借几何直观 促深度理解 育数学素养

芮金芳

【关键词】几何直观；深度理解；核心素养

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）01-0066-03

几何直观作为新课标提出的十大核心概念之一，是学生发展中的必备数学素养，在其数学学习中发挥着重要的作用。几何直观主要指利用图形描述问题、分析问题，借助几何直观能把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能帮助学生直观地理解数学，使他们形成一种数形结合洞察世界的能力，培育其创造性的数学思维方式。所以，在数学教学中要注意发挥几何直观的独特价值，培養学生的几何直观能力，提升其数学综合素养。

1.借助几何直观，生动表征数学概念。

数学概念的形成是抽象、理性的。小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，而且在过渡的过程中需要具体表象的支撑。所以，在学习概念时需要几何直观提供具体、直观的支撑。如教学苏教版三上《分数的初步认识》一课时，教师提供几个不同的图形（如图1），让学生通过折一折、涂一涂表示出它们的二分之一，然后组织学生交流操作结果，从而提炼出二分之一的本质属性。

师：大家展示的图形都不同，为什么涂色部分都能用二分之一来表示呢？

生：不管图形的形状如何，只要把它平均分成两份，涂色部分是其中的一份，就表示这个图形的二分之一。

这是学生建立二分之一概念的重要环节。学生从具体实物（分一个蛋糕）的二分之一开始，逐步抽象到一个图形的二分之一，在不同图形的观察比较中，舍弃事物非本质、次要的特征，聚焦概括出“都是平均分成两份，取其中的一份”这一本质特性。教师引导学生将数译成形，再用语言表征描述所画图形的含义，使得学生把头脑中形成的二分之一的表象进行视觉化，增强了学生借助直观图形表征数学概念的能力，丰富了学生的数感，同时提升了他们运用几何直观形象、直观地刻画抽象概念的能力。

在数学学习中，由于受到已有经验和思维水平的限制，学生经常会遇到用语言表达不清的尴尬情形。这时，图形直观会成为学生最有效的表达工具。充分利用直观材料和几何形象能为学生提供自主思考、深度学习的思维路径。利用几何图形能清楚、直观地表达出数与数之间的关系，让学生在图形表征中发现积的分子和分母与两个因数的分子、分母之间的内在关系，自主建构分数乘分数的算法，并借助直观图示理解其算理。类似地，在学习整数加减法、小数乘除法、分数加减法时也都可以利用圆片、正方体模型、方格图等图形直观来表征运算过程的意义，同时以形助数更深入地理解其算理。

3.借助几何直观，提升问题解决能力。

数学问题一般由问题情境信息及其内在关系要素组成。要正确地解决数学问题，必须透过信息表层达到对数学问题结构性的理解。但有些数学问题的呈现形式过于烦琐，学生无法从文字的叙述和解读中抓住其中的核心关系，而难以将问题转化成自身可以理解的内容。例如：教学苏教版四上《解决问题的策略：画图》一课，有这样一个实际问题：“梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”面对这样复杂、冗长、抽象的实际问题，如果直接进行解答，学生很难找到数量之间的关系，在这样的认知冲突下，会自然引发他们画图（面积示意图）的内在学习需求。在学生用示意图（如图3）清楚、完整、简洁地表示出信息后，让他们对文字和示意图进行比较，深度感受画直观示意图的价值。在这里，几何直观起到启迪学生思考解题思路的作用，学生在层层分析、推理、解决问题的过程中，不但可以深刻感受到画图策略的重要地位，而且能充分体会画面积示意图对描述、整理问题和探寻、分析问题解决思路的价值和作用。

4.借助几何直观，发展推理想象能力。

直观推理是一种渗透性极强的思维形式，可以看作数学直观的精髓。加强几何直观教学并不单单要求学生能够利用示意图或线段图直观表征数、数量之间的关系，还要能利用图形产生新的认识，或借助图形进行直观推理，从而洞察各个对象之间的结构关系，获得直观、系统、整体性的认识。如：（1）小剧场原来每排有25个座位，有20排。扩建后每排增加5个座位，增加3排。扩建后共增加了多少个座位？（2）原计划买25个球，每个20元。实际每个涨价3元，而且多买了5个。实际比计划多用多少元？（3）一个长方形种植园长25米，宽20米。扩建后长增加5米，宽增加3米。扩建后的面积增加了多少平方米？乍一看，这三道题似乎毫不相干，情境内容各异，但深入思考后会发现它们的内在数量关系是一致的，可以用相同的几何模型来表达，如图4所示。所以，除了依据常规数量之间的关系列式（25+5）×（20+3）-25×20以外，根据长方形面积示意图的直观表达和划分，学生还能轻松地得到另外两种解法：5×（20+3）+25×3和（25+5）×3+20×5。这些多样化的思考和表达是学生借助几何直观进行比较、分析、推理和想象逐步形成的。从这个角度看，是一种创造性的数学思维。借助几何图形，学生能由浅入深、由表及里地展开想象，创造性地进行探究活动。

荷兰数学家弗赖登塔尔曾说过：几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。可见，几何直观可以帮助我们很好地把握问题的本质。作为学生必备的一种数学素养，几何直观的形成不是一蹴而就的，需要教师在教学中不断渗透几何直观的意识，教会学生图形直观的表达方法，使学生逐步积累几何直观表达的经验，提升其运用几何直观的能力。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]王林，等.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.

[3]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（5）：109-115.

（作者单位：江苏省溧阳市外国语学校）endprint