巧析竖直平面内的圆周运动

郭耀忠+苗芳

摘 要：提出了对圆周运动中最高点和最低点的正确理解，再通过研究重力场中竖直平面内的圆周运动，提炼技巧，通过类比法，分析了如何在重力和匀强电场的复合场中巧妙地选取圆周运动的最高点和最低点，以及最高点所对应的临界问题。

关键词：竖直平面；圆周运动；最高点；最低点；复合场；临界

一、最高点、最低点的正确理解

竖直平面内的圆周运动所涉及的大多只有场力做功，那么势能和动能之和就是个定值，所谓的最高点就是势能最大的点，对应动能和速度也就最小，而最低点就是势能最小的点，对应动能和速度也就最大，带电球在重力场和匀强电场的复合场中除了具有重力势能外，还有电势能，在这种情景中的势能应是重力势能与电势能的总和，因此势能最大，应理解为重力势能与电势能的总和最大，而重力势能并不一定最大，所以复合场中竖直平面内的圆周运动的最高点、最低点不能简单地理解成空间位置的最高点、最低点.

二、类比法巧析复合场中的圆周运动

（一）重力场中竖直面内的圆周运动

例举情景：小球在竖直放置半径为r的光滑绝缘轨道内作圆周运动.过轨道的圆心做一条重力的作用线，与圆轨道交于两点，沿重力的方向依次为最高点A和最低点B.对应重力势能的最高点和最低点.若恰能做完整圆周运动则在最高点A满足只受场力（此处仅为重力），由牛顿第二定律得：mg=m .解得这种临界情况下的临界速度v= ，即过最高点A的速度要大于或等于 方能作完整圆周运动.

图1

技巧沉淀：过竖直平面内的圆周运动的轨道圆心，作一条球所受场力的作用线，与圆轨道交于两点，沿场力方向依次为最高點和最低点，若恰能做完整圆周运动，则在最高点满足只受场力，由牛顿第二定律得：F场=m 。在重力场与匀强电场的复合场中的场力应该理解为是重力和电场力的合场力.

（二）类比巧析重力场与匀强电场的复合场中竖直面内的圆周运动

例举情景：质量为m，带电量为+q的小球在竖直放置半径为r的光滑绝缘轨道内作圆周运动.

1.加竖直直向上的匀强电场E

图2 图3

分析小球所受到的场力，有竖直方向的电场力和重力，合成得到合场力.若重力大于电场力，即mg>qE，则合场力方向竖直向下，F场=mg-qE；过轨道的圆心做一条F场的作用线，与圆轨道交于两点，沿F场的方向依次为最高点A和最低点B。如图2所示，若重力小于电场力，即mg

（三）技巧应用——复合场中竖直平面内圆周运动的临界问题例析

例举情景：如图6所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点与一条水平轨道相连，轨道光滑，轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，场强为E.从水平轨道的A点由静止释放一质量为m带正电荷q的小球，已知小球受到的电场力大小等于小球重力的 。为使小球刚好在圆轨道内做圆周运动，求（1）释放点A距轨道最低点B的距离s；（2）小球在圆弧上运动时的最大动能。

图5

解：（1）设合场力F场与重力mg之间的夹角为θ，则tanθ= = ， 解得θ=37°，且F场= = mg①。

图6

分析可得，圆周运动的最高点为N点，小球刚好在圆轨道内做圆周运动，设在N点的速度为v，在N点由牛顿第二定律得： F场=m ②。

小球从A点到N点由动能定理得：

-mg（R+Rcosθ）+ mg×（s-Rsinθ）= mv2③。

由①②③可求出A、B之间的距离s= R.

（2）小球在M点的动能最大，设为Ek，由N至M点由动能定得：

F场·2R=Ek- mv2④。

由①②④可求解出Ek= mgR.

编辑 李博宁h