一道双曲线小题的分析

焦占红

摘要：在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有些考生没有考虑判别式，导致解题错误.

关键词：判别式； 双曲线

题目已知双曲线x2-y22=1，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.

解设点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为（x0，y0），

若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.

设经过点P的直线l的方程为y-1=k（x-1），

即y=kx+1-k.

因为y=kx+1-kx2-y22=1，

所以（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0（2-k2≠0）.③

所以x0=x1+x22=k（1-k）2-k2.

由题意，得k（1-k）2-k2=1，解得k=2.

当k=2时，方程③成为2x2-4x+3=0.

Δ=16-24=-8<0，方程③没有实数解.

所以不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P（1，1）是线段AB的中点.

点评 （1）本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.

（2）本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程.

（3）求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.

变式练习过双曲线C：x24-y29=1的左焦点作倾斜角为π6的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是（）.

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点且都在左支上

D.有两个交点分别在左、右两支上

解直线l的方程为y=33（x+13），代入C：x24-y29=1整理，得23x2-813x-160=0，Δ=（-813）2+4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得兩个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上.

直线与双曲线的位置关系是学习的重点和难点.在直线方程代入双曲线方程，化简得到一元二次方程的计算过程中，不可忽视“判别式”而致误失分.endprint