基于输入解耦特征模型的四足机器人运动控制*

张世俊

0 引 言

地面移动机器人的运动方式主要包括了轮式、足式和履带式等，其中轮式机器人在硬平地面上移动速度快，具有较好的稳定性，但是其在非结构化环境中的运动能力不够理想；与轮式机器人相比，足式机器人在平地上运动速度较低，但由于它可利用非连续地面支撑，且支撑点可达的空间范围大，从而对于各种复杂地形情况的适应能力也较强[1-2].

由于转弯步态具有很强的扩展性，当转弯半径为变量时，转弯步态可以跟踪任意曲线轨迹[3]，在复杂地形环境下，足式机器人可采用转弯步态绕过崎岖的区域从而降低步态规划的复杂程度，提高行进效率.现有转弯步态规划方法主要通过结合偏航或侧摆关节实现[4-5]，本文提出一种对角转弯步态，在不需要根关节偏转的情况下，仅依靠髋关节和膝关节的摆动实现机器人转弯.

所谓特征模型，就是根据对象动力学特征、环境特征和控制性能要求相结合建立的模型，而不仅是以对象精确的动力学分析来建模.特征模型比原动力学方程简单，工程实现容易、方便.基于特征模型的自适应控制方法采用离散设计方法，其算法简单、控制品质好、适应性和鲁棒性强，并已经取得了广泛的应用[6].

足式机器人腿部动力学模型具有多输入多输出、时变、耦合和非线性等特性，腿部各关节之间存在耦合现象[7].本文针对足式机器人腿部动力学方程，建立一种输入解耦特征模型，具有状态耦合和输入解耦的形式，在保留了原系统模型输入输出整体完整性的前提下，考虑了结构的耦合特点，进而在此基础上设计了相应的自适应控制方法.

1 机器人结构与单腿动力学模型

本文研究的四足机器人总体构型如图1所示，机器人包含4条腿和身体5个相对独立的部分，每条腿具有3个关节，分别为根关节(偏航自由度)、髋关节(俯仰自由度)和膝关节(俯仰自由度).

图2 单腿D-H模型Fig.2 D-H model of single leg

按照拉格朗日方法所述[8]，拉格朗日函数L为总动能K减去总势能U，其表达式为：

(1)

(2)

(3)

由动力学方程(3)可知，该系统是一个非线性的高度耦合的控制系统，其耦合作用在方程中体现在惯量、哥氏力和重力之间的相互影响，在实际运动中机器人每一个关节的运动都受到其他关节的耦合影响.

2 特征建模及控制器设计

对于式(3)的动力学模型，由于D(q)可逆[8]，动力学方程可写为：

(4)

(5)

其中w=F′-H0+(B0-I)u.

对式(5)进行离散化处理，采样周期为Δt，采用如下形式的近似离散化方法：

可得到如下方程：

(6)

其中I代表三阶单位阵，将式(6)写成每一通道的形式：

(7)

令

(8)

则式(7)可改写为

(9)

其中

注1．式(9)需满足Δj(k)≠0，实际上当Δj(k)=0时，可采用文献[9]中的处理方法，仍旧可以获得形如式(9)的特征模型.

至此，得到输入解耦特征模型标准形式：

q(k+1)=F1(k)q(k)+F2(k)q(k-1)+
G0(k)u(k)

(10)

其中,q(k)=[q1(k)q2(k)q3(k)]T，

u(k)=[u1(k)u2(k)u3(k)]T，

F1(k)，F2(k)是正方阵，G0(k)是对角阵，并且满足当Δt→0时，f1,ii(k)→2，f1,ji(k)→0，f2,ii(k)→-1，f2,ji(k)→0，g0j(k)→0(i,j=1,2,3i≠j).特征模型把原复杂系统非线性、耦合特性转化到几个时变的特征参量中，大大简化了模型的复杂程度，利于控制器的设计.

输入解耦特征模型方程(10)中的特征参数为时变参数，需要通过在线辨识给出，由每一通道特征模型可知：

(11)

其中

采用如下投影梯度算法：

(12)

式中λ1，λ2为正常数，π[x]表示x到有界闭凸集Ds上的正交投影.

通过方程(12)辨识出特征参量，结合输入解耦特征模型，设计轮足复合机器人的关节控制器，包含多变量黄金分割控制器和微分控制器.

将特征模型中F1(k)和F2(k)的非对角元素作为耦合项单独列出，模型(10)可改写为：

q(k+1)=A1(k)q(k)+A2(k)q(k-1)+
G0(k)u(k)+C1(k)q(k)+C2(k)q(k-1)

(13)

其中,

此时，A1(k)，A2(k)，G0(k)都为对角阵，其逆矩阵就是对角元素的倒数，并将耦合项记作

C(k)=C1(k)q(k)+C2(k)q(k-1)

(14)

因此多变量黄金分割控制律为

(15)

(16)

其中微分系数Kd=diag{d1,d2,d3}为对角常数阵.

综合得到总的控制律为:

u(k)=ul(k)+ud(k)

(17)

3 对角转弯步态规划

四足机器人对角小跑步态把四条腿分为两组，右前腿和左后腿一组，左前腿和右后腿一组，两组交替运动，同一时刻由对角的两条腿支撑身体[10].转弯步态是四足机器人的一种基本步态模式，本文提出一种转弯步态规划方法，在不需要转向关节的情况下，仅依靠髋关节和膝关节的摆动，通过调整左右腿的迈步步长以实现四足机器人对角小跑下的转弯步态.如图3所示，四足机器人进行左转弯，当机器人机身长度较小时，机器人左侧的线速度为v1，右侧的线速度为v2，机器人左右腿的距离为m，则机器人本体转弯时的转动角速度ω为[11]

(18)

其中R为机器人的转弯半径，

(19)

由于足式运动依靠支撑腿的向后摆动推动机器人身体前进，有

其中s1，s2分别为左腿和右腿的迈步步长，ts为支撑相时间，s0为机器人以直线前进时规划的迈步步长，Δs为机器人进行转弯时对左右腿迈步步长的修正量.将其代入式(19)，得

(20)

当Δs=0时，左右腿迈步腿步长相等，转弯半径为无穷大，即机器人沿直线行走，随着Δs逐渐增大，转弯半径逐渐减小，考虑到机器人足端工作空间的限制和前后腿不发生碰撞的限制，Δs存在一个上界，与机器人行走高度、直线行走时的迈步步长和足端工作空间有关，此上界对应于四足机器人的最小转弯半径.

注2．本文提出的对角转弯步态不依靠转向关节，因此存在最小转弯半径，若增加转向关节，四足机器人可做到定点转弯，即零转弯半径[12].

图3 机器人对角转弯示意图Fig.3 Diagram of robot left turn via trotting gait

实际上由于机器人身体长度不为零，理论转弯半径与实际转弯半径有一定差异，因此需要进一步分析实际转弯半径与步长修正量之间关系，为步态规划提供参考.通过对仿真中四足机器人身体重心轨迹的记录，可以画出不同步长修正量下机器人的运动轨迹，俯视图如图4所示，仿真时间均为15 s，其中仿真前2 s均为直线步态，即Δs=0，从2 s开始采用不同的步长修正量.从图中可以看出，所有参数情况下仿真得到的机器人轨迹都近似于圆弧线，对轨迹曲线进行最小二乘法的圆拟合，可以得到相应的转弯半径，表1为不同步长修正量下实际转弯半径的统计表.

图4 不同步长修正量下机器人重心轨迹俯视图Fig.4 The top view of the centroid trajectory of robot with different step length correction

s0/mΔs/mR/m0.20∞0.20.01160.20.025.50.20.033.20.20.042.50.20.052

4 数学仿真

为验证本文提出的方法，在ADAMS中搭建轮腿复合机器人虚拟样机，采用ADAMS和SIMULINK联合仿真技术进行虚拟样机仿真.机器人身体质量150 kg，每条腿质量10.5 kg，其中大腿4 kg，小腿3 kg，轮子3.5 kg，大腿长度为0.4 m，小腿长度为0.3 m，轮子半径为0.1 m.采用基于碰撞函数的接触算法来计算足端接触，接触力参数设计如下：刚度为1.0×108N/m，阻尼为1.0×104(N·s)/m，穿透深度为1.0×10-4m，力指数为2.2，静摩擦系数取为0.4，动摩擦系数取为0.3.

仿真中机器人采用本文提出的对角转弯步态规划方法和基于输入解耦特征模型的控制方法.设定步态参数如下：机器人行走高度为0.8 m，步态周期为0.72 s，直行迈步步长为0.2 m.足端轨迹采用复合摆线形式[13]，可减小足端与地面的冲击，迈腿高度为0.1 m.仿真时间为15 s，0～2 s时机器人沿直线前进，2～15 s时机器人左转弯，步长修正量采用如下形式：

图5为机器人负载为0和50 kg的情况下，左前腿髋关节和膝关节的跟踪曲线，为方便观看图中只画出了前两秒的关节跟踪曲线.图6为机器人重心轨迹俯视图.由图中可以看出整个步态周期内，关节角度跟踪效果较好，并且对机器人的不同负载情况具有较好的适应能力.

5 结 论

本文首先建立了四足机器人单腿动力学模型，分析各关节之间的耦合特性，建立并推导了输入解耦特征模型，基于此设计了相应的多变量控制器，其次提出了一种对角转弯步态，在不需要根关节偏转的情况下实现机器人的转弯，最后基于ADAMS的虚拟样机仿真验证了本文方法的有效性.

图5 不同负载下机器人左前腿关节角跟踪曲线Fig.5 Joint angle curves of left front leg under different loads

图6 机器人重心轨迹俯视图Fig.6 The top view of the centroid trajectory of robot

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