心系“轻绳”与“轻杆”模型，巧解竖直平面圆周运动

李远祥

圆周运动属于曲线运动的一种类型，主要分为水平面的圆周运动与竖直平面的圆周运动；物体进行圆周运动需要向心力，而向心力是效果力，由指向圆心的合外力提供。在高中学习阶段，对于竖直平面的圆周运动，根据物体运动至轨道最高点时的受力情况主要分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型”；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型”；通常从动力学角度与能量角度探究物体在最高点与最低点的临界状态与临界条件。它是近几年高考中的重要考点之一，也是学生在平时学习过程中遇到的难点之一。

一、“轻绳”或“轨道”模型

此模型主要指物体在轨道最高点时，绳或轨道对物体无向上的支撑作用，只有向下的拉力或压力。通常，會涉及“刚好”、“恰”等需要对物体在此位置进行受力分析，利用牛顿运动定律F_合=F_向求解。

例1 如图1所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是（ ）

A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

B.小球在最高点时绳子的拉力有可能为零

C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零

D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力

拓展：若例1中小球刚好能完成竖直平面完整的圆周运动，试求：小球运动到轨道最低点时对绳子的拉力？

【点评】解决此类问题关键是：首先要确定状态或过程，对研究对象进行正确的受力分析，结合牛顿运动定律以及功能关系（如动能定理、机械能守恒定律等），列方程求解即可

例2 如图2所示，一个光滑的半径为尺的半圆形轨道竖直放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？

【点评】此题涉及竖直平面的“圆轨道”模型，其在最高点的临界状态与条件和“轻绳”模型一样，同时，处理的方法依旧是牛顿运动定律与功能关系等。此类问题通常会与直线运动、平拋运动等进行综合考查。

二、“轻杆”或“管道”模型

此模型主要指物体经过轨道最高点时，杆或管道可对物体有向上的支撑作用。通常，会涉及“刚好”、“恰”等需要对物体在此位置进行受力分析，利用牛顿运动定律F_合=F_向求解。

例3 有一长度为L=0.50m的轻质细杆0A，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图3所示，小球以0点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速度是2.0m/s，g取10m/s²，则此时细杆OA受到（ ）

A.6.0N的拉力 B.6.0N的压力

C.24N的拉力 D.24N的压力

例4 如图6所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内。A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部压力为0.75mg，求A、B两球落地点间的距离。

【点评】此题考查竖直平面圆周运动的“管道”模型以及平拋运动处理的方法。“管道”模型属于有支撑作用的类别；所以受力分析时要正确画出管道对小球弹力的方向，再结合已知条件与牛顿运动定律求解小球在最高点的速度大小。学生易在向心力来源的分析出现错误。

总结：竖直平面内的圆周运动是一种典型的曲线运动，学生在分析时易出现模型模糊，弹力方向不确定以及牛顿第二定律与第三定律应用的错误。此类问题的基本求解思路：（1）确定模型：首先判断是“轻绳”模型还是“轻杆”模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。（2）确定临界点： ν_临=√gr，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力还是拉力的临界点。（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F_合=F_向。（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。所以，学生一定要具备建立正确模型的意识与能力，以及使用对应的物理规律如牛顿运动定律和功能关系解决问题的能力。endprint