例谈基本不等式求最值的十种策略

张刚

摘要：利用基本不等式求最值时，要坚持“一正二定三等”这三个原则，这里蕴含着不等式的最值定理：“积定和最小，和定积最大”利用这个定理时，往往由于所给的式子不一定直接具备基本不等式的结构条件，这就需要我们对所给的式子进行恒等变形构造，使之达到基本不等式的条件下面本文介绍十种常用的构造方法，以期达到抛砖引玉的作用.

关键词：不等式；最值；策略

一、整体化处理

例1若a，b满足1a+2b=ab，则ab的最小值等于（ ）.

A2B2 C22D4

解由基本不等式得ab=1a+2b≥22ab，当且仅当b=2a时取等号，整理得ab≥22.故选C.

评注遇到求a+b，ab的最值，一般可以对题设条件直接使用基本不等式，获得关于a+b，ab的不等式，进而化简变形，即可顺利求解.

二、凑配系数

例2求函数y=sin2x·cos2x+1sin2x·cos2x的最小值.

解引入待定正实数λ，μ，且λ+μ=4，则

y=sin22x4+4sin22x=sin22x4+λsin22x+μsin22x≥2sin22x4·λsin22x+μsin22x≥λ+μ，当且仅当sin22x4=λsin22x且sin22x=1，即λ=14，μ=154时等号同时成立，所以y有最小值174.

评注一般来说，见到和就想积，凑积为定值，则和有最小值；见到积就想到和，凑和为定值，则积有最大值若问题满足了运用基本不等式的条件“正”“定”，而取等条件无法直接确定时，我们应引入参数，利用待系数法探索恰当的取等条件，从而确定适当的系数.

三、加减配常数项

例3已知x<54，求函数fx=4x-2+14x-5的最大值.

解由5-4x>0，得fx=-[5-4x+15-4x]+3≤-2+3=1，当且仅当x=1时等号成立，故函数fx的最大值为5.

评注求解本题需要关注两点：一是对已知条件的适当变形构造，由x<54得到5-4x>0；二是对目标函数解析式的适当变形构造，以便活用结论“若x<0，则x+1x=--x+-1x≤-2-x·-1x=-2”.

四、连续使用基本不等式

例4若a>b>0，求a2+16ba-b的最小值为.

解a2+16ba-b≥a2+16b+a-b2=a2+64a2≥16（当且仅当b=a-b且a=8a，即a=2b=22时等号成立），故a2+16ba-b的最小值为16.

评注此处第一次运用基本不等式，实质也是化二元为一元的消元过程连续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致，否则就会出错.

五、分离（分子）常数

例5若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是.

解因为x>0，所以x+1x≥2，所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15（当且仅当x=1时取等号），所以xx2+3x+1的最大值为15，所以由已知不等式恒成立得a≥15，故a的取值范围是15，+∞.

评注对xx2+3x+1的分子、分母同除以x可得到1x+1x+3，其优点是将变量x全部集中在分母位置，为灵活运用基本不等式创造有利的条件.

六、变用公式

例6函数y=2x-1+5-2x（12

解y2=2x-1+5-2x2

=4+22x-15-2x

≤4+2x-1+5-2x=8.

又y>0，所以0

评注基本不等式a+b2≥ab有几个常用变形结论：a2+b22≥ab，a+b22≥ab，a2+b22≥a+b2，a2+b22≥a+b22前两个变形结论很直接，后两个变形结论不易想到，应重视.

七、對数变换

例7已知a>0，b>0，ab=8，则当a的值为时log2a·log22b取到最大值.

解因为当log2a·log22b取最大值时，log2a·log22b必定同号，所以log2a·log22b≤log2a+log22b22=log22ab22=4，当且仅当a=4，b=2时取等号故当a的值为4时，log2a·log22b取到最大值.

评注本题重点考查ab≤a+b22与对数运算法则logaM+logaN=logaMN的交汇.

八、三角变换

例8已知0

解考虑到已知条件为正切关系式，则应将目标式取正切化简变形.

因为00且0≤x-y<π2，

所以tanx-y=tanx-tany1+tanxtany=23tany+1tany≤33.

当且仅当tany=33，即x=π3，y=π6时等号成立，因正切函数在0，π2上单调递增，所以x-y≤π6故t=x-y的最大值为π6.

评注解题思路：需要借助正切函数的单调性，间接获得x-y的最大值.

九、常数代换

例9若直线xa+yb=1a>0，b>0过点1，2，则a+b的最小值等于.

解由已知得1a+2y=1，与目标式结合构造积为定值的倒数结构.

a+b=a+b1a+2b=3+2ab+ba≥3+22，当且仅当b=2a=2+2时取到最小值3+22.

评注常数代换是将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值，其中常用“1”的代换.

十、y=1a+ab型变换

例10设a+b=2，b>0，则当a=时，12a+ab取得最小值.

解12a+ab=a+b4a+ab=a4a+b4a+ab≥-14+2b4a·ab=34，当且仅当b4a=ab且a<0，即a=-2，b=4时取等号故当a=-2时，12a+ab取得最小值.

评注本题难点在于：关注常数代换及拆分、放缩变形，注意a4a≥-14.

总之，基本不等式在高考数学试题中，是重点考查的知识点，也是与其他数学知识容易交汇命题考查的难点之一，因此所给题目的条件特点，深化理解、强化应用，灵活选择上面这十种常用的变换策略，相信在有关基本不等式求最值的问题中就会轻松破解.