全国卷压轴题中含参数不等式问题的两种解法

郝安军

陕西安康市江北高级中学 (725000)

含参数不等式问题是历年高考考查的热点、难点.下面就2016年全国课标卷Ⅱ文科数学第20题及2017年全国课标卷Ⅱ文科数学21题阐述这类试题解答的两种方法；参数和变量分离法(简称参变分离)及数形结合法.

(2017年全国卷文科Ⅱ)设函数f(x)=(1-x2)ex.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

(2)解法一数形结合法

图1

f(x)=(1-x2)ex,f′(x)=(1-2x-x2)ex,而f″(x)=ex(-1-4x-x2),当x≥0,f″(x)≤0,所以f(x)在区间上是凸函数，由第一问可作出y=f(x)的图像，如图1.

f(x)≤ax+1可转化为y=f(x)和y=ax+1,当x≥0时，y=f(x)在y=ax+1图像的下方，函数y=f(x)和y=ax+1都过点A(0,1)，直线y=ax+1与函数f(x)=(1-x2)ex极限位置是直线和曲线相切时，f′(x)=(1-2x-x2)ex.由f′(1)=1,则直线斜率a=1,由图可知a≥1.

方法二参变分离

当x=0时，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1,即1≤0·a+1,此时a∈R;

(2016年全国课标卷Ⅱ文科数学20题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(Ⅰ)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.

(Ⅱ)(方法一)数形结合(分离直线).

f(x)>0,则有(x+1)lnx>a(x-1),令h(x)

图2

直线y=a(x-1)应在函数h(x)=(x+1)lnx下方,在(1,0)处相切时a取得最大值,h′(1)=2,所以a≤2,则a的取值范围(-∞,2].

(方法二)参变量分离.