对“顶杆游戏”的力学问题分析

吴寿宠 黄绍书

(六盘水市第23中学 贵州 六盘水 553000)

在静态平衡中，物体的重心越低，其稳度就越高.然而，在动态平衡的情况下，物体的重心越低，反而越难维持其平衡状态.

我国民间的很多地方有一项为大众所喜闻乐见称为“顶杆游戏”的竞技表演，这一游戏也是很多戏团的杂耍项目之一.

所谓“顶杆游戏”，就是参与游戏的人用前伸的食指或中指顶着一根细杆，使细杆在动态中能够维持竖直状态或绕某准定轴转动而不倾倒，如图1所示.

图1 顶杆游戏示意图

“顶杆游戏”是动态平衡的典型范例.本文从动力学角度，对“顶杆游戏”中的几个力学问题进行定量分析.

1 微小扰动下的竖直平衡调整

处于竖直平衡的杆由于受到某微小扰动，将会绕着支撑点(手指)转动而偏离竖直位置一个小角度.这时就必须在有限的时间内对杆进行调整，使之恢复竖直状态，游戏才能继续进行.

1.1 转动时间与杆长度的关系

为了便于说明问题，假定“顶杆游戏”中的杆为粗细均匀的匀质细杆.假设重力加速度为g，杆的长度为l,质量为m，杆在竖直位置受到某一扰动获得初始角速度ω0后开始绕着支撑点N转动，转过角度θ时角速度变为ω，如图2所示.

图2 转动时间与杆的长度的关系分析图

在此过程中，根据刚体转动的动能定理[1]，有

(1)

(2)

若杆转过的角度由θ增为θ+dθ的过程中，经历的时间为dt，那么

dθ=ωdt

(3)

将式(2)代入式(3)，列出积分式,得

(4)

(5)

图3 对式(5)编程截图

图4 对式(5)编程，程序运行截图

由计算结果可看出，随着杆长的增加，达到相同角度所需时间也在增加.因此，杆越长，留给游戏者的调整时间也越长.所以，在“顶杆游戏”中，一般来说，杆越长越容易成功.

1.2 微小扰动调整的动力学分析

杆偏离竖直位置θ角后进行调整的过程中，杆受到重力mg,支撑点N的支持力FN和静摩擦力f的作用，如图5所示.这时，杆的顶端M点是几乎不动的准定点，可认为杆绕M点转动，因此，重力mg,支持力FN,静摩擦力f对M点的转动力矩分别为

(6)

MF=FNlsinθ

(7)

Mf=flcosθ

(8)

在缓慢调整的准平衡过程中，可认为FN=mg.杆能否恢复竖直状态，就取决于这3个力矩之间的约束关系，也就是:

图5 微小扰动调整的动力学分析

2 准定轴转动的动力学原理

在“顶杆游戏”中，演技高超的游戏者，能使杆绕某准定轴转动而不倾倒，其转动面是一个或两个圆锥面.如图6所示，这种情况下，杆同样受到重力mg,支撑点N的支持力FN和静摩擦力f(图中只画出其法向分力f⊥)的作用.

设准定点O与支撑点N之间的距离为l0，那么各个力对准定点O的转动力矩分别为

(9)

MF=FNl0sinθ

(10)

Mf=f⊥l0cosθ

(11)

这3个力矩之间的约束关系，决定了杆转动的稳定情况.在相对稳定转动的过程中，仍可认为FN=mg，因此可得:

图6 准定轴转动的动力学原理分析图

3 结束语与说明

本文对“顶杆游戏”的分析还不很彻底，期待同行们的进一步深入探讨.同时，本文的上述分析中，有两点还须作适当说明.

(1)在微小扰动的竖直平衡情形中，杆转过某一小角度dθ的时间问题，也可由式(2)、(3)进行定性分析.

(2)杆绕某准定轴转动的情况下，静摩擦力f的法向分力f⊥提供了杆绕准定轴转动的向心力，而其切向分力f//(图中未画出)的作用是补偿杆转动过程中的能耗，以维持或改变杆的转速.

1 漆安慎，杜婵英.力学(第2版).北京：高等教育出版社，2005.224～225,231～232

2 彭芳麟.计算物理基础.北京：高等教育出版社，2010.140～141