“几何概型”的教学设计*

2018-03-23赵思林

中学数学研究(江西) 2018年2期

王佩赵思林

内江师范学院数学与信息科学学院 (641112) 四川师范大学数学与软件科学学院 (610068)

“几何概型”既是教学的重点，又是教学的难点．在进行教学设计之前认真研读了教材和相关期刊论文，以“几何概型”教学已有研究成果作为教学设计的理论依据，对“几何概型”的教学内容、教学难点、教学内容安排顺序等作了分析，对教材的加工与处理作了说明．下面是对“几何概型”的教学设计．

一、教材分析

(一)教学内容与重要性分析

“几何概型”是人教A版数学3(必修)第三章“概率”第三节的内容，安排在“随机事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知识为概率的统计定义和等可能事件定义，下位知识为运用计算机产生均匀随机数估计几何概型的概率等内容．“几何概型”是新课程新增加的内容之一，数学课程标准将其定位为：信息化的现代社会“统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识”[1]．“几何概型”在概率论中占有重要的地位，它将古典概型中等可能事件数量从有限推广到了无限，更广泛地满足随机模拟的需要，进一步完善了人类对概率模型的认识[2]．

(二)教学难点分析

“几何概型”的特点(特征)指的是几何概型所特有的性质，是其区别于其他概型的关键．因此不能仅把等可能性与无限性作为几何概型的特征，还应加上连续性．举一个典型的反例[3]：在全体实数中取一个数，求取到有理数的概率．这个试验中的基本事件是等可能的，有无数个，满足几何概型的两个特点，但是不能用几何概型来解决．究其原因是忽略了几何概型中，基本事件之间应具有连续性．由于实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数．而有理数集也具有稠密性，即两个不相等的有理数之间有无穷多个有理数和无理数．因此，基本事件之间，即取出的无穷多个有理数之间，必然含有无理数，故不具有连续性．顺便说明，连续性这一特征，在高中学生初步体会几何概型时，勿需操之过急向学生介绍，因为连续的严格定义现行教材不作要求．

(三)内容安排顺序分析

“几何概型”在人教A版数学3(必修)中，教学内容安排的顺序如下：复习两种计算随机事件发生的概率的方法(一是实验法；二是古典概型法)→引入现实生活中可能出现无限多个结果的具体实例：如一个人到单位的时间可能是某时间段的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上→通过转盘游戏，从古典概型中扇形区域B所占块数，向扇形区域B圆弧长度过渡→抽象概括几何概型概念及概率计算公式→例题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．

笔者的教学设计，本着简化问题，简化思维，简化研究的理念，欲充分体现几何概型的本质、核心，在准确理解教材编写意图的情况下，补充、调整教材内容．如下：复习古典概型的基本特点和计算公式→问题引入：当随机试验的基本事件有无限多个时，如果概率存在，能否用古典概型来计算事件发生的概率？→通过多角度分析转盘游戏引入新知，从古典概型中扇形区域B所占块数，到扇形区域B所占面积，再到扇形区域B所占圆弧长度→抽象概括几何概型概念及概率计算公式→概率计算公式数学化、符号化→范例与练习：在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml，求含麦锈病种子的概率[4]．

二、对教材加工与处理的说明

(一)更换教材引入的说明

教材引入：“一个人到单位的时间可能是某时间段的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上．”[5]虽然这两例均来自于具体的生活情境，能让学生感受数学与生活的密切关联，且学生容易获得“基本事件有无限个”的感性认识，但这会增加学生对“背景知识”加工的“组块”量，如为理解“任何一个时刻”的无限性，需事先了解或课上补充，比秒更小的时间单位有：毫秒、微秒、纳米秒、皮秒、飞秒、阿托秒等．因此，笔者决定，以简单、直接的数学问题：“当随机试验的基本事件有无限多个时，如果概率存在，能否用古典概型来计算事件发生的概率？”引入新课．

(二)多角度分析转盘的说明

将教材对于转盘游戏的分析为“块数——长度”，补充、调整为“块数——面积——长度”．这样调整的原因有三：一是解决如何在实际背景中确定事件几何区域的困惑；二是重点突出有限到无限的思维过渡；三是通过扇形面积与圆弧长度的一一对应，更自然地实现“面积——长度”的过渡，避免直接从块数到“块数——长度”的突然性．

(三)更换例题的说明

由于在分析转盘游戏时，已经讨论过当基本事件构成的几何区域为面积和长度的情况，因此想通过再讨论“体积”，使学生全面感悟怎样构造适当的几何图形．而教材中的例1仍是“长度”，故将其更换为来自苏教版数学3(必修)中“体积”的例题．

三、“几何概型”教学过程设计

(一)复习旧知

思考请同学们回忆古典概型的基本特点和计算公式．

基本特点：1. 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2. 每个基本事件出现的可能性相等．简言之，古典概型中基本事件的两个特点，分别为有限性和等可能性．

设计意图:利用古典概型与即将学习的几何概型之间的内在联系，特别是蕴涵在古典概型中的数学思想方法，启发和引导同学们学习类比、推广、特殊化、化归等数学思考的常用逻辑方法．

问题1 当随机试验的基本事件有无限多个时，如果概率存在，能否用古典概型来计算事件发生的概率？

设计意图:不能，因为已不符合古典概型中有限性的条件，那到底该如何计算，据此引出新知——几何概型．学习始于疑问，通过适当的问题，引出需要学习的内容，使学生的学习更主动、更生动、更富探索性．

(二)探究新知

1.问题情境

如图1，图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏．规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少[5]?

图1

思考方法一：有限—古典概型

分析1:将指针指向某个扇形区域，作为基本事件，从图中观察到扇形区域的个数为有限个，这符合古典概型的有限性，据此联想考察基本事件是否具有等可能性这一特点，若不具有，则需要构造等可能事件，反之，直接使用古典概型概率计算公式即可．

图2 图3

设计意图:引导学生从已学过的古典概型，找到解决问题的灵感，如通过从未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化等化归与转化的思想方法，寻求学习新知识几何概型最经济的思维路径；通过弥补教材中问题情境的小瑕疵，即说明转盘(2)中5个扇形区域的面积相等，使学生明确数学是不存在丝毫的含糊，数学中每一步演绎推理都应是合情合理的．

思考方法二：无限—面积

点是几何中最基本的组成部分，线是由无数个点连接而成的，面是由无数条线组成的．因此面也是由无数个点形成的．

分析2:将指针指向扇形区域上的某个点，作为基本事件，由于扇形区域上的点有无限多个，因此有无限多个基本事件，此时显然已不能用古典概型计算甲获胜的概率．但是仍有和古典概型相同的地方，即指针指向扇形区域上的每个点的可能性相等．

问题2:如果要求甲获胜的概率，这个概率会和什么有关？

设计意图:突出从有限思维到无限思维的过渡；甲获胜的概率与扇形区域B所在的总面积有关，并且使学生感知换一个角度分析与探究问题后，它与古典概型的区别与联系．

图4 图5

思考方法三：无限—长度

问题3:能否由扇形区域面积变成相对应的圆弧的长度？

分析3:将指针指向扇形区域对应圆弧上的某个点，作为基本事件．因为曲线圆弧上有无穷多个点，且指针指向圆弧上的每个点等可能，所以基本事件有无限多个，且等可能．

图6 图7

设计意图:对于同一个问题从三种不同角度，进行分析与探究，不仅培养了学生思维的发散性、选择性、灵活性，而且还让学生认知甲获胜的概率与字母B所在区域的位置无关，只要字母B所在扇形区域的面积(或圆弧的长度)不变这一本质，不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率都是不变的．

2.几何概型

文字定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

符号化定义：公式中的d、D并非肆意选取，而是引用自苏教版数学3(必修)[4]．

设计意图:(1)通过多角度地分析转盘游戏，感悟其中蕴含的等可能事件从有限向无限的延伸，经历不断的从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动来理解和掌握几何概型；(2)数学符号是人们进行数学的表示、运算、推理和解决问题的工具，具有简约思维、提高效率、便于交流的功能[6]．在符号意识培养过程中，还需根据不同学段的内容和要求作进一步的细化说明．故在本教学设计中，将几何概型概率的计算公式用特定符号精炼表达，使其组块占据记忆空间少且易于提取．