通过对比理论图形与实验图形之间的相似程度，我们可以评价近似解的近似程度。表3为各阶固有频率下四边自由矩形板的二维驻波理论图形与实验图形以及二者所对应的固有频率值之间的比较。

表3 近似解理论图形(右)与实验图形(左)对比

续表3

阶数(m,n)实验图形与频率/Hz理论图形与频率/Hz(5,1)/(1,5)1156.71156.7(5,2)/(2,5)1299.11299.1(5,3)/(3,5)1512.61512.6(6,1)/(1,6)1583.81583.8(6,2)/(2,6)1726.21726.2(7,1)/(1,7)2082.12082.1

通过表3所示结果，我们可以看到由固有频率表达式所计算出的结果与实验测得的固有频率基本一致。近似解所得到的二维驻波图形与实验结果虽然无法完全吻合，但两者在2 000 Hz内的阶驻波图形拓扑结构上均吻合良好，这足以证明本文所得近似解对精确解有着良好的近似。因此，本文所给出的近似解式是可信的且满足精度要求。

5 结 论

本文构造了四边自由矩形板横向振动的近似解。为了验证所构造近似解的有效性，搭建了四边自由矩形薄板横向振动的实验平台。首先通过与边界自由圆板振型函数的比较，验证了克拉尼实验方法的正确性和可靠性。在此基础上，通过实验得到了四边自由矩形板在0～2 000 Hz频带内的一系列二维驻波图形(克拉尼图形)，将实验结果(克拉尼斑图)与本文构造的近似解所得驻波图形相比，发现两者从定性、定量两方面均吻合得较好，从而验证了本文提出的近似解有效性。

值得注意的是，本文构造的Aij的表达式(28)和(29)仅仅是通过大量的实验结果比对得出的，因此是一种经验性公式。关于Aij表达式的优化问题，还需要投入更多的研究。

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