高考运算能力的考查

张定强

运算能力表现为会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

运算能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括 对数值的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算。求解运算能力包括分析 运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

对运算能力的考查不仅包括对数的运算，还包括对公式的运算，兼顾对算理和逻辑推理考查。对学生运算能力的考察主要是以含字母的式子的运算为主，包括数值的计算，代数式和某些超越式的恒等变形，集合的运算，解方程与不等式，三角恒等变形，数列极限的计算，求导运算，概率计算，向量运算和几何图形中的计算等。运算结果具有存在性、确定性和最简性。

运算能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何、概率、微积分等学科中都有所体现。在高考中半数以上的题目需要运算，运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明。运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力。历年高考都注重对运算能力的考查。

一、运算的合理性

运算的合理性。运算的合理性是运算能力的核心。一般一个较复杂的运算，往往是由多个简单的运算组合而成的。如何确定运算目标，怎样将各部分有机地联系在一起，这是运算合理性的主要标志，是运算能力的体现。随着计算机技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机就能够完成相应的计算，而且高效、快捷、准确。因此，运算能力的考查重点应放在考查算理，运算途径的判断、选择、设计及相关的字母和代数式的运算，因此这些是要靠人的思维去解决的。

运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念或依据公式或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现。运算过程包含着思维过程，运算离不开思维。

运算的合理性首先表现在运算目标的确定上。运算的目的是要得到化简的数值结果或数式等，有时还是完成推理和判断的工具。对一些比较直接、简单的运算目标，一般比较容易把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过多步运算才能得到最终结果，如在研究函数的单调性或证明不等式时，要首先对函数式求导，然后考察导数的取值，如果含有参数，还需要对参数将进行讨论。在求曲线的轨迹方程时，如何消去方程组中的参数，也有确定运算目标的问题。运算的合理性还表现在运算途径的选择上。合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要，也是根据准确性的保证，运算的步骤越多越繁琐，出错的可能性也就越大。因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的關键。灵活地运用公式、法则和有关的运算规律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，善于通过观察、分析、比较，将有助于作出合理的选择。因此，运算能力的考查包括了对思维能力的要求以及对思维品质（比如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查。

二、运算的准确性

运算的准确性是对运算能力的基本要求，要求考生根据运算原理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算。影响运算准确性的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一环节出现问题，就会导致整个运算出现错误。在填空题中，一步算错，整题失分；在解答题中，某步出错，后续部分随之有误，最多只能得到一半的分数。在高考中需要重点强调的是，在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。

三、运算的熟练性

运算的熟练性是指对考生思维敏捷性的考查。高考考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过控制题目数量、控制每题的运算量，增加思考强度和思维深度来实现的。控制题目数量、控制每题的运算量，可以增加考核深度，给学生以充裕的时间去思考如何进行运算，而不是把时间花在冗长的计算过程和运算符号、文字的书写上。过难、过繁的计算消耗了学生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法，特别是思维能力的考查。数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题，而计算量的大小主要是由高考的性质决定的，应以一半的考生在110分钟能完成全卷的解答为标准。这里所谓完成，不含复核时间，因此，应控制纯计算的工作量。计算量的估计应以一般通用解法为准。事实上，数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象，同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次。学生实际计算量的大小往往反映出学生能力水平的差异。

四、运算的简捷性

运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省。运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求。高考对运算简捷性的考查主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用上。尤其是数学思想方法，可以简化运算，提高速度。其中数形结合的思想、函数与方程的思想，等价转化的思想方法经常被运用在简化运算中。