三维分形接触热导的建模与多参数影响分析

李小彭， 刘 洋， 王 雪， 户丹丹， 毛 昕， 王冰冰

(东北大学 机械工程与自动化学院， 沈阳 110819)

机械系统中存在大量的结合面[1]，当结合面相互接触时，微凸体间会产生间隙，从而使热量的传递受到阻碍，产生不同的接触热导。随着强化传热技术的发展，接触热导对机械制造、微电子、航空航天以及低温超导、热交换器等领域的影响，引起了人们极大的重视[2]。

研究表明，接触热导是受材料热物性、机械特性、表面性质、接触面压力、表面粗糙度及负载、温度、介质等众多因素影响的非线性问题[3]。温度对接触热阻的影响表现为温度使接触表面的形状发生变化并产生蠕变现象[4]。王宗仁等[5]采用带有补偿加热的接触热导测试设备对高温合金进行试验研究，黄明辉等[6]通过瞬态法初步测试了接触热导随压力的变化规律，证明了接触热导与压力基本呈正相关。马丽娜[7]建立了接触热导二维分形模型，并分析了分形维数、法向载荷、材料性能参数对热导的影响。近年来，李小彭等[8-9]对三维分形理论、接触热导的研究取得进一步成果。不过，以往分析仅研究单一变量的影响，对其他参数只零散取点分析，取值连续性及结论准确性不足，而本文耦合两种因素的影响，更清晰地体现了多参数的影响规律，提高了结论的准确性。

本文基于传统M-B接触模型，结合W-M修正函数，推导三维分形结合面的接触模型，建立了三维分形接触热导模型，仿真分析了法向载荷、实际接触面积、分形维数、分形尺度参数、材料特性参数对接触热导的耦合影响。

1 三维分形结合面的接触模型

1.1 三维分形微凸体表面轮廓的数学模型

为了更准确地描述构件的真实接触表面，Yan等[10]对用二维分形曲线描述表面形貌的传统W-M函数进行改进，得到三维分形曲面下的W-M修正函数，此时2

利用修正后的W-M函数可得三维微凸体的表面轮廓，而微凸体的变形量δ就是微凸体波峰与波谷的幅值差，即

δ=2(11-3D)/2G(D-2)(lnγ)1/2π(D-3)/2a(3-D)/2

(1)

式中：γ为表征频率密度的参数，γ>1，近似计算时常取γ=1.5；a为单个微凸体实际接触面积。

微凸体的曲率半径可以表示为

(2)

1.2 微凸体的法向接触载荷

根据Hertz接触理论，单个微凸体发生弹性变形时，法向载荷与接触变形量δ的关系为[11]

(3)

式中：E为材料等效弹性模量；R为微凸体曲率半径。

由式(1)、式(2)与式(3)可得，单个微凸体发生弹性变形时，载荷与接触面积的关系为

(4)

当接触表面的单个微凸体发生塑性接触时，载荷与接触面积的关系为[12]

Pp(a)=λσya

(5)

式中：λ为与硬度H和屈服强度σy相关的系数，三者的关系为H=λσy。

1.3 三维分形结合面的接触模型

1.3.1 结合面的接触面积

n(a)为接触点处的面积分布，与最大接触面积al的关系为[13]

(6)

式中：Ψ为分形区域扩展系数，与分形维数D有关，可通过查阅文献[13]表B1得到。

结合面的实际接触面积Ar，应包括有塑性接触面积与弹性接触面积，即

(7)

式中：ac为塑性变形与弹性变形的临界接触面积。

1.3.2 结合面的接触载荷

① 当al>ac且D≠2.5时，结合面所受的总载荷为塑性接触载荷与弹性接触载荷之和

(8)

将式(8)无量纲化为

(9)

② 当al>ac且D=2.5时，结合面所受的总载荷为

(10)

将式(10)无量纲化为

(11)

2 三维分形接触热导模型

2.1 接触热导

组合机械中，当热流经过结合面时，传热方式有[14-15]：①接触面间的热传导；②通过间隙中介质的热传导；由于间隙中介质的导热系数和固体本身的导热系数相差很大，会形成一种阻碍热传递的附加阻力，称为接触热阻，接触热阻的倒数即为接触热导。接触热阻对热流的阻力很大，会导致结合面处温度发生突变。工程中，实际结合面的热传递如图1所示。

图1中，A为接触平面，Q为流经该机械的总热流，Qi为流经单个微凸体接触区的热流，T1为部件1上表面的温度，T2为部件2下表面的温度，T1A、T2A分别为部件1、2在接触区的温度。

2.2 三维分形接触热导的数学模型

文献[16]给出了微凸体的单点接触热导

(12)

图1 结合面微观接触热传导示意图

式中：hi为单个微凸体的接触热导，W/(m2·K)；λs为导热系数，表征微凸体接触区的导热能力，W/(m·K)，据文献工程经验常取λs=13.8 W/(m·K)；R为微凸体的曲率半径；p为单个微凸体的接触载荷；φ为接触热导因子，是单点接触半径与曲率半径之比r/R的函数，φ=(1-r/R)3/2，一般r≪R，故近似计算时常取φ=1。

则整个结合面的接触热导为

(13)

将式(2)、式(4)、式(5)与式(6)代入式(13)中，得结合面的接触热导为

(14)

将式(14)无量纲化为

(15)

3 三维分形接触热导模型数值仿真

3.1 法向载荷对接触热导的影响

根据式(9)、式(11)与式(15)，分析接触热导h*与法向载荷P*在不同分形维数D下的关系。根据前文所述，取φ=1.0，λs=13.8 W/(m·K)，λ=1.0；且多数材料的材料特性参数在0.5～1.8之间[17]，本文选取φ=1.0；无量纲G*通常取值10-11～10-9，本文选取G*=10-10进行分析，分析结果如图2所示。

从图2可以看出，随着法向载荷P*的增大，接触热导h*也在增大；且当2.1≤D≤2.4时，接触热导h*与法向载荷P*存在着明显的非线性关系；当2.5≤D≤2.9时，接触热导h*与法向载荷P*趋于线性关系。

3.2 分形维数与分形尺度参数的耦合影响

3.3 分形维数与材料特性参数的耦合影响

3.4 分形尺度参数与材料特性参数的耦合影响

(a) D=2.1

(b) D=2.2

(c) D=2.3

(d) D=2.4

(e) D=2.5

(f) D=2.6

(g) D=2.7

(h) D=2.8

(i) D=2.9

(1) h*与D和G*的关系

(2) G*取值过程中h*与D的峰值关系

(1) h*与D和G*的关系

(2) G*取值过程中h*与D的峰值关系

图3 分形维数和分形尺度参数对接触热导的影响

Fig.3 Influence of fractal dimensions and fractal scale parameters on contact thermal conductivity

(1) h*与D和φ的关系

(2) φ取值过程中h*与D的峰值关系

(1) h*与D和φ的关系

(2) φ取值过程中h*与D的峰值关系

图4 分形维数和材料特性参数对接触热导的影响

Fig.4 Influence of fractal dimensions and material characteristic parameters on contact thermal conductivity

(b) D=2.5

(c) D=2.7

(d) D=2.9

(e) D=2.95

(f) D=2.99

从图5可以看出，接触热导与分形尺度参数呈负相关，与材料特性参数呈正相关；随着分形尺度参数G*的减小和材料特性参数φ的增大，接触热导h*先是平稳增大；当分形尺度参数G*减小和材料特性参数φ增大到一定程度时，接触热导h*陡然增大，产生了很大的数量级差，且分形维数D越大该现象越明显。

4 结 论

经过上述研究，得到结论：

(1) 本文引入三维分形理论修正的W-M函数并推导结合面三维接触模型，考虑多参数对接触热导的影响，建立了三维分形接触热导模型，为后期的接触热导研究提供了理论基础。

(2) 接触热导与法向载荷呈正相关，当2.1≤D≤2.4时，两者存在非线性关系，当2.5≤D≤2.9时，两者趋于线性关系，即随着分形维数的增大，两者由非线性关系趋于线性关系。

(3) 接触热导与实际接触面积呈正相关；较大的接触热导发生在分形维数较大、分形尺度参数较小、材料特性参数较大的区域，且在靠近该参数区域时接触热导变化趋势明显增强。D=2.95是接触热导与分形维数正负相关的分界点，当2.0

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