被积函数是三角函数乘积的不定积分积分方法

【摘要】不定积分是高等数学的核心内容，不定积分的积分方法有直接积分、换元积分等。利用换元积分有时要先凑微分，然后再换元，但如何凑微分后换元更容易，其中需有一定的技巧，而且如何适当地选择变量代换没有一般规律可循。本文主要对被积分函数是三角函数乘积的不定积分进行研究，得出一些规律性的结论作以总结。

【关键词】不定积分 换元积分 凑微分

【基金项目】陕西省教育厅科学研究项目（17JK0962）；陕西省职业技术教育学会2016年度教育科研规划课项目（SZJY-1657）；商洛职业技术学院2017年度重大课题（2017JXKT06）。

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0137-02

不定积分是高等数学的核心内容，对于不定积分的积分直接利用基本积分表中的公式和不定积分的性质，只能计算一些简单的不定积分，仅靠这些能够计算的不定积分是非常有限的。换元积分法为比较复杂的不定积分提供了一种方法，它的基本思想是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分。用这个方法，可以通过适当的变量代换，把某些不定积分化为基本积分表中所列积分的形式，从而可以求出不定积分。

换元积分法的第一类是：

定理： 设f（u）是连续函数，F（u）是f（u）的一个原函数。又若u=φ（x）连续可微，并且复合运算f[φ（x）]有意义，则

f[φ（x）]φ'（x）dx=f（u）du|u=φ（x）=F[φ（x）]+C

它的作用在于：当所求不定积分的被积函数以复合函数形式出现时，如果能把被积表达式变为f[φ（x）]φ'（x）dx的形式，而把φ'（x）dx凑成微分dφ（x），则通过变量代换：u=φ（x），可把原积分f[φ（x）]φ'（x）dx化为f[φ（x）]dφ（x）=f（u）du。只要f（u）du容易积出，或可以直接从基本积分公式求得，那么在求得的结果f（u）du=F（u）+c中，再以u=φ（x）代回还原到原积分变量x，便可得到所求原不定积分的结果。这种积分法的关键是把被积函数中的一部分与dx凑微分，使被积表达式变成f[φ（x）]dφ（x）的形式，从而可以寻找出所需作的变量代换：u=φ（x），因此，这类换元积分法也称为凑微分法。

这种换元积分法在求不定积分中所起的作用，像复合函数的求导法则在微分中一样，在积分学中经常使用。但利用它来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来得困难，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当地选择变量代换u=φ（x）没有一般规律可循。本文主要对被积分函数是三角函数乘积的不定积分进行研究，得出一些规律性的结论作以总结。

一、计算型如sinmxcosnxdx（m，n为非负整数）的积分

（1）m和n中至少有一个为奇数

①当m为奇数时，可用sinx与dx凑微分得sinxdx=-dcosx，从而可令u=cosx。

②当n为奇数时，可用cosx与dx凑微分得cosxdx=dsinx，从而可令u=sinx。

（2）m、n均为偶数，则可先用倍角公式降低幂的次数，即利用sin2x=（1-cos2x），cos2x=（1+cos2x）化成cos2x的多项式，然后再换元积分。

例 （1）sin4xdx=（1-cos2x）dx

=（1-2cos2x+cos22x）dx

=dx-2cos2xdx+（1+cos4x）dx

=x-sin2x++sin4x+C

例（2）cos3xdx=（1-sin2x）cosxdx

=x-sin2x+sin4x+C

cosxdx-sin2xdsinx=sinx-sin3x+C

二、计算型如tanmxsecnxdx或cotmxcscnxdx（m，n为非负整数）的积分

（1）当m为偶数时，可把sec2xdx或csc2xdx分别凑成微分dtanx或d（-cotx）。

（2）当m、n均为奇数，可把tanxsecxdx或cotxcscxdx分别凑成微分d（secx）或d（-cscx），从而化成幂函数的积分。

例1 求sec6xdx

解 sec6xdx=（sec2x）2sec2xdx=（1+tan2x）2d（tanx）

=（1+2tan2x+tan4x）d（tanx）

=tanx+tan3x+tan5x+C

例2 求tan5xsec3xdx

解tan5xsec3xdx=tan4xsec2xsecxtanxdx

=（sec2x-1）2sec2xd（secx）=（sec6x-2sec4x+sec2x）d（secx）

=sec7x-sec5x+sec3x+C

三、計算形如sinαxsinβxdx，cosαxsinβxdx和cosαx

cosβxdx的积分，可利用三角函数的积化和差公式

例（1）cosxcosxdx

=cos（1+）x+cos（1-x）dx

=++C

（2）cos2xsin3xdx=[sin（2+3）x-sin（3-2）x]dx

=sin5xdx-sinxdx=cosx-cos5x+C

第一换元积分法在求不定积分中起到了非常重要的作用。要能准确而迅速地掌握这种积分方法，关键是要熟悉函数微分的运算及其变形。只有通过多练才能“熟能生巧”，逐步掌握不同类型积分的方法和技巧。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（六版）[M]北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等数学[M] 北京：机械出版社，2013.

[3]黄炜.经济学[M] 北京：高等教育出版社，2011.

作者简介：

龚加安（1975-），男，陕西商州人，硕士，商洛职业技术学院副教授，研究方向：不确定性推理和数学教育教学。