如何实现解题教学从“课本”向“高考”的跨越——从教材*一道数列习题谈起

徐爱勇

江苏省江浦高级中学 (211800)

1.问题的由来

高考复习教学要重视教材，早已成为共同的共识.但从目前的教学实际情况来看，仍普遍存在着口头重视行动不落实、想落实不知怎样落实、努力落实而效果不理想的现象.目前，我国长江沿线多处隧道的开通，大大拉近了大江南北之间的距离，促使国家更快更好地发展！而我们在高考复习教学的过程中，尤其是解题教学中，如能把“课本题”和“高考题”进行“无缝对接”，在这两者之间建好相应的“隧道”，这样一定会激发学生学习过程中那股久违的热情，同时也势必增强我们数学人的职业幸福感！

鉴于此，笔者以《必修5》课本中的一道数列复习题为例，来阐述我们在解题教学中如何实现“课本”向“高考”的跨越.不当之处，敬请批评指正.

2.课本题展现

(苏教版必修5P60复习题第2题)

设{an}是等比数列，有下列四个命题：

其中正确命题的个数是( ).

A.1B.2C.3D.4

本题虽然简单，但我们不应该就此匆匆“滑过”！因为教材中的例习题都是经过专家们精心构思、反复推敲后选定的，多数题目具有较强的基础性，入口浅，有利于学生夯实基础知识；同时，教材中的许多例习题还能进行深入挖掘与拓展.多年来，课本题已经不成文地被约定为高考命题组出题的唯一“题源”！

3.高考题链接

我们不妨回看近10年的江苏高考卷.在试卷的压轴题位置就出现了3次，这就更加凸显对此相关问题研究的必要性和重要性.

(2007年江苏卷第20题)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和.

(1)若bk=am(m，k是大于2的正整数)，求证：Sk-1=(m-1)a1;

(2)若b3=ai(i是某个正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项.

(3)是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

(2)求证：对于给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.

(2015年江苏卷第20题)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列

(1)证明：2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比数列；

(2)是否存在a1,d，使得a1,a2,a3,a4依次成等比数列，并说明理由；

(3)是否存在a1,d及正整数n,k，使得an1,an+k2,an+2k3,an+3k4依次成等比数列，并说明理由.

等差数列与等比数列是两种不同的数列模型，但两者也不是绝对不相容的.等差数列中的某些项可以构成等比数列，甚至可以找到一个无穷的等比子数列.反之，我们也可以从等比数列中挖掘出一个等差子数列来.当然外省市的高考题中也不时地对此进行考查，限于篇幅，这里就不再罗列.

这些高考题是历届学生考试丢分的主体，我们虽花大力气开展复习，但效果不甚理想.如何突破这个瓶颈呢？笔者认为，我们必须要上出有“深度”的习题课！有深度的习题课要能够引导学生在思维能力层面拾级而上，不断提升，认识由表及里，不断深刻.实施好从“课本”到“高考”的跨越，这是时代赋予我们的责任与担当.

4.“隧道”的实施

近期，“南京市陈久贵名师工作室”开展教学研讨活动，笔者有幸开设一节高三二轮复习公开课，并尝试从上述“课本题”出发，逐步引导学生从容面对相应考题，教学预设两课时.本节课为第一节课，主体思路是从这道“课本题”出发，修建一个“数列隧道”，通向“高考”.而建设这个“隧道”的“盾构机”的名字就叫做“拓展延伸”；从而在“课本题”与“高考题”之间搭建有力的“脚手架”.同时，要让学生明白这样一个道理：复习题目不在多，题目不在新，关键在于怎么用而已.

4.1 拓展

等差等比数列是中学数学中的经典材料，一直处于数学教学的核心地位.在平时的教学中，我们可以将数列{an}的元素(如项数、项、前n项和、公差和公比)施以最简单的四则运算，便很快可以得到如下拓展：

拓展1：如果数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，那么数列{an+bn}是否为等比数列？数列{pan+qbn}(其中p，q为常数)也是等比数列吗？

拓展2：如果数列{an}、{bn}是项数相同的等差数列，那么数列{an+bn}是否为等差数列？数列{pan+qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列吗？

拓展3：当数列{an}是等比数列时，数列{an+an+r}(其中r为常数，且r=0,1,2，……)也是等比数列吗？

拓展4：当数列{an}是等差数列时，数列{an+an+r}(其中r为常数，且r=0,1,2，……)也是等差数列吗？

通过对课本习题的拓展，将知识串珠成线，引导学生归纳类比、反思和建构，使之举一反三，由此及彼，思想得到升华，能力得到提升，从而散发出高效课堂的魅力.

4.2 延伸

而深度研究后，我们还可以对数列的这些相关元素施以更为高级的运算，以“等差等比数列的不变性”为宗旨，做如下延伸：

延伸1 数列{an}是以d为公差(q为公比)的等差(等比)数列，Sn(Tn)是数列{an}的前n项和(积)，则

(1)各项加、减、乘、除(乘、除)非零实数k，所得结果仍为等差(等比)数列；

(2)每间隔m(m∈N+)项所得的项按原顺序仍组成等差(等比)数列；

(3)等差(等比)数列前n项和(积)的平均数(几何平均数)是等差(等比)数列；

(4)若q≠-1或q=1且k是奇数，则Sk,S2k-Sk,…,Snk-S(n-1)k,…是等差(等比)数列；

(5)在非常数等差(等比)数列中不存在连续三项依次成等比(等差)数列.

上述性质是等差数列与等比数列的对偶性质，我们还可以从等差数列出发，探究其存在等比子数列所需要的条件.

相应的，我们也能找到等比数列中存在等差子数列所需要的充要条件.

延伸3 (1)能从一个公比为q的无穷等比数列{an}中，按序号依次选出一个无穷项等差数列{ank}的充要条件是|q|=1；

(2)在公比非±1的无穷等比数列{an}中有可能选出一个无穷等差数列.

5.观念的思考

由此看来，我们只有加强从课本题的演练，从思路、方法、技能上进行改造创新，做到“三分做，七分思”，善于归纳总结和积累经验，才能触类旁通.

这为我们在复习选题时提供了依据，选题的原则是：以常规题、中等难度的题为主，既要有针对性、目的性，又要“有话可说”.在高考复习中以课本题为“出发点”，以主干知识为核心，以课本题的拓展性、多解性、归一性、开放性和辨析性等特点精心做好复习工作，积极更新教学观念，只有这样才能真正地占领高考的“制高点”.

[1]普通高中课程标准实验教科书·数学5(苏教版)，江苏凤凰教育出版社.

[2]林婷.有效使用高中数学教材的几点思考.数学通报，2013,6，P23-26.

[3]徐爱勇.找准“出发点”，占领“制高点”——高三数学复习的基本定位.数学通讯，2013,10，P47-49.

[4]吴跃忠，金佳琳.关于等差(等比)数列的研究进展.数学通讯，2015,6，P38-41.