延期支付下的供应链博弈模型

周曦娇，刘 诚

（中南大学 数学与统计学院，长沙 410012）

0 引言

随着经济全球化的到来，企业之间的竞争越来越激烈，不仅存在同一级企业的竞争，也存在供应链系统中上游企业和下游企业之间的博弈。企业在追求各自利润最大化的同时，不同的企业关系、合作与否以及采取的营销策略对企业的收益有着至关重要的作用。

Abad P L论述了在非变质商品的供应链系统中不同博弈模型中供应商和零售商的利润分配的差异[1]，本文在其基础上引入了退化率，探究供应商和零售商对于变质商品的销售策略。而在供应链中存在延期支付的情况，一些学者在算法上也做了深入的研究，Gupta D等[2]研究了存在延期支付的随机存储模型，阐述了如何确定最优存储水平以及延期支付中的相关参数。国内学者邱昊[3]讨论了延期支付期限的确定，但本文和他在模型的构建上有很大的差异，比如在他的论文中需求和零售商价格都是已经确定的，而本文中需求是价格的函数，销售价格是目标优化当中要确定的变量。在供应链博弈的方面，也参考了江世英[4]研究的绿色供应链博弈模型，比较了不同模型中供应链上下游企业利润分配的差异。由于变质商品的退化率的引入，模型的计算复杂了许多，本文借鉴了文晓巍[5]的算法，使用泰勒展开式进行近似化简，使得计算简便了许多。

1 模型的参数设置和假设

1.1 参数设置

本文中参数的设置情况如表1所示。

1.2 模型的假设

（1）只考虑一种产品。

表1 参数对照表

（2）需求只受价格影响，D(P)=K·P-E，K＞0，E为需求的价格弹性，该商品富有弹性，即E＞1。

（3）不允许缺货。

（4）每周期终止时刻，系统的存货量为0。

（5）忽略从发出订货到商品到达的时间。

（6）供应商对提前付款没有折扣，在最后期限前必须付款。

（7）Ie=Ip，Ih+Ip=I。

（8）Is=a+bM，a＞0，b＞0，即销售商的机会成本率是关于延期支付期限的线性增长函数。

（9）固定订货费A在零售商购买商品当时消费，延期支付的是应付给供应商的购买商品的成本，即VQ。

（10）供应商采取按需订货的策略，因此不会产生库存费用。

2 零售商问题

零售商的目标是确定零售价格P和销售周期T（即确定订货量Q），使得利润最大化。由于库存的变动与顾客需求和其本身的存货退化率有关，故有下式：

2.1 T≥M

（1）每周期的销售收入=PDT

（2）每周期的购货成本=VQ

其中除去VDT的部分为存货的退化成本，即购货成本包括退化成本。

（3）每周期的订货成本=A

（4）每周期的利息收入（机会增长）

当存在延期支付时，由于供应商对提前付款没有折扣，为了增加收益，零售商不会提前付款。在零售商支付货款前，[0,M]这段时间内，为维持信贷平衡，零售商卖出货物的同时，会因为已卖出和已退化的货物产生对供应商的负债，但是零售商会从这笔属于供应商的货款中获得利息。一些学者将零售商得到的所有货款带来的利息算作利息收入，本文参照Abad P L的算法[1]，不考虑货款中从原本属于零售商的资金而获得的利息收入，该收入不属于零售商从该供应链系统中获得的收益，即利息收入为从应支付给供应商的卖掉和退化的商品的货款中取得的利息。

故利息收入如下：

（5）每周期的库存费用（除去存货融资）

（6）每周期存货的机会成本（存货融资）

在延期支付到期时零售商将所有货款支付给供应商，在[M,T]的时间段里，零售商还有存货，他将资金投入到这些存货中，在存货还没卖出时会产生相应的机会成本。计算如下：

零售商的利润为：

Πb(P,T)=年销售收入-年购货成本-年订货成本+年利息收入-年库存费用-库存的机会成本

2.2 T≤M

在这种情况下，销售收入、购货成本、订货成本、库存费用与M＜T的情况是相同的，而由于零售商在支付货款时已经卖出了所有商品，故不存在投资资金在存货上，没有机会成本，存货融资为0。

利息收入：

经计算得到，T≤M和M＜T两种情况下零售商利润的表达式是相同的。

3 供应商问题

供应商的目标是设定延期支付的期限M和卖给零售商单位货物的价格V，使得利润最大化。供应商的利润构成如下：

（1）每周期的销售收入=VQ

（2）每周期的产品成本=CQ

（3）每周期的订货成本=S

（4）每周期的机会成本

在供应商收到货款之前，即[0,M]的时间段内，会因为向零售商提供延期支付，没收到货款，产生相应的机会成本，表示如下：

供应商的年利润Πs=销售收入-产品成本-固定成本-机会成本

考虑到一般情况下θT远小于1，根据泰勒展开式，将eθT展开到第三项，即eθT≈1+θT+θ2T2/2，那么：

4 博弈模型

4.1 Stackelberg模型

在领导者和跟随者模型（即Stackelberg模型）中，供应商作为领导者，决定延期支付的期限M和卖给零售商单位货物的价格V，零售商作为跟随者，根据供应商的销售方案，决定零售价格P和销售周期T（即确定订货量Q），使得获得最大利润。

根据泰勒展开式，将eθT展开到第三项，即eθT≈1+θT+θ2T2/2，那么：

对上式分别关于P和T求一阶偏导取0，得到：

根据式（5）可以得到：

再根据式（4）可以得到：

故将式（6）和式（7）代入供应商的利润表达式，可以得到只关于T和M的二元函数，求该函数的最大值也就是在该模型下的利润最大化。

4.2 Pareto最优方案

帕累托最优也称为帕累托效率，供应商和零售商通过协调他们的销售方案，使得双方的利润都不减少，且至少有一方利润增加，这是一种合作博弈。参考Friedman解决帕累托最优的方法[6]，求下述目标函数最大化来解决。

∏s和∏b分别为式（2）和式（1）。

对上式关于V，P，T，M求偏导，得到如下等式：

假定V是经零售商和供应商协调达成一致后确定的数值，那么可以根据以上四个等式将λ、P、T、M解出。

4.3 纳什均衡

纳什均衡是一种策略组合，使得同一时间内每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。

在零售商与供应商的博弈中，如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益（即为了自身利益的最大化，没有任何单独的一方愿意改变其策略），则此策略组合被称为纳什均衡。

参考Friedman求解纳什均衡的方法[6]，该供应链的纳什均衡通过求下述目标函数最大化来解决。

Ss和Sb分别为在Stackelberg模型中供应商和零售商的利润额。

5 算例

5.1 Stackelberg模型算例

参数设置如下：S=300美元，K=400000，Ih=0.12，Ie=Ip=0.16，E=2.5，a=0.08，b=0.06，A=40美元，c=3美元，将退化率设置为θ=0.02。调用MATLAB中的用于求解非线性有约束目标函数的优化函数fmincon求解Stackelberg模型。运行结果如下：T=0.1702年，M=0.5578年，∏s=2182.1美元/年，∏b=5551美元/年，V=5.861美元/件，P=9.1444美元/件，Q=270件/次，D=1582件/年。

5.2 参数的灵敏度分析（在Stackelberg模型下）

由表2可知，在其他参数不变的情况下，当Ie较小时延期支付期限M为0（即供应商不提供延期支付），同时供应商提供一个相对较低的售价V给零售商。对于零售商来说，Ie较小时提供延期支付，零售商得到的利息收入较小；另一方面，对于供应商来说提供延期支付会增加其机会成本，故不提供延期支付。随着Ie增大，延期支付期限增加。另外，订货周期和订货量也在减少，其原因在于Ie越大存货的融资成本相对较大，减少订货量可以降低库存水平,从而降低库存的融资成本。

表2 Ie的灵敏度分析表（E=2.5，θ=0.02）

由表3可知，价格弹性系数E越大，说明当价格增加时消费者需求的下降幅度远大于价格增加的幅度。因此为了保证年需求维持一定的水平，零售商的销售价格会伴随着弹性系数的增大而降低，但是受价格弹性系数的影响，需求还是会有所减少，从而导致订货量以及零售商和供应商的利润减少。另一方面，为减少年订货费用，再加上需求量降低，订货周期会延长。

表3 E的灵敏度分析表（Ie=0.16，θ=0.02）

由表4可知，在其他参数不变的情况下，退化率较高的商品订货周期和订货量较小，其原因在于，退化率的增加会引起退化成本增加，减小订货量可以降低库存水平使得商品的变质消耗减少。另一方面，随着退化成本的提高，也会使得零售商向消费者的要价相对有所提高。显然，退化率增大，会使得零售商利润和供应商利润减少。

表4 θ的灵敏度分析表（Ie=0.16，E=2.5）

5.3 Pareto最优方案

假定供应商和零售商通过协商，将供应商向零售商的要价V定在一个相对较低的金额（4.4美元/件）。参数的设置跟上文中的相同，同样使用MATLAB软件中的fmincon进行运算，运行结果为：T=0.2786年，M=0.6541年，λ=0.5024，P=5.0871美元/件，∏s=6185.7美元/年，∏b=6368.2美元/年，D=6853件/年，Q=1915件/次，Z=6275。

显然，在合作的情况下相对于领导者和跟随者模型来说，供应商和零售商的利润都增加了。其原因在于，虽然双方的销售价格都减少了，但由于价格的变动使需求量大幅增加，从而使双方利润都增加。

5.4 纳什均衡

参数的设置跟上文中的相同，使用MATLAB软件中的求解非线性无约束目标函数的优化函数fminsearch进行运算，运行结果为：T=0.301年，M=0.5705年，P=5.1134美元/件，∏s=4599.9美元/年，∏b=7997.9美元/年，D=6765件/年，Q=2043件/次，W=6093700。

虽然与Stackelberg模型的方案对比，零售商和供应商的卖价大幅下降，但是在Stackelberg模型中零售商的利润远远超过供应商利润，在纳什均衡中零售商同样维持在供应链中获利的主导地位。

5.5 特殊情况

Stackelberg模型的特殊情况如表5所示。

表5 Stackelberg模型的特殊情况对照表（E=2.5，Ie=0.16）

由表5可知，在其他各参数不变的情况下，当供应商提供延期支付，且商品不变质时，供应商和零售商的利润最大。无论商品是否退化率为零，在此种情况下，供应商提供合适的延期支付期限可以使供应链中的两方都受益。

6 结论

本文针对变质商品的供应链上、下游企业的博弈行为、协调关系问题，建立了三种博弈模型进行比较分析，在此基础上讨论了供应商向零售商在一定情况下提供合理的延期支付的必要，为供应商和零售商的营销提供决策分析。研究表明：

（1）Stackelberg模型中双方的利润都较低，Pareto最优和Nash均衡中利润较高，而Pareto最优中供应商采取与零售商合作协商的方法，确定合适的交易价格，可以将自己的收益显著提高。故在市场营销中上游企业和下游企业应该避免损坏双方利益的恶性竞争，通过合作实现共赢。

（2）当零售商的短期资本增长率（或资本成本率）小于某个较小的值时（不同参数设置下该最大值不同），供应商向零售商提供延期支付会使得双方利润减小。

（3）在一定情况下，即零售商的短期资本增长率大于那个较小的值，供应商向零售商提供合理的延期支付期限，虽然会增加其机会成本，但是延期支付会对零售商有促销的作用，提高产品的销售量，会使得双方利润都有所提高。

（4）对于变质商品来说，退化率越高，供应链中的每一方都将遭受越大的损失，因此针对变质商品采取一系列的降低其退化率的措施是必要的。

[1]Abad P L,Jaggi C K.A Joint Approach for Setting Unit Price and the Length of Credit Period for a Seller When the Demand is Price Sensitive[J].Int.J.Production Economics,2003,83(5).

[2]Gupta D,Wang L.A Stochastic Inventory Model With Trade Credit[J].Manufacturing&Service Operations Management,2009,11(1).

[3]邱昊.基于延期支付的供应链库存协调[D].合肥:中国科学技术大学博士论文,2007.

[4]江世英,李随成.考虑产品绿色度的绿色供应链博弈模型及收益共享契约[J].中国管理科学，2015,23(6).

[5]文晓巍.变质商品的供应链库存策略研究[D].南京:东南大学博士论文,2005.

[6]Friedman J W.Game Theory With Application to Economics[M].New York：Oxford University Press,1986.