基于LMI的不确定大系统的BIBO镇定
2018-03-22李萍
李 萍
(西南民族大学计算机科学与技术学院,四川 成都 610041)
1 引言
近十多年来,大系统(Large-Scale Systems)在电力、城市交通、社会经济系统、数字通讯等领域的广泛应用,形成了世界性的热潮.一般地,把模型规模庞大复杂、有多个互联的子系统和多个状态变量的系统称为大系统.稳定性是控制理论研究的基本问题[1-4].因此大系统的稳定性也一直受到众多学者的广泛关注[9-11].同时,不确定大系统的鲁棒镇定性也因为模型和测量误差地存在、非线性系统的线性化近似逐渐成为该领域的一个焦点[5-8].
通常,人们关注的稳定性为Lyapunov意义下的稳定性.为了追踪参考输入信号,有界输入有界输出(BIBO)稳定性也成为控制领域研究的核心问题之一.如果系统每个有界的输入都导致输出有界,那么系统就称为是有界输入有界输出稳定的.但是到现在为止,有关大系统的BIBO稳定性和鲁棒BIBO稳定性的结果还较少[12-15].文献[12-13]讨论了如下的时滞大系统:
反馈控制律分别为u(t)=其中Fi为反馈增益矩阵.文献[12-13]建立了闭环系统与时滞无关的渐近稳定和BIBO稳定的充分条件.文献[14-15]对于每一个子系统,应用了稳定的局部状态反馈,通过构造Lyapunov函数,利用Bihari型不等式,基于Riccati方程的正定解和矩阵范数不等式推导出了多变量反馈控制大系统BIBO稳定的充分条件.
本文将采用多Lyapunov函数方法及常数变易法,讨论了闭环大系统BIBO稳定的性质与鲁棒BIBO稳定的性质.系统的扰动向量相比文献[14-16]更具一般性,并且BIBO稳定性判据和状态反馈矩阵可以用MATLAB工具箱进行可行性求解,从不同于文献[12-16]的角度建立了闭环大系统的BIBO稳定的条件.
2 问题的陈述
考虑如下的有N个子系统的不确定连续大系统:
其中,v(t)为任意可积函数,那么不等式
成立.
引理2.3[18]E,H,F(t)是具有适当维数的矩阵,不确定时变矩阵F(t)满足FT(t)F(t)≤I,则对任意的常数ε>0,不等式
成立.
3 闭环大系统的分散BIBO稳定分析
首先,讨论大系统(1)无扰动参数的情况,即
将(3)式代入(4)式得到
当i,j=1,2时,闭环大系统(5)的结构如图1所示.
图1 i,j= 1,2 时,大系统(5)的反馈控制图Fig.1 The feedback control of(5)when i,j= 1,2
定理3.1如果存在常数α>0,β>0,ε>0,存在矩阵Xi>0,矩阵具有适当的维数(i=1,2,…,N),使得LMI
成立,其中
4 闭环大系统的鲁棒分散BIBO稳定分析
将(2)、(3)式带入(1)式得到的闭环大系统如下:参考定理3.1的证明可知,(9)式满足时,定理4.1成立.
注4.1 当参考输入信号恒为零,定理3.1和定理4.1下,大系统分别是渐近稳定和鲁棒渐近稳定的.第五部分的仿真图形可以看到当ri(t)=0时,系统状态收敛于零.
注4.2 文献[14-16]的反馈增益矩阵是某个Riccati方程的正定解.而本文是通过常数变易法和矩阵分析技巧,得到基于LMI的状态反馈控制器的设计方法.LMI判据通过引入自由矩阵可以降低条件的保守性,因此具有一定的优越性.
注4.3 参考文献[19]给出了系统参数α>0,β>0的最小化问题,可以表示为:
设计过程及求解参考文献[19]定理1.
5 算例仿真
而θ1=0.6179,θ2=1.1291||x(0)||.图2(a)、3(a)、4(a)分别表示参考输入信号r(t)=0时的系统状态、控制输入和控制输出;图2(b)、3(b)、4(b)分别表示参考输入信号r(t)=1时的系统状态、控制输入和控制输出.
图2 (a) r(t)=0时的系统状态Fig.2(a) The state of e.g.5.1 when r(t)=0
图2 (b) r(t)=1时的系统状态Fig.2 (b) The state of e.g.5.1 when r(t)=1
图3 (a) r(t)=0时的控制输入Fig.3 (a) The input of e.g.5.1 when r(t)=0
图3 (b) r(t)=1时的控制输入Fig.3 (b) The input of e.g.5.1 when r(t)=1
图4 (a) r(t)=0时的控制输出Fig.4 (a) The output of e.g.5.1 when r(t)=0
图4 (b) r(t)=1时的控制输出Fig.4 (b) The output of e.g.5.1 when r(t)=1
那么相应的增益矩阵为
而θ1=1.5970,θ2=16.6694||x(0)||.图5(a)、6(a)、7(a)分别表示参考输入信号r(t)=0时的系统状态、控制输入和控制输出;图5(b)、6(b)、7(b)分别表示参考输入信号r(t)=sint时的系统状态、控制输入、控制输出.
图5 (a) r(t)=0时的系统状态Fig.5 (a) The state of e.g.5.2 when r(t)=0
图5 (b) r(t)=sint时的系统状态Fig.5 (b) The state of e.g.5.2 when r(t)=sint
图6 (a) r(t)=0时的控制输入Fig.6 (a) The input of e.g.5.2 when r(t)
图6 (b) r(t)=sint时的控制输入Fig.6 (b) The input of e.g.5.2 when r(t)=sint
图7 (a) r(t)=0时的控制输出Fig.7 (a) The output of e.g.5.2 when r(t)=0
图7 (b) r(t)=sint时的控制输出Fig.7 (b) The output of e.g.5.2 when r(t)=sint
6 结束语
本文讨论了一类连续时间闭环大系统BIBO稳定性和鲁棒BIBO稳定性问题,并给出了反馈控制器的设计方法.将本文的技巧与算法推广到时滞大系统的BIBO稳定性理论是作者下一步的工作.
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