与抽象函数问题“过招”

2018-03-08何志雄

理科考试研究·高中 2017年12期

关键词：过招

摘要：抽象函数是指既没有给出具体的函数解析式，又没有用列表或图象的方法表示出来，只是给出一些特殊条件（如函数的定义域、函数图象经过的特殊点、解析递推式、部分图象特征等）的函数本文通过举例来说明解决抽象函数问题的八种典型策略.

关键词：抽象函数问题；代数推理；求解策略

作者简介：何志雄（1963-），男，四川资阳人，大学本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教育教学研究

一、适当赋值

“赋值法”是指给变量赋以符合条件的一个或几个值，亦可以是赋以符合条件的一个函数、一个方程、一个不等式、一个几何图形、一个函数图象等，变“抽象”为“具体”，对解决抽象函数问题往往能起到柳暗花明、峰回路转的功效.

例1已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（-3）等于（）.

A2B3C6D9

解析令x=-1，y=-2.则f（-3）=f（-1-2）=f（-1）+f（-2）+4.由此可见，需要先求出f（-2）、f（-1）.

令x=y=-1，得f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）+2；又令x=1，y=-1，得f（0）=f（1-1）=f（1）+f（-1）-2=f（-1）；再令x=y=0，得f（0）=f（0+0）=f（0）+f（0）+0.

所以f（0）=0，逐步向上代入，得f（-3）=6，故应选C.

评注用“赋值法”探求抽象问题时应注意两个原则：当需要求解抽象函数的具体函数值时，我们应以需要为原则，给变量赋恰当的值；当需要研究抽象函数的性质时，我们可采用消元思想，给变量对称赋值，求出抽象函数的解析式.

二、正难则逆

某些关于抽象函数的命题用直接法无从下手时，若考虑运用反证法，则往往可以起到简捷明快、化难为易的解题效果.

例2已知函数f（x）对其定义域内的任意两个实数a、b，当a

分析直接证明较难把理由说清，但若考虑用反证法，则可以迅速解决问题.

证明假设方程f（x）=0至少有两个不等的实根x1和x2，不妨设x1

则f（x1）=0，f（x2）=0，f（x1）=f（x2）.

這与由题设得到的“f（x1）

例3若f（x）是定义在实数集R的增函数，a、b∈R，满足f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求证：a+b≥0.

证明假设a+b<0，则a<-b，b<-a.

因为f（x）是定义在R的增函数，

所以f（a）

两式相加得f（a）+f（b）

这与已知条件“f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”矛盾，故假设不成立.所以a+b≥0.

评注运用正难则逆策略解决抽象函数问题的关键是熟悉反证法的原理.

三、特型探路

抽象函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为特型.在解题前，若能从所研究的抽象函数问题的条件入手，寻找其特型函数，通过分析、研究其图象或性质，找出问题的解法或证法，则可使解题少走许多弯路.

例4已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）为偶函数，则（）.

A.f（6）>f（7）B.f（6）>f（9）

C.f（7）>f（9）D.f（7）>f（10）

解析因为函数y=f（x+8）为偶函数，

所以可用f（x+8）=kx2作为特型函数，

即f（x）=k（x-8）2.

又f（x）在（8，+∞）上为减函数，

所以可设k=-1，f（x）=-（x-8）2.

显然应选答案D.

例5已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）当x>1时，f（x）<0；（2）f（12）=1；（3）对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），解不等式f（x）+f（5-x）≥-2.

分析由条件（3）知可用y=logax作为特型函数，又由条件（1）知0

解析设01.

因为f（xy）=f（x）+f（y），

所以f（x2）=f（x2x1·x1）f（x2x1）+f（x1）.

又由条件（1）有f（x2x1）<0，

所以f（x2）

故f（x）在（0，+∞）上为减函数.

由f（1）=f（1）+f（1）得f（1）=0.

又因为f（12）=1，

所以f（2×12）=f（2）+f（12）=0.

故f（2）=-1，f（x）+f（5-x）≥-2=2f（2）=f（4）.

所以x>0，5-x>0，且x（5-x）≤4.

解得0

评注由题中所给抽象函数的结构特征，联想学过的具有相同或相似结构的“特型函数”，并由“特型函数”的相关性质，预测、猜想抽象函数可能具有的性质常常是解决抽象函数问题的突破口，但一定要注意不能直接用“特型函数”替代抽象函数，那样将犯用特殊代替一般的错误（解答客观题还是允许的）.

四、构造函数

抽象函数问题中常常会出现下面的情形：若函数f（x），g（x）在区间（a，b）上均有意义，且对于任意x∈（a，b），f（x）≥g（x）恒成立.解决这类问题的较好思路是通过构造差函数并结合导数的有关知识.

例6设函数f（x），g（x）在区间a，b上可导，且f ′（x）>g′（x），则当a

A.f（x）>g（x）B.f（x）

C.f（x）+g（a）

D.f（x）+g（b）

解析构造函数F（x）=f（x）-g（x）.

因为函数f（x），g（x）在区间a，b上可导，所以函数F（x）=f（x）-g（x）在区间a，b上可导.

又因为f ′（x）>g′（x），所以F ′（x）=f ′（x）-g′（x）>0在区间a，b上恒成立.

即函数F（x）=f（x）-g（x）在区间a，b上单调递增.

所以对任意x∈（a，b）恒有F（x）

即f（x）-g（x）

故f（x）+g（b）

评注解答过程没有过多考虑f（x）与g（x）在某具体点处的函数值的大小问题，而是从构造差函数入手，并利用差函数的导数研究新函数的单调性，快捷地得到相应的结论.

五、整体思考

这种策略适合解答两类抽象函数问题：一是已知几个抽象函数的奇偶性，求解由这几个函数构成的更复杂函数的某一函数值，可利用奇偶性整体思考解决；二是已知一个函数方程求函数解析式，可将函数方程中的自變量x代换成别的自变量（应注意函数的定义域不发生变化），得到一个或几个新的函数方程，然后设法联立原方程，通过整体消元求得函数的解析式.

例7已知f（x），g（x）为奇函数，F（x）=af（x）+bg（x）+3（a，b为常数），若F（4）=-4，则F（-4）=.

分析由于F（x）的解析式中含有两个参数a、b，但只知F（4）=-4，无法用待定系数法确定a、b的值，因此解析式不确定，可利用奇偶性整体思考解决.

解析设φ（x）=af（x）+bg（x），

则φ（x）=F（x）-3.

由题设可知φ（x）为奇函数.

φ（-4）=-φ（4）=-F（4）-3=7.

又因为φ（-4）=F（-4）-3，

所以F（-4）=10.

评注上述解法的实质是运用整体思想求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解.

例8已知f（x）+f（x-1x）=1+x（x≠0且x≠1），求函数f（x）的解析式.

解析f（x）+f（x-1x）=1+x.（1）

将（1）中的x用x-1x代换得：