平面线圈型直线时栅参数优化方法

徐清华，武 亮，彭东林，徐 是

(重庆理工大学 时栅传感及检测技术重庆市重点实验室， 重庆 400054)

时栅位移传感器基于“时空坐标转换理论”，用时间变化量替代空间位移量，运用高频时钟脉冲插补的方式实现高精度测量[1]。新型磁场式直线时栅位移传感器是一种平面线圈型直线位移传感器，通过在测量平面刻划“回”型线圈的方式产生行波磁场，抑制机械加工齿槽对行波磁场的非匀速性影响，测量精度达到±1 μm[2]。传感器励磁线圈导线之间的间隔和两相邻励磁线圈中心距的大小是影响脉振磁场性能的重要参数。文献[2]中的传感器励磁线圈导线之间的间隔相等，两相邻励磁线圈中心距未做优化，从而使测量平面的脉振磁场谐波成分较多，影响传感器的测量精度。针对该问题，笔者所在课题组[3]前期采用枚举法对其进行优化，优化时间约为1.817 h，优化后谐波畸变率为0.167 4。该方法不仅费时，优化效果也不尽理想。

目前，学者们提出了诸如随机方向法、惩罚函数法、遗传算法等有约束优化方法[4]。其中随机方向法过程简单，但是计算效率较低。王普凯等[5]采用随机方向法对变速箱挡比进行优化，使车辆原地起步加速时间和累积燃油消耗量分别降低了7.133%、3.54%，但是优化时间为7.283 h。惩罚函数法通过引进1个乘法因子把其转化为无约束问题。邱丽芳等[6]采用惩罚函数法优化了柔性铰链的结构参数，优化后绕Z轴转动能力增大，运动能力减小，但是优化过程需要大量的时间。遗传算法具有收敛性好、计算时间少等优点[7-8]，但是该算法是一种全局优化方法，解决局部最优问题能力较差[9]。胡俊峰等[10]以微操作平台强度为约束条件，采用遗传算法对该平台进行优化，使平台固有频率增大了35.58%，最小应力减小了38.97%，但是函数容易收敛于局部最优值。对于上述传统优化方法的缺点学者们进行了大量的研究。Amirjanov等[11]提出了一种改变搜索区域的遗传算法，用12个标准测试函数测试其寻优性能，寻优效果良好，但是过程较复杂，局部寻优能力不高。Le Riche等[12]提出了一种隔离遗传算法，通过2个惩罚因子的相互调节避免惩罚值过大或者过小，但是在实际应用中效率较低。结合遗传算法和非线性规划算法的一种组合算法已被用到一些多参数、多约束的最优化问题中，非线性规划理论较强的局部搜索能力弥补了遗传算法的缺陷。

对于平面线圈型直线时栅位移传感器，励磁线圈存在多个导线间隔，数学模型相对较复杂，如能利用非线性规划遗传算法进行优化，不仅能使优化时间缩短，而且能提高优化效果。基于此，本文将传感器数学模型和非线性规划遗传算法相结合，对线圈导线间隔和相邻线圈中心距进行优化，产生较好的脉振磁场，从结构上减小了传感器的原始误差，提高了其测量精度。

1 传感器参数优化数学模型

1.1 传感器原理及参数优化模型

平面线圈型直线时栅位移传感器结构如图1所示，由方向相反的回型线圈串联分别构成正、余弦励磁线圈并置于导磁基体上，共同构成传感器的定尺。磁场拾取线圈绕制在齿型磁芯上，构成传感器动尺。

图1 传感器基本组成结构

对于单个励磁线圈(如图2所示)，当通入电流Im，线圈上方任一点P的磁场强度是AB、BC、CD、DA四根导线产生磁场强度的叠加，利用毕奥萨法尔定律求得点P处的磁场强度：

(1)

式中μ0为真空磁导率。每匝线圈在点P处产生的磁场强度之和即为单个励磁线圈在空间任意一点处的磁场强度：

(2)

式中n为线圈匝数。在z=z0处的k匝磁场拾取线圈沿x轴移动时，通过线圈的磁通量呈现周期性变化，可表示为傅里叶级数展开式：

(3)

式中：m为磁场拾取线圈匝数；sk为第k匝磁场拾取线圈的面积；φj为第j次谐波分量幅值；Pj为第j次谐波分量初相角；W为传感器节距。

图2 多匝线圈结构和单个励磁线圈计算模型

正、余弦励磁线圈相差1/4个节距排列，当正弦励磁线圈和余弦励磁线圈分别通入交流电流is=Imsinωt和ic=Imcosωt时，如只考虑总磁通量基波分量，磁场拾取线圈的感应电动势可表示为

(4)

在实际情况中，除去基波分量的其他谐波分量会带来测量误差。现有传感器励磁线圈导线采用等间隔排列，感应信号存在较多谐波成分。

取单相励磁线圈作为被优化物理模型，当磁场拾取线圈在励磁线圈上方移动时，产生的感应电动势呈现周期性变化，因此可通过傅里叶级数展开，如式(5)所示。

(5)

式中：A0为直流分量；Ai为第i次谐波分量幅值，φi为第i次谐波分量初相角。由式(5)得谐波畸变率：

(6)

式中n为谐波频次。谐波畸变率THD值越小表示感应信号越接近理想的正弦信号，叠加后的行波电信号谐波成分更少，因此以此作为优化的目标函数。

励磁线圈匝数为5匝，影响THD值的参数为每根导线与最外圈导线间隔r1、r2、r3、r4以及线圈中心距s。线圈外圈X方向导线宽度为定值5 mm，且导线直径为0.1 mm。由于线圈对称，因此导线间隔范围取[0.2 mm，2.4 mm]。由于取单相励磁线圈，两相邻线圈中心距最小值为10 mm，且传感器规格限制，中心距最大值不宜过大，因此取最大值为11 mm。得到约束条件为：

(7)

1.2 非线性规划遗传算法

图3 非线性规划遗传算法流程

非线性规划遗传算法是一种基于生物界自然选择原理和进化机制的智能算法。非线性规划理论作为经典的优化算法，其全局优化能力较弱，但是具有较强的局部优化能力，而遗传算法的基本理论是在孟德尔遗传定律上建立起来的，具有良好的并行性、极强的通用性和全局优化能力，结合非线性规划理论和遗传算法，使二者互补，可解决平面线圈型直线时栅位移传感器的脉振磁场优化问题。

非线性规划遗传组合优化算法优化基本流程如图3所示。

采用非线性规划遗传算法对励磁线圈脉振磁场进行优化需进行以下步骤：

1) 种群初始化

确立种群群体，即优化变量设计解的集合。根据励磁线圈参数取值范围设计一组解向量，采用实数编码法将这组解向量编码，每组解向量中单个单元称为染色体，对于传感器励磁线圈优化问题该向量可表示为

(8)

2) 求解适应度函数

适应度值大的解向量越有机会进行下一代遗传操作。对于励磁线圈脉振磁场的优化是求目标函数THD的最小值，因此把函数THD的倒数作为染色体的适应度函数：

(9)

3) 选择

由于适应度函数取THD的倒数，选择运算可表述为将前一代种群中THD值较小染色体按一定的概率筛选出来组成新的种群。优化过程中选择运算的方法为轮盘赌法，解向量中适应度值越大被选中的概率越大，个体i被选择的概率如下：

(10)

式中：Fi为染色体的适应度值；N为种群的染色体个数。

4) 染色体交叉

交叉运算方法选用实数交叉法，将2个染色体按照一定规则交换部分基因，染色体ak和染色体al在j位交叉运算的方法为：

akj=aij(1-b)+aljb

alj=alj(1-b)+akjb

(11)

式中b为[0,1]区间的随机数。

5) 染色体变异

任意选取单个染色体，将该染色体对应编码的某个位置改变得到另一个染色体，同时为确保种群的稳定性，变异染色体的个数不宜太多。染色体ai的第j个基因进行变异运算的方法为：

(12)

式中：amax为基因aij的上界；amin为基因aij的下界；f(g)为变异概率。

6) 非线性寻优

种群进化了一定代数后得到优化结果，以该结果作为非线性规划理论做局部优化的初始值，得到新的结果，以此作为新的解向量再进行遗传操作。

2 优化模型仿真

采用非线性规划遗传算法对传感器励磁线圈脉振磁场进行优化，该传感器平面线圈基本参数见表1。

2.1 Matlab建模仿真

优化过程中非线性规划遗传算法采用的基本参数：种群规模为100，进化代数为100，交叉概率为0.6，变异概率为0.05，耗时约为38 min。算法中种群严格约束在给定的范围内，保证生成的每个个体都是一个可行解，得到r1、r2、r3、r4的值后，后者减去前者即为导线间隔b1、b2、b3、b4。

图4反映了非线性规划遗传算法的优化过程，线圈导线间距和线圈中心距优化结果如表2所示。

表1 模型基本参数

图4 非线性规划遗传函数优化过程

图5 传感器三维仿真模型

2.2 Ansoft建模仿真

运用非线性规划遗传算法对传感器线圈参数进行优化后，采用ANSOFT软件对优化结果进行仿真验证分析，根据表1中励磁线圈基本参数建立基于ANSOFT软件的传感器三维仿真模型，如图5所示。

提取仿真感应信号结果，取幅值最大点进行傅里叶分解，得到谐波误差成分,如表3所示。由表3可知：除基波外主要存在3次谐波误差成分，谐波畸变率为0.017 7。根据优化结果得到理论的感应信号结果，再进行傅里叶分解得到谐波误差成分，如表3所示。由表3可知：同样主要存在3次谐波误差，且理论谐波畸变率值为0.016 4。对比理论与仿真感应信号的谐波误差成分和谐波畸变率可见：理论结果和仿真结果一致，说明用该方法优化传感器励磁线圈导线间隔和中心距是可行的。

表3 感应信号理论、仿真谐波值

提取原优化方法仿真感应信号结果，取幅值最大点进行傅里叶分解，得到谐波仿真值(表3)。对比两种优化方法可见：3次谐波误差减少了90%左右，其他频次谐波均下降明显，且谐波畸变率减小为原来的1/10，从而减小了直线时栅位移传感器的原始误差，提高了测量精度。

3 实验验证

图6 励磁线圈

根据上述优化结果，基于PCB刻划工艺加工传感器励磁线圈，如图6所示。

图7 磁芯与磁场拾取线圈

采用45钢加工导磁基体。将带有励磁线圈的PCB板紧贴在导磁基体上，形成传感器的定尺。根据本文理论、仿真建模分析可知：单匝磁场拾取线圈感应信号主要存在3次谐波误差成分，经过两磁场拾取线圈感应信号叠加后得到的谐波误差成分变为4次，为抑制单匝磁场拾取线圈感应信号的3次谐波成分，使传感器动尺磁芯上半部分和下半部分沿X轴方向设置，中心距为W/6，如图7所示。两齿分别反向绕制磁场拾取线圈，形成传感器动尺。

图8 实验平台安装示意图

搭建的实验平台如图8所示。在大理石平台上放置平面线圈型直线时栅、滚珠丝杠螺母副以及光栅尺(精度为±0.5μm)并固定，平面线圈型直线时栅的动尺和光栅读数头分别连接在丝杠螺母两侧，伺服电机带动丝杠转动，同时丝杠螺母做直线运动，保证光栅读数头和时栅动尺同步运动。带有位置信息的时栅和光栅信号同时被信号处理电路采集、处理，最后将处理后的两路信号发送到上位机进行比对。

平面线圈型直线时栅动尺运动21.85 mm即1个节距，取60个点做测量误差曲线，如图9所示。1个节距内测量误差峰峰值为10 μm，相较于本课题组前期测得的1个节距内测量误差减小了5 μm。傅里叶分解后可知节距内4次误差仍然存在，分析主要由于动尺磁芯机械加工过程中偏斜角度不能达到理想的偏角，以及实验平台安装误差等原因引起。

采用逐点修正法将传感器240 mm范围内测得的结果进行数据拟合并重复测量多次后，任意3次测量误差曲线如图10所示，测量误差为±0.8 μm。

图9 优化后一个节距内测量误差

4 结论

平面线圈型直线时栅位移传感器通过在测量平面内布置励磁线圈产生测量需要的磁场分布，从而消除了开槽绕线式直线时栅传感器的齿槽影响。然而平面线圈结构参数(如多匝线圈内部导线间隔、相邻励磁线圈中心距)会对磁场分布产生重要影响。本文在前期研究的基础上，提出了基于非线性规划遗传算法的平面线圈结构参数优化方法。通过建立优化算法数学模型，获取满足约束条件的传感器结构参数；在Matlab和ANSOFT软件中建立物理模型进行仿真验证，并与枚举法优化结果进行对比。根据优化结果设计传感器样机，搭建实验平台进行物理实验验证。根据算法分析和实验验证得到以下结论：

1) 利用基于非线性规划遗传算法的参数优化方法可有效削弱平面线圈产生的脉振磁场中的谐波成分；

2) 与枚举法相比，传感器结构参数新优化方法的优化效率提高了65%；

3) 根据优化结果设计的传感器精度有所提高，在240 mm的量程范围内测量精度从±1 μm提高到了±0.8 μm。

本研究为平面线圈型直线时栅的结构优化提供了理论依据和实验基础，对进一步研究高精度直线时栅位移传感器具有重要意义。

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