变权1-AGO GM(1,1,λ)模型及其应用

苏术锋，潘坤友

（盐城工学院 管理学院，江苏 盐城 200052）

0 引言

科学技术是“第一生产力”。技术创新是促进生产力发展的第一要素。国内外，无论是学术者，还是实际工作者，都十分重视技术创新的学术与应用的研究。因此，本文拟用灰色系统模型研究技术创新问题。

我国学者邓聚龙教授首先创建了灰色系统学说，特别是GM(1,1)模型，在“小样本，贫信息”的不确定系统下，成功地应用到经济管理的各种问题中[1]。GM(1,1)模型问世以来，由于其应用广泛，一直是国内学者研究的热点。不少学者寻找各种方法，对GM(1,1)模型进行改进，以提高其拟合精度和预测精度。文献[2,3]改进初始值，提高模型的精度；刘思峰（1991）提出缓冲算子概念后，文献[4,5]在强化或弱化算子方面作了深入的研究；谭冠军（2000）提出背景值构造方法，近年来，背景值构造方法研究十分活跃[6,7]；周伟、姚天祥、谢乃明等对GM(1,1)模型进行开拓性研究[8-10]。以上模型对不同时期数据采用等权累加，文献[11]提出了加权累加生成模型；文献[12]采用粒子算法，提出了变权累加生成模型。但其ρ(i)相对x(i)是不变的，所以仍然是加权问题。加权累加仅仅只能提供算子权重功能，不具备算子累加功能。文献[13]提出了分数阶累加GM(1,1)模型，但在其证明AGO表达式时，用矩阵方法从整数视角证明AGO表达式，然后将其扩展到分数形式。因为矩阵的幂不能为分数，所以这种从特殊到一般的证明方法是不正确的。文献[14]的AGO表达式中含有组合论表达式，因为组合论未研究分数组合问题，所以这对于分数阶AGO中的证明是不成立的。针对以上模型的不足，本文提出兼有累加和权重功能的变权1-AGOGM(1,1,λ)模型。它通过自定义变权函数，AGO表达式无需数学证明。

1 变权一次累加生成算子的定义与性质

GM(1,1)模型的原始形式：

定义1：非加权累加生成算子

定义2：加权累加生成算子

其中，权重ρ(i)相对x(0)(i)是不变的。

定义3：变权累加生成算子

其中，λ称为变权因子；权重ρ(i,k,λ)在不同k条件下，相对x(0)(i)是变化的。

定理1：加权或变权算子对于式（1）不成立。

证明：

（1）当ρ为加权时，ρ是i的函数，即ρ(i)

当非加权时，对于式（1）来说，恒有x(1)(k)-x(1)(k-1)=x(0)(k),k=2,3,…,n

当加权时，得：

因为是加权，所以ρ(k)不可能全部等于0或1，所以由式(5)可知：

（2）若ρ(i,k,λ)是变权，则：ρ是i,k,λ的函数，即ρ(i,k,λ)

由于ρ(i,k,λ)是自定义函数，可以定义ρ(i,k,λ)＞0且是k的增函数。

证毕。

定理2：加权或变权算子与原序列规律不一致性。

证明：假如有一等比算子X(0)=(aq,aq2,aq3,…,aqn)

若一变权ρ=(λ1,λ2,…,λn)，必有λ1,λ2,…,λn不全部为0或1。

由于λ1,λ2,…,λn不能全部为0或1。所以式(7)就不是等比算子。

证毕。

从定理2中可知，通过加权或变权，可以对原序列进行修正，使新算子更符合某种数列规律。同时也可以对原序列中某个偏差较大的数进行修正。

定义4：设X(0)=(x(0)(1),x(0)(1),…,x(0)(n)，X(1)=(x(1)(1),x(1)(1),…,x(1)(n)是X(0)的加权或变权AGO，则

为GM(1,1,λ)模型的原始形式。

1.我们为了活命吃东西，为了保命又不敢吃东西；2.交话费的时候，才发现自己的废话那么值钱；3.世界上最遥远的距离，就是星期一上午到星期五下午；4.婚姻是爱情的坟墓，更可悲的是，小三还要来盗墓。

（1）若是加权，由式（1）和式（8）可得：

如果是非加权累计算子，则ρ(k)=1，则式（9）就为式（1）。因此，加权累加算子是原型是非加权累加算子的一般形式。

（2）若是变权，由式（1）和式（8）可得：

从式（10）可知，变权又是加权的一般形式。

由式（6）可得变权1-IAGO公式：

2 变权一次累加生成GM(1,1,λ)模型[11]

2.1 变权GM(1,1,λ)模型基本形式

定义5：设原始非负序列为X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)，其变权累加生成算子为，其中ρ(i,k,λ)是变权函数，其中，λ为变权因子。则称：

为GM(1,1,λ)模型的基本形式。

其中：

用最小二乘法估计式（11）参数，得：

其中：

2.2 变权GM(1,1,λ)白化方程

由式（11）可得白化方程：

故上式的解：

考虑初始条件对式（13）影响，假设：

用最小二乘法对式（14）参数估计，则：

其中：

2.3 变权1-IAGO公式

3 应用

取某省技术创新2010—1015年相关数据，对上述模型进行实证。

3.1 变权函数[13]

自定义变权函数为：

3.2 数据拟合与λ模型选择

利用2010—2015年科研成果数据，选择不同的λ值，得不同λ值下本模型的预测值和MAPE值，如表1所示。

表1 某省科研成果量（项）

从表1知λ=0.9时，MAPE=4.6206%值最小，所以选λ=0.9时模型进行预测。

利用2010—2015年三种专利授权量，选择不同的λ值，由模型预测出各年的预测值并得到不同模型的MAPE值，如表2所示。

表2 某省三种专利授权量（件）

从表2中可知，MAPE=2.34554%最小，故取λ=0.6时模型进行预测。

利用2010—2015年大中型工业企业新产品销售收入，选择不同的λ值，由模型预测出各年的预测值并得到不同模型的MAPE值，如表3所示。

表3 某省大中型工业企业新产品销售收入（亿元）

从表3可以看出，λ=1.7,MAPE值最小，但这里取的旧数据权重较大，不符合新信息优先原则。本例中，λ越大,MAPE值就会增大。综合考虑，取λ=1时模型预测。

利用2010—2015年高新技术产业产值，选择不同的λ值，由模型预测出各年的预测值并得到不同模型的MAPE值，如表4所示。

表4 某省高新技术产业产值（亿元）

从表4中可知λ=1,MAPE=3.3135%,MAPE值最小；在新数据中，λ=0.4,MAPE=3.6964%，其值与最小值相差较小。考虑新信息优先原则和MAPE值大小，在此选择λ=0.4时模型预测比较合理。

3.3 未来三年预测

由表1可知取λ=0.9时，根据2010—2015年数据可预测未来三年科研成果量，如表5所示。

表5 某省科研成果量预测(项)

从表5可知，2010—2015年实际值数据波动很大，增长率6%～55%，显然序列不符合平滑性和准指数关系，但取λ=0.9（见表1），经过变权因子的调整，使其预测增长率趋于平稳，并保持11%左右合理的增长率。

由表2可知取λ=0.6时，根据2010—2015年数据可预测未来三年专利授权量，如表6所示。

表6 某省三种专利授权量预测（件）

从表6可知，2010—2015年三种专利增长45%左右，一度达到96%，但取λ=0.6（见表2），经过变权因子的调整，使其预测增长平稳保持在35%左右，与前六年增长率相比，更合理、更平稳。

由表3可知取λ=1时，根据2010—2015年数据可预测未来三年大中型工业企业新产品销售收入，如表7所示。

从表7知，2010—2015年增长率实际值数据波动很大，增长率从11%～47%,但选用λ=1（见表3）,以及采用新数据优先的新成代谢法，最后预测结果平稳增长在28%左右，这是比较合理的。

表7 某省大中型工业企业新产品销售收入预测（亿元）

由表4可知λ=0.4时，根据2010—2015年数据可预测未来三年高新技术产业产值，如表8所示。

表8 某省高新技术产业产值（亿元）预测

从表8可知，2010—2015年增长还是有一些波动，从2013年38%,分别下降到2014年的26%和2015年17%。在MAPE允许范围内，考虑新数据优先，取λ=0.4（见表4），经过变权因子的调整，使其预测增长率平稳保持在19%左右，与前六年增长率相比，更合理、更平稳。

4 结束语

（1）变权GM(1,1,λ)模型是GM(1,1)一般形式。基于MAPE视角GM(1,1,λ)模型是否比GM(1,1)优越，取决于其处理的数据。通过选择λ值，可以找到MAPE最小值。

（2）通过MATLAB计算可以发现，取λ小一点的值，最后一个拟合值与最后一个实际值误差就小；反之，就大。这也说明应选择λ小一点的值，确保预测值合理与准确。

（3）最小值的MAPE模型，其预测结果未必合理与准确。因此，选择预测模型应从MAPE和新数据优先二方面综合考虑。在MAPE允许范围中，尽可能选择较小一点的λ值，加大新数据权重，以保证预测的合理性与准确性。

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