桥梁颤振导数与气动导纳关系的试验验证

张伟峰， 张志田， 张显雄， 陈政清(湖南大学 土木工程学院 风工程与桥梁工程湖南省重点实验室，长沙 410082)

大跨度桥梁上的风荷载通常是静风力、抖振力、自激力等多项气动力的叠加。其中，抖振力是由来流中的脉动风及特征紊流引起；自激力则是由于结构运动与周围流场的相互作用引起的。抖振力和气动自激力的准确描述分别依赖于气动导纳函数和颤振导数。和经典的机翼理论不同，有流动分离存在的桥梁断面由于不满足流动的有势条件，因此不存在类似平板气动力理论中的Theodorsen函数和Sears函数来描述气动自激力和抖振力。但是借鉴于机翼理论，对于钝体的桥梁断面也通常用试验得到的颤振导数和气动导纳来描述桥梁断面受到的力。

Davenport[1]首次把气动导纳的概念引入桥梁气动抖振力问题。之后，大量研究者致力于气动导纳的风洞试验研究。气动导纳的试验识别需要利用主动格栅或者被动格栅生产湍流风场，然后利用测力法或者测压法获得模型断面受到的抖振力。采用这一方法的研究者主要有：Jancauskas等[2]、Sankaran等[3]、潘韬等[4]和周奇等[5]。除了上述的直接识别方法以外，Scanlan[6]最早引入了气动导纳与颤振导数的关系式。这样，在得到了颤振导数后，不必再进行气动导纳的试验就可以直接得到气动导纳。随后，Scanlan等[7-10]从理论上对这种方法进行了完善。该方法的基础是假定断面在均匀来流中做简谐振动与静止的断面在简谐来流中受到的力等效。从时域上来说，也就是认为断面的Wagner函数和Kussner函数等效。此外，Hatanaka等[11]提出了利用等效的Theodorsen函数推导气动导纳。这种方法的主要思路是将适合于机翼断面的Theodorsen函数与Sears函数的关系式应用到钝体的桥梁断面，从而根据试验识别的颤振导数，利用颤振导数与阶跃函数的关系式，得到阶跃函数，然后再根据阶跃函数与Theodorsen函数的关系式得到一个等效的Theodorsen函数，最后再根据Theodorsen函数与Sears函数的关系式得到等效的气动导纳函数。Hatanaka等[12-14]采用这种方法对不同形式断面的气动导纳进行了尝试。

上述两种方法在很大程度上简化了气动导纳的识别，仅根据已知的颤振导数后就可以得到气动导纳。针对于上述两种气动导纳识别方法，张志田等[15-16]从非定常气动力的可叠加性入手指出了这两种方法的不合理性。对于第一种方法，将Wagner函数和Kussner函数等效会导致错误的抖振功率谱。对于第二种方法，Sears函数和Theodorsen函数关系式的成立具有严格的前提条件，对于钝体的桥梁断面这些条件不再成立，因此也不存在这样的关系式。

本文采用风洞试验对颤振导数与气动导纳的关系进行了研究。首先，分别介绍了由等效的阶跃函数和等效的Theodorsen函数识别气动导纳的方法，并指出这两种方法存在的逻辑问题。然后，通过风洞试验识别了平板断面和长宽比为4的矩形断面的颤振导数和气动导纳。最后，对利用上述两种方法识别的气动导纳与风洞直接识别的结果进行了比较，讨论了气动导纳与颤振导数是否存在转化关系。

1 气动导纳与颤振导数的关系

对于钝体的桥梁断面，Scanlan等[17]最早提出了包含有六个颤振导数的气动自激力表达式。随后，Scanlan等[9]在此基础上考虑了位移的影响，将自激升力和扭矩分别表示为

(1)

(2)

当物体处于湍流中时，来流中速度的脉动会使物体受到一个随时间变化的力。用气动导纳修正的抖振升力和扭矩的表达式为

(3)

(4)

1.1 阶跃函数等效推导的气动导纳

风洞试验直接识别气动导纳面临着湍流风场模拟、抖振力的测量、试验数据处理等多种困难，因此Scanlan等提出利用试验得到的颤振导数直接得到气动导纳的方法。下面对这种方法进行简要的介绍。

(5)

在叠加原理成立的前提下，断面受到的升力为

(6)

式中：φ为阶跃升力函数；s=Ut/B为无量纲时间。

(7)

对上式做傅里叶变换可得

(8)

同时，不考虑与扭转运动有关的项，对式(1)做傅里叶变换可得

(9)

假设式(8)和式(9)两种气动力的表达式是等价的，则有

(10)

现在考虑断面穿过任意形式的竖向湍流w(t)，这时θ=w(t)/U，与式(7)类似，断面受到的抖振升力为

(11)

式中：Ψ为Kussner形式的阶跃升力函数。

对式(11)进行傅里叶变换可得

(12)

Scanlan假定φLh与ΨLw具有等效性，于是根据式(10)，上式可以写为

(13)

式(13)的功率谱密度可以表示为

(14)

由式(3)表示的抖振升力的功率谱为(不考虑顺风向脉动风的影响)

(15)

由式(14)和式(15)可以得到用颤振导数表示的气动导纳

(16)

同样的道理可以得到用颤振导数表示的其它的气动导纳函数。

1.2 等效的Theodorsen函数表示的气动导纳

除了上述的方法以外，Hatanaka等通过等效的Theodorsen函数来推导气动导纳函数。这种方法的主要思路是是将式(17)所示的适合于机翼断面的Theodorsen函数C(k)与Sears函数χs(k)的关系式应用到任意的断面形式

χs(k)=[J0(k)-iJ1(k)]C(k)+iJ1(k)

(17)

式中：k=0.5K，J0，J1为0阶和1阶的第一类Bessel函数。

通过傅里叶变化，Garrick[18]得到了Theodorsen函数与阶跃函数的关系式

(18)

根据式(10)可以得到颤振导数与阶跃函数的关系

(19)

将式(19)代入式(18)可以得到等效的Theodorsen函数Ceq(k)，再根据式(17)就可以得到等效的气动导纳函数：

χeq,s(k)=[J0(k)-iJ1(k)]Ceq(k)+iJ1(k)

(20)

用等效的Theodorsen函数表示的气动导纳与Scanlan提出的方法一样，只需要知道颤振导数就可以得到气动导纳函数。但是，这种方法在逻辑上也是不成立的。首先，式(17)的成立是严格建立在非定常气动力可叠加的条件之上的。对于具有流动分离的桥梁断面，式(17)不再成立。此外，Theodorsen函数的表达式为[19]

(21)

式中：Y0、Y1分别为第二类的0阶和1阶Bessel函数。J0、J1、Y0、Y1的表达式为

(22)

(23)

(24)

(25)

显然，式(20)中的J0、J1也是C(k)的组成函数，也即如果Theodorsen函数变化则其组成部分的子函数都会变化。如果在钝体桥梁断面中用某种等效的Theodorsen函数Ceq(k)来描述其气动性能，那么式(20)中的J0、J1没有理由维持原来机翼理论中的形式不变。但遗憾的是J0、J1是不可能从颤振导数入手得到的。

2 颤振导数与气动导纳的直接试验识别

本文节段模型强迫振动试验与气动导纳试验在湖南大学HD-2风洞试验室的高速段进行，试验段尺寸为高2.5 m×宽3.0 m。选取两种断面形式，分别为流线型的平板断面和长宽比为4的矩形断面。两者的展向长度为154 cm，宽度为36 cm。对于强迫振动试验，采用五分量天平测量断面受到的气动力，激光位移计记录断面的运动状态。而对于气动导纳试验，为了避免抖振力沿展向相关性的问题，采用了测压试验。沿断面长度方向总共布置了3排测压孔，其中两端的测压面各距模型两端47 cm。平板断面每个测压面布置了64个测压孔，矩形断面每个测压面布置了61个测压孔，测压孔的分布如图1所示。矩形断面的扫描阀放置在模型的内部，测压管长度为30 cm。平板断面由于断面内部尺寸限制，扫描阀放置于模型的外部，最右侧测压面的测压管长度为65 cm。值得一提的是，本文虽然布置了三个测压面，但气动导纳的识别只需要用到一个测压面的数据，统一选取最右侧的断面。强迫振动试验中的平板模型，如图2所示。

(a) 平板断面

(b) 矩形断面

2.1 颤振导数的试验识别

HD-2风洞试验室的节段模型三自由度强迫振动装置既可以实现三个自由度的耦合运动也可以实现三个方向单自由度的运动，振动频率在0.1～3 Hz范围内可调，最大竖向振幅为±2 cm，最大扭转振幅为±5°。本文采取单自由度识别方法，竖向运动振幅为2 cm，扭转振幅为2°，振动频率采用2 Hz。此外，为了得到更小折算风速下的颤振导数，低风速下的两个工况采用3 Hz的振动频率，这样最终实现的最低折算风速vr=U/fB=1.1，对应于无量纲折算频率K/2π=0.91。

图2 风洞试验中的平板模型

2.2 气动导纳的试验识别

风洞试验识别气动导纳的关键一步是湍流风场的模拟。从以往的文献可以看出[23-24]，采用被动格栅模拟的湍流风场识别出的气动导纳，普遍因为缺少大尺度的漩涡导致识别的气动导纳反而在低频处有向下的趋势。这种现象显然是不合理的。本文采用非均匀布置的格栅，并且加大格栅横向和竖向的尺度。这样做，一方面是因为非均匀布置的格栅可以对流场产生不同尺度的干扰，从而使湍流的能量分布在更宽的范围内；另一方面，适当加大格栅两个方向的断面尺寸，可以在一定程度上提高流场的湍流积分尺度。经过调试，格栅置于模型断面上游3.8 m的位置处，格栅的布置如图5所示。从风洞底面开始，每道格栅之间的静距分别为：70 cm、39 cm、38 cm、58 cm；三道格栅的尺寸分别为：22.5 cm×7.0 cm、7.5 cm×7.0 cm、15 cm×7.0 cm。节段模型固定在离风洞底面125 cm的位置处。

图5 格栅布置示意图

由于脉动风速和模型受到的抖振力都是随机的，因此识别得到的气动导纳也是随机的。为了便于比较且考虑到工程实际应用的需要，需要对结果进行预处理，以得到更加光滑的结果，这里采用盒式滤波的方法。平板断面升力气动导纳滤波前滤波后的结果，如图6所示。从图6可以看到，虽然滤波后的结果比原始数据要光滑的多，但是在高频范围内仍然呈现出较大的波动，这是因为在整个频率范围内采用了均匀滤波的方式。为了降低高频范围内数据的波动，可以在高频范围内采用较大的滤波宽度，即非均匀滤波的方式。

图6 滤波前和滤波后气动导纳的比较

图7为平板断面和B/D=4矩形断面的气动导纳，同时给出了Sears函数作为对比。从图中可以看出，平板断面的气动导纳和Sears函数较为接近，而矩形断面的气动导纳在低频段明显比Sears函数要大。

3 颤振导数与气动导纳关系的试验验证

在得到了风洞试验识别的颤振导数和气动导纳后，下面由试验颤振导数入手，根据第2节介绍的方法得到气动导纳并与直接识别的结果相比较。

(a)平板断面(b)B/D=4矩形断面

图7 试验识别的气动导纳

Fig.7 Aerodynamic admittances from wind tunnel tests

(a)平板断面(b)B/D=4矩形断面

图8 颤振导数拟合

Fig.8 Polynomial fitting of the flutter derivatives

3.1 阶跃函数等效推导的气动导纳的试验验证

利用式(16)得到的平板断面和矩形断面的气动导纳如图9所示。从图中可以看出，两种断面根据阶跃函数等效推导的气动导纳在低频范围内与试验识别的气动导纳较为接近，但是随着折算频率的增加，与试验直接识别的结果的差距却越来越大，最终都有趋向于一个极限值的趋势。对于理想的二维薄机翼断面，根据文献[15]和[16]的分析可以知道，这个极限值为0.25。相比较而言，Sears气动导纳函数的极限特性却为0，这就说明了为什么两者的结果在高频范围内的差距越来越大。

正如上文所说，用Wagner函数来表示Kussner函数这种处理方式，忽略了代表物体柔性运动的高阶运动模式，而这些高阶运动模式可以用来表示脉动风沿断面的分布。这种等效在低频范围内，即脉动风波长远大于物体特征尺寸时是成立的。本文的结果也验证了这个结论。

(a) 平板断面

(b)矩形断面

3.2 等效的Theodorsen函数表示的气动导纳的试验验证

利用式(20)得到的平板断面和矩形断面的气动导纳如图10所示。从图中可以看出，在低折算频率范围内，平板断面和矩形断面的气动导纳与试验直接识别的气动导纳较为接近，在高频范围内差别较大。相比于根据阶跃函数等效推导的气动导纳，由等效的Theodorsen函数表示的气动导纳与试验直接识别的气动导纳在整体上趋势一致，但是在高频范围内却表现出一定程度的波动。与平板断面相比较，矩形断面气动导纳的波动更加剧烈。

从Hatanaka和Costa的结果同样可以看出采用这种方法得到的结果存在波动。Costa在文献[13]中给出的气动导纳处于K/2π=[0，0.5](实际的试验数据在K/2π=[0.045，0.135]，在这范围之外的数据根据外推法得到)，在观察到高频范围的数据呈现下凹的趋势后，Costa提出在低频段采用等效Theodorsen法得到的气动导纳，而在高频处采用Sears函数，这样可以得到一个保守的估计。从本文的结果来看，对于平板断面在K/2π=[0.2，0.5]，对于矩形断面在K/2π=[0.3，0.4]之间确实存在一个下凹，但是这种下凹的趋势显然不是气动导纳真实的性质。很显然，这种周期性的波动来源于Bessel函数的周期性变化。正如上文所提到的，Bessel函数既是Theodorsen函数的组成部分，也是式(20)关于Sears函数与Theodorsen函数关系式的组成部分。在采用某种等效的Theodorsen函数后，式(20)中的其它部分没有理由保持不变。这种处理方法上的错误直接导致了识别的气动导纳表现出周期性的波动。

(a) 平板断面

(b)矩形断面

4 结 论

本文通过理论与试验讨论了两类在桥梁风工程中较广泛应用的气动导纳模型。这两类模型均建立在已知颤振导数的基础上，在形式上大大简化了气动导纳的识别。根据本文的研究结果可得出以下主要结论：

(1) 通过等效阶跃函数推导的气动导纳函数，因为忽略了高阶运动模式，导致得到的气动导纳随着折算频率的增加而与试验直接识别的气动导纳的差距也逐渐增大，并最终趋向于一个非零极限值。理论上，这种方法在低频范围内，即脉动风波长远大于物体特征尺寸时是成立的。本文的试验结果也验证了这个结论。

(2) 根据等效的Theodorsen函数表示的气动导纳函数，在低频范围内也与直接试验结果较为接近，但是在高频范围内却表现出周期性的波动，而且对于钝体的矩形断面这种波动性更大。这种波动是由于采用了“等效”的Theodorsen函数来描述断面的气动性能时，原Theodorsen函数已经变化了，但仍让其组成函数维持不变。显然，这在逻辑上是不成立的。

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