行波与驻波能量对比分析

范奕泽，林晓贺，邱磊，姚宏林，窦志国

行波与驻波能量对比分析

范奕泽1，林晓贺1，邱磊2，姚宏林1，窦志国1

（航天工程大学 1. 基础部，2. 电子与光学工程系，北京 101416）

机械波的能量是大学物理教学中的重难点内容，而驻波的能量似乎更是学生的理解难点．多数大学物理教材从定性和定量的角度介绍了行波的能量，但是很多教材并没有对驻波能量进行详细的定量计算．教师在授课过程中也只是进行简单的定性分析，从而导致学生无法从根本上理解行波与驻波的区别．通过定量计算行波和驻波的能量及能流，利用对比分析的形式帮助学生更好地理解行波和驻波的能量及能量传输问题，在无形中点燃学生求知探索的热情，提高其自主探究、归纳总结和逻辑推理能力．

波的能量；行波；驻波；能流

1 驻波方程

2 波的能量

2.1 行波能量

系统机械能

是时间的周期函数．因此，行波中各质元是相互关联的“开放系统”，即各质元本身并不储存能量．任一体积元不断地从波源方向的介质中吸收能量，又不断地向其后面的介质传递能量，能量在介质中随波一起传播[3-6]，且能量传播的速度就是波速．所以行波是传递能量的一种方式．

2.2　驻波能量

由于驻波是两列沿同一直线、振幅相同、传播方向相反的行波的相干叠加，因此驻波的能量同样既包含弹性势能，又包含振动动能．把驻波方程式（3）代入式（4），可得驻波弹性势能为

而驻波振动动能为

计算相邻的波节波腹之间的总机械能[7-8]

由式（11）结果可知，相邻的波节波腹间机械能是守恒的．当相邻的波节波腹间所有质元都处于平衡位置时，介质不产生形变，弹性势能为零．但此时各质元速率都达到最大值，且波腹处质元速率最大，所以驻波能量主要集中在波腹附近，并且以动能形式存在．当相邻的波节波腹间所有质元都处于最大位移时，各点振动速率为零，即振动动能为零．但此时介质各部分都发生形变，且越靠近波节处形变越大，所以驻波能量主要集中在波节附近，并且以势能形式存在．在相邻的波节波腹之间，振动动能和弹性势能同时存在，且二者不断地相互转换．

此处已得到行波和驻波的能量表达式，并且对能量的变化作了详细分析[9-10]．在对比二者能量表达式的基础上，引导学生思考为什么行波可以传递能量，而驻波却不能传递能量．此时依然会有部分学生无法理解为什么驻波能量不能突破相邻的波节波腹单元而向外界传输，所以有必要结合行波和驻波的能流进行更深一步的分析．

3　能流

3.1　行波能流

3.2　驻波能流

由分析可知，驻波的能流密度为

研究发现，行波和驻波的能流密度均是空间坐标和时间的函数，但是结合具体表达式来看，驻波能流密度的空间变量和时间变量是分离的，所以导致在一些特殊位置（波节波腹）处其能流密度为零．这也可以理解为行波和驻波能量传输不同的数学解释．关于驻波不传递能量，可结合驻波能量特点（见图2）作更具体地分析．

图2　驻波能量特点

4　结语

本文以在固体中传播的横波为例，从驻波方程式出发，在学生已掌握易理解的行波能量的基础上，详细计算出了驻波的能量及能流的解析表达式，从数学形式和物理意义层面帮助学生从根本上理解行波与驻波的能量以及能量传输问题，体现了在大学物理教学过程中采用对比分析教学法的重要指导意义．

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Comparative analysis of the energy between traveling wave and standing wave

FAN Yize1，LIN Xiaohe1，QIU Lei2，YAO Honglin1，DOU Zhiguo1

（1. Department of Basic Courses，2. Department of Electronic and Optical Engineering，Space Engineering University，Beijing 101416，China）

The energy of mechanical wave is the emphasis and difficulty among college physics，while the energy of standing wave seems to be the hardest for students．Most text books recommend the energy of traveling wave not only qualitatively but also quantitatively，however，they do not provide more detailed quantitative calculation of the energy of standing wave．As many teachers just analyse the problem through a simple qualitative method in class，students cannot understand the difference between traveling wave and standing wave fundamentally．It is calculated of the energy and energy flow of traveling wave and standing wave quantitatively，take advantage of comparative analysis to help students better understand the differences of the energy and energy transmission between them，and ignite students′ enthusiasm for knowledge and exploration，improve their ability of independent inquiry，generalization and logical reasoning invisibly．

the energy of wave；traveling wave；standing wave；energy flux

1007-9831（2022）09-0084-05

O4∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.018

2022-04-20

航天工程大学教学创新项目

范奕泽（1989-），女，安徽阜阳人，讲师，博士，从事理论物理、大学物理研究．E-mail：fanyize89@126.com