倾斜轨道卫星在三维场景下运动规律的研究

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430300)

涂德新

(江西师范大学附属中学 江西 南昌 330046)

1 提出问题

所谓倾斜轨道卫星是指运行轨道平面与地球赤道平面存在不为零倾角的轨道，普遍情况下为椭圆，特殊情况下为圆.本文研究卫星公转周期等于地球自转周期的椭圆轨道和公转周期不等于地球自转周期下的圆轨道两种情况下的三维场景.为了简单起见，这里假设地球为质量均匀分布的球体， 且仅考虑地球和卫星构成的二体孤立系统.

2 推导三维场景下的参数方程

2.1 由机械能守恒定律和角动量守恒定律推导

研究轨道为椭圆的情况，设卫星倾斜轨道相对地球赤道平面的倾角为α，椭圆的半长轴为a，离心率为e， 卫星的运动周期为T，地球的质量为M.

椭圆的极坐标方程为(从近地点开始计时)

(1)

其中φ为极角.

如图1所示，地球在椭圆的右焦点处，卫星在椭圆上的p点处，β为偏近点角，角β和角φ之间存在几何关系[1]

acosβ=c+rcosφ

(2)

图1 地球位于椭圆右焦点

由式(1)、(2)联立可以求得

a-r=aecosβ

(3)

以及

此式可以化简为

(4)

在近地点和远地点有方程[2]

和

mrv=L

可以化简为

此方程组的两个解是

r1=a-cr2=a+c

利用韦达定理可以求得

(5)

卫星在运动过程中机械能和角动量守恒

(6)

L=mrvφ

(7)

由式(5)、(6)、(7)可以求得

又由于

于是

代入式(3)可以得到

考虑上下限后积分得

上式可以改写为

其中

为卫星的运行周期.

这就得到了时间t与偏近点角β的解析式.

2.2 由开普勒第二定律推导

如图2所示， 当卫星的极角为φ时，利用式(1)可得卫星和地心的连线扫过的面积为

图2 卫星的极角为φ时的示意图

考虑开普勒第二定律, 则有

可得

可以这样求上边的积分：

查积分公式表有(a>e)

(8)

注意到

(9)

同时

可以化简得

(10)

由式(8)、(9)、(10)可得

注意到e<1，令a=1可得

如果2kπ+π<φ<2kπ+3π，上述积分可以改写为

于是可以将时间t写为:

当2kπ+π<φ<2kπ+3π时

k=0,1,2,…

当φ=2kπ+π时

这就得到了时间t与极角φ的解析式.

2.3 两种推导等价

考虑到偏近点角β可能为任意正值,分析式(4)后极角φ与偏近点角β有如下的关系:

当 2kπ+π<β<2kπ+3π时

k=0,1,2,…

当β=2kπ+π 时

φ=2kπ+πk=0,1,2,…

利用这个关系可以证明由偏近点角β和极角φ为参数来求时间t的结果是一致的.

2.4 由地心平动坐标系转换到地球转动参考系

如图3所示, 分析可知从近地点开始计时,卫星在地心平动坐标系O-x′y′z′ 中的坐标为(认为椭圆的短轴与赤道面平行，椭圆的近地点离北极最近，从近地点开始计时，卫星为顺行绕行方向)

x′=-rsinφy′=rcosφcosαz′=rcosφsinα

图3 地心平动坐标系

如图4所示, 由地心平动坐标系O-x′y′z′绕z′轴沿逆时针转θ角到地球转动坐标系O-xyz， 存在坐标变换公式

x=x′cosθ+y′sinθ

y=-x′sinθ+y′cosθ

z=z′

再将x′y′z′代入化简可得

x=r(cosφsinθcosα-sinφcosθ)

y=r(cosφcosθcosα+sinφsinθ)

z=rcosφsinα

这就是卫星在地球转动参考系中的三维场景坐标.

图4 地心平动坐标系变换到地球转动参考系

3 模拟三维场景下的轨迹

3.1 倾斜椭圆轨道的三维场景

倾斜轨道同步卫星椭圆的半长轴a=42 000 km, 周期T=24 h, 这里假设e=0.12，运动轨迹如图5所示.

图5 倾斜椭圆轨道的三维场景

由模拟图可以看出，若卫星相对于地心的轨迹是一个椭圆且周期为24 h，则地面上的人看到它的三维运动图仍是闭合的，在z-x面上的投影是一个变形的二维“8”字，如图5中的(a)、(b)所示；若卫星相对于地心的轨迹是一个圆，则地面上的人看到它的三维运动图仍是闭合的，在z-x面上的投影是一个二维“8”字，回旋的个数为2个，如图5中的(c)、(d)所示.

3.2 倾斜圆轨道卫星的三维场景

若卫星的周期是4 h，则运动轨迹如图6所示，其中图6(a)是俯视图，图6(b)是三维图.

图6 倾斜圆轨道卫星的三维场景

由图可以看出，若卫星的周期是4 h且相对于地心的轨迹是一个圆周时，地面上的人看到它的运动轨迹是一个闭合三维曲线，这个曲线在z-x面上的投影是一个闭合的二维曲线，回旋的个数为12个.

4 总结

通过以上的分析可以发现, 倾斜轨道卫星在三维场景中运动规律与卫星的运动参数有密切关系, 可以采用偏近点角或极角为参数得到三维场景中运动轨迹的表达式, 进一步研究发现,若地球的自转周期与卫星运动的周期之比为两个整数之比, 则卫星在地球转动参考系中的轨迹是闭合的，轨迹的回旋个数为两个周期比的2倍.这个特点就是三维尼萨如图的规律，所以地面上的人看到卫星相对于人的运动轨迹图其实就是三维的尼萨如图形，在某一个平面上的投影就是我们熟悉的二维尼萨如图形.

1 杨嘉墀,范剑峰.航天器轨道动力学与控制.北京:中国宇航出版社,2001.60～62

2 金尚年,马永利.理论力学.北京:高等教育出版社,2006.77～78