审视绳系连接体教学中的两个困惑

何忠燕

(江苏省梁丰高级中学 江苏 苏州 215600)

两个或以上的物体通过轻绳连接，各自经历相同或不同的运动过程，如图1和图2所示；这是中学阶段比较常见的绳系连接体情景；于学生而言，绳系连接的物体之间力学联系较为简单，但物体之间的运动联系特别是速度大小关系，以及轻绳对每个物体做功的问题颇为困扰学生.

图1 速度大小相等的连接体

图2 速度大小不等的连接体

本文从绳系连接体的基本特点入手，一是帮助学生快速判断连接体间的速度关系；二是通过证明导出轻绳对两个物体做功的特征，寻求找到解决绳系连接体中能量关系的方法.

1 绳系连接体的动力学特征

轻绳是一种理想模型，它的质量和形变均可以忽略，因此绳系连接体中绳子的总长度不会发生变化；因此轻绳一端伸长的长度必然与另一端收缩的长度相同，轻绳一端伸长的速度也必然与另一端收缩的速度相同，即v伸=v收.在轻绳与接触的介质之间摩擦可以忽略的情况下，轻绳对和它连接的两个物体施加的弹力大小相等，且弹力与连接的轻绳在同一直线上.

2 绳系连接的物体间的速度联系

学习过运动的合成与分解，经常需要讨论绳系连接体之间的速度关系；对于初学者而言，应用运动分解解决具体问题一般会有以下几个困惑：

问题1:连接体中物体的速度要不要分解？

问题2:若要分解，将什么速度分解？

问题3:分解速度时沿哪两个方向？

解决以上3个问题，首先要明确探讨的目标——寻找连接物体之间速度的大小关系.

对于问题1，只要判断两个物体的速度大小不相等，就需要将连接体中某个(或两个)物体的速度分解，至于如何判断两个物体的速度大小相等，高中阶段通常的做法，取一段极短的时间Δt，在情境图中找出该时间内两个物体各自的起始位置，比较它们的路程Δs是否相等，若路程相同，根据瞬时速度的定义，两物体的速率必定相等.

图1中A上升的路程等于B下落的路程，所以vA=vB.图2中，取连接体运动的一段很短时间内，当两物体各自到达虚线位置如图3所示，物体B的路程为图中的ΔsB，过程中连接物体B的轻绳由L1变成L2；物体A的路程等于定滑轮左边轻绳伸长的长度，也等于定滑轮右侧轻绳缩短的长度.在连接B的轻绳L1上取一段长度等于L2，L1上余下的那部分长度就是定滑轮右侧轻绳收缩的长度，即为物体A的路程，由三角形知识(大边对大角)可知，ΔsB大于ΔsA；所以vA的大小不等于vB.

图3 相等时间内两物经过的路程比较

对于问题2，只有当被连接的两个物体速度大小不相等，才需要考虑将连接体中物体的速度分解.由于连接的介质轻绳(或轻杆)也在运动，刚接触运动分解的高中学生容易混淆合运动是指物体的运动还是连接介质的运动，教师只需强调合运动的概念——物体实际发生的运动(不是连接介质的运动)，所以物体的实际运动速度才是合速度，才是需要分解的对象.

在具体的问题中，绳系连接体的两个物体的速度是不是都要分解，要看物体的运动对连接它的轻绳产生了几个效果，如果效果单一，则该物体的速度不需要分解.图2中，物体A的运动仅仅使连接它的轻绳伸长，运动产生的效果唯一，因此物体A的速度不需要分解；而物体B的运动不仅使连接它的轻绳收缩(由长度L1变为L2)，同时还使轻绳与竖直方向的夹角减小(轻绳绕与定滑轮的接触点转动)，因此物体B的速度需要分解.

对于问题3，绳系连接体中速度分解是按照物体使轻绳产生的实际效果进行的，即将物体的速度沿轻绳方向(使轻绳伸长或收缩的速度)和垂直于轻绳方向(使轻绳转动)两个方向分解，根据绳系连接体的运动学特征v伸=v收，就能建立绳系连接体中两物体之间的速度大小关系.

图2中，物体B运动使连接它的轻绳变短，其速度分解如图4所示，可得

图4 速度按实际效果分解

v收=vBcosα

物体A运动仅仅使连接它的轻绳伸长，v伸=vA，故

vA=vBcosα

以上是运动合成与分解在教学中的一种常规思路.对初学者而言，立足于轻绳的动力学特征，剖析绳系连接体之间的速度关系有利于学生掌握运动合成与分解的基本原理，也有利于培养学生的物理科学思维，在新授课阶段无疑对学生大有裨益；但若在找寻绳系连接体的速度关系习题中都采用这种分析方法，那过程就显得有些繁琐，因此有必要提炼出相对高效的规律.

因为绳系连接体间v伸=v收，若两物体的速度不相等，我们只需找到两个速度沿轻绳方向分量.只有一种情况“与轻绳垂直的速度分量”为零——即物体的速度方向和连接物体轻绳平行，此时沿轻绳方向的速度分量就等于物体的速度(v伸=v物或v收=v物).因此找寻绳系连接体的物体速度关系，我们可以两个简单步骤：

(1)观察物体的速度与连接物体的轻绳是否平行；若都平行，则两物体的速度大小相等，都等于轻绳的伸长或收缩速度，若其中有物体的速度和轻绳不平行，则将该物体的速度分解.

(2)绳系连接体速度按照规定的范式分解：沿轻绳方向和垂直于轻绳方向；建立v伸=v收的关系即可.

下面我们就按照上面的方法分析两个案例.

图5中，物体A的速度和连接A的轻绳平行，物体B的速度和连接B的轻绳平行，只要轻绳不松弛，A和B的速度大小就始终相等.

图5 两物速度等大，拉力做功大小相等说明图

图6中，物体A的速度和连接A的轻绳不平行，物体B的速度和连接B的轻绳也不平行，因此A和B的速度均需分解，按照规定的范式，必然有

图6 两物体速度大小不等，拉力做功大小相等说明图

vAcosβ=vBcosα

图7中，物体A的速度和连接A的轻绳平行，绳子收缩速度v收=vA；物体B的速度和连接B的轻绳不平行，只需将B的速度分解

图7 系统机械能守恒说明图

v伸=vBcosα

所以

vA=vBcosα

3 绳系连接体中轻绳对两个物体做功的特征

在绳系连接体中，轻绳对两个物体的弹力可以是恒力，如图5轻绳对A和B的拉力；也可以是变力，如图6轻绳对两个物体的拉力.在这些情境中，轻绳对两个物体做的功大小有什么关系呢？

尽管在机械能守恒定律中强调，系统内如果只有重力和弹力(非突变弹力)做功，系统的机械能守恒；但教材中并未做详细的阐述，学生在涉及弹力做功的系统中应用机械能守恒定律时总是带着困惑.在这里我们先应用“瞬时功率法”证明系统内的非突变弹力(是系统的内力)对物体做功的特征.

忽略与轻绳接触的物体间的摩擦；根据轻绳的动力学特征，轻绳对和它连接的两个物体弹力大小相等.设轻绳任意时刻的弹力大小为F，物体的速度为v，弹力F与速度v之间的夹角为θ，弹力F的瞬时功率P=Fvcosθ.

图5中，轻绳的弹力与两物体的速度均平行，弹力F对物体A做功的瞬时功率PA=-Fv(夹角为π)，“-”表示弹力F是物体A运动的阻力，对物体A做负功；弹力F对物体B做功的瞬时功率PB=Fv(夹角为零)；轻绳的弹力对两个物体做功的快慢始终相同，在同一时间内，轻绳对两个物体的功WA和WB的大小必然相等，但对A做负功，因此WA+WB=0.

图6中，轻绳的弹力与两物体的速度都不平行，弹力F对物体A做功的瞬时功率PA=-FvAcosβ，“-”表示弹力F是物体A运动的阻力，对物体A做负功；弹力F对物体B做功的瞬时功率PB=FvB·cosα；由前面的分析有vAcosβ=vBcosα；因为轻绳的弹力对两个物体做功的快慢也始终相同，故轻绳对两个物体的功WA和WB的大小必然相等，只不过对A做负功，同样WA+WB=0.

综上所述，绳系连接体中无论轻绳的弹力是恒力还是变力(绳子不能突然绷紧)，轻绳对两个物体做功的代数和均为零.

在忽略一切摩擦的情况下，如果讨论类似图7的情境时，若将物体A和B视为系统，在A，B运动的过程中，根据功能关系——除重力外其他力的功等于物体机械能的改变量，可知弹力对物体A的功为WA=ΔEA，弹力对物体B的功为WB=ΔEB，将两式相加

WA+WB=ΔEA+ΔEB=0

即物体A和B组成的系统机械能守恒.这就对高中物理必修教材上机械能守恒定律的论述做了一个很好的辅证.

下面再用一个案例来讨论绳系连接体的功能关系.

【例题】套在光滑竖直细杆上的小球B用细线绕过定滑轮与放在斜面上的物体A连接，如图8所示，已知斜面倾角为37°，A与斜面间的动摩擦因数为μ，定滑轮与细杆间的距离为L；开始时施加外力使B球静止，此时连接B的轻绳水平，撤去外力后B球运动到最低点时轻绳与杆的夹角为37°，求物体A与小球B的质量之比.

图8 案例题图

对物体A应用动能定理

虽然轻绳的拉力为变力，但它对两物体的功之和为零，将两式相加，即可解得

“多物体”组成的问题情境一直是高中阶段探究的热点，于学生而言，厘清绳系连接体的运动联系以及功能关系不仅仅有利于学生掌握此类题型的分类方法，更能培养学生物理科学思维、物理建模以及求真的精神.此外，文中对绳系连接体的两个困扰的解释也可以迁移到活杆组成的连接体上.