让解析几何题“活”起来

摘 要：圆锥曲线是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一，也是高考的热点。但高考中解析几何解答题的得分率并不高，究其原因主要是学生对解析几何题“先天”胆怯，再加上繁琐的运算，如果对题目中模型的内涵和本质也不熟悉，那更是难上加难了。认为在平时的教学中要注重对解析几何模型的积累及拓展，要让解析几何题“活”起来。通过挖掘试题的内涵和本质，并提出具有探究性的问题，使学生在掌握数学知识的同时初步学会研究问题，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

关键词：圆锥曲线；数学教学；几何题

一、提出问题

（2016届高三江苏省苏锡常镇四市第一次模拟考试第18题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： + =1（a>b>0）过点P（1， ），离心率为 。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点。①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线斜率的乘积为t，求t的最大值；②若直线l的斜率为 ，试探究OA2+OB2是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由。

二、分析问题

对（Ⅰ）问，根据条件列出关于a，b，c的关系式，从而求出椭圆的方程。

对（Ⅱ）①问，根据直线的点斜式方程假设出直线l的方程，利用设而不求及韦达定理的思想将t表示成关于直线l的斜率k的表达式，进而求出最值。

对（Ⅱ）②问，根据直线的斜截式方程假设出直线l的方程，设出A、B两点坐标，将OA2+OB2表示成关于直线l的截距的表达式，进而求出定值。

本题主要考查的知识点为椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系及定值问题；求解过程中考查学生的思维转化能力及分析问题、解决问题的能力，难度适中，注意通性通法，淡化特殊技巧。

三、拓展问题

笔者对此题（Ⅱ）问的两个小问进行拓展，得到如下几个重要性质，望与读者共勉。

1.有关①问的拓展

（1）焦点在x轴上的椭圆：已知点P（c， ）在椭圆C： + =1（a>b>0）上，若过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABP三条边所在直线斜率的乘积最大值为 。

证明：设直线l的方程为x=my+c，直线l与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），

由x=my+c + =1得（a2+b2m2）y2+2mb2cy-b4=0，易知？驻>0，

所以y1+y2=- ，y1y2= ，

所以，kAPkBP= · = · =

· =- - ，

所以，kAB·kAP·kBP=- - =- （ + ）2+ ，

所以當m=- 时，kAB·kAP·kBP取得最大值 。

（2）焦点在y轴上的椭圆：已知点P（ ，c）在椭圆C： + =1（a>b>0）上，若过椭圆C焦点F（0，c）的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABP三条边所在直线斜率的乘积取值范围为（-∞，0）∪[ ，+∞）。

（3）焦点在x轴上的双曲线：已知点P（c， ）在双曲线C： - =1上，若过双曲线C右焦点的直线l交双曲线于A、B两点，则△ABP三条边所在直线斜率的乘积最小值为- 。

（4）焦点在y轴上的双曲线：已知点P（ ，c）在双曲线C： - =1上，若过双曲线C焦点F（0，c）的直线l交双曲线于A、B两点，则△ABP三条边所在直线斜率的乘积取值范围为（-∞，

- ）∪[0，+∞）。

（5）焦点在x轴上的抛物线：已知点P（ ，m）在抛物线C：y2=2mx（m≠0）上，若过抛物线C焦点的直线l∶y=k（x- ）交抛物线于A、B两点，则△ABP三条边所在直线斜率的乘积为2k2。

（6）焦点在y轴上的抛物线：已知点P（m， ）在抛物线C：x2=2my（m≠0）上，若过抛物线C焦点的直线l∶y=kx+ 交抛物线于A、B两点，则△ABP三条边所在直线斜率的乘积为 。

2.有关②问的拓展

（1）焦点在x轴上的椭圆：若直线l∶y=kx+t与椭圆C： + =1（a>b>0）交于A、B两点，则OA2+OB2为定值（与t无关）的充分必要条件为直线l的斜率为± 。

证明：设直线l与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），

充分性：不妨设直线l的方程为y= x+t（y=- x+t同理可证），下证OA2+OB2为定值。

由y=- x+t + =1得2b2x2+2abtx+a2t2-a2b2=0，x1+x2=- ，x1x2= ，

所以OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=（1+ ）（x12+x22）+ （x1+x2）+2t2=（1+ ）[（x1+x2）2-2x1x2]+ （x1+x2）+2t2=（1+ ） - - · +2t2=a2+b2（定值）。

必要性：

由y=kx+t + =1得（a2k2+b2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0，

x1+x2=- ，x1x2= ，

所以OA2+OB2=（1+k2）[（x1+x2）2-2x1x2]+2kt（x1+x2）+2t2=

2c2 t2+ ，令a2k2-b2=0得k=± ，此时OA2+OB2为定值a2+b2，证毕。

（2）焦点在y轴上的椭圆：若直线l∶y=kx+t与椭圆C： + =1（a>b>0）交于A、B两点，则OA2+OB2为定值（与t无关）的充分必要条件为直线的斜率为± 。

显然，在双曲线和抛物线中，不具有类似性质。

参考文献：

[1]沈臻.例谈数学课堂中的问题链设计[J].数学学习与研究，2015（17）：34.

[2]邵礼翠.提问，让数学例题“活”起来[J].数学教学研究，2017（7）：16-17.

编辑 郭小琴