传送带模型中的功能关系及应用

周荣高

传送带问题以真实物理现象为依据，它既能训练学生的科学思维，又能联系科学和生活实际，同时涉及受力分析、相对运动、牛顿运动定律以及功能关系等多方面相关的知识，综合性强，能考查考生分析物理过程及应用物理规律解答实际问题的能力，这种类型的问题是高考命题的热点和难点。本文侧重分析有关摩擦力做功的计算、动能定理的运用以及传送带系统能的转化和守恒的有关问题。

一、功能关系计算

1.物体与传送带相对滑动时摩擦力的功

①滑动摩擦力对物体做的功

由动能定理

其中x₁是物体对地的位移，滑动摩擦力对物体可能做正功，也可能做负功，物体的动能可能增加也可能减少。

②滑动摩擦力对传送带做的功由功的概念得 ，其中x₂是传送带对地的位移，滑动摩擦力对传送带可能做正功也可能做负功。

说明：当摩擦力对传送带做负功时，我们通常说成是传送带克服摩擦力做功，这个功的数值等于外界向传送带系统输入的能量。

③摩擦力对系统做的总功等于摩擦力对物体和传送带做的功的代数和。

即

结论：滑动摩擦力对系统总是做负功，这个功的数值等于摩擦力与相对位移的乘积。

④摩擦力对系统做的总功的物理意义是：摩擦力对系统做的总功，在数值上等于物体与传送带相对运动过程中系统产生的热量，即Q=f△x。

2.传送带系统能量的分配

要维持传送带匀速运动，必须有外力克服传送带受到的阻力做功而将系统外的能量转化为系统的能量，传送带克服摩擦力所做的功W等于外界注入系统的能量E，通常情况下，这部分能量一部分转化为被传送物体的机械能E_机，另一部分通过相互摩擦转化为内能Q。由能量转化和守恒定律得：

或者写成

3.分析能量问题的思路

①外界对系统做的功或者外界注入系统的能量是多少；

②弄清楚注入的能量分配为哪几部分，这些能量分别是多少；

③由能量转化和守恒定律进行计算；

④受力分析的过程中要注意摩擦力大小和方向的突变，突变往往发生在物体与传送带速度相等的时刻。要注意到传送带对物体可能是以静摩擦力作用，此运动阶段不产生热量。 二、经典应用透析

1.水平传送带模型

例1 如图1所示，电动机带着水平传送带以ν=10m/s的恒定速度向右运动，传送带长L=16m，今在其左端A将一个质量m=lkg的工件轻轻放在上面，工件被传送到右端B，已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s²。试求：

（1）工件由A端传送到B端的时间；

（2）此过程中系统产生的摩擦热；

（3）电动机由于传送物体多消耗的电能。

点拨 刚开始工件受到传送带水平向右的滑动摩擦力而做匀加速运动，当工件速度与传送带速度相同时，工件与传送带一起做匀速运动，二者之间不再有摩擦力。工件做匀加速运动过程中，由于ν_件<ν_带，则二者发生相对滑动，传送带克服摩擦力做功产生热量，工件做匀速运动时，不再产生摩擦热。

解析 （1）由题意可知，工件初速度ν₀=0，加速度a=μg=5m/s²，工件加速时时间t₁=ν/a=2s

工件加速过程中位移

工件匀速运动的时间

則工件由A端传送到B端的时间

（2）工件加速过程中的相对位移

故此过程中系统产生的摩擦热

（3）电动机由于传送物体多消耗的电能

升华 在利用传送带运输物体时，因物体与传送带间存在相对滑动而产生摩擦热，这样就会使动力系统要多消耗一部分能量。在计算传送带系统因传送物体而消耗的能量时，一定不要忘记物体在传送带上运动时因相对滑动而摩擦生热的计算。

变式1 如图2所示，水平传送带以ν=10m/s的恒定速度向右运动，传送带长L=16m，今在其左端A将一个质量m=lkg的工件，以某一水平速度滑上传送带，工件传送到右端B，已知工件与传送带间的动摩擦因数/x=0.5=10m/s²。试求：

（1）若工件以ν₀=5m/s的速度水平向右滑上传送带，工件由A端到B端的时间及系统摩擦热为多少？

（2）若工件以ν₀=12m/s的速度水平向右滑上传送带，工件由A端到B端的时间及系统摩擦热又为多少？

点拨 工件以5m/s的速度滑上传送带时，由于ν_件<ν_带，工件受水平向右的滑动摩擦力做匀加速运动。工件以12m/s的速度滑上传送带时，由于ν_件>ν_带，工件受水平向左的滑动摩擦力做匀减速运动。当ν_件=ν_带时二者一起做匀速直线运动，系统的摩擦热只产生在工件与传送带发生相对运动的阶段。

解析 （1）因ν₀<ν，故工件先加速运动，工件加速到与传送带速度的时间

工件加速阶段的位移

工件匀速运动阶段的时间

故工件由A端到B端的时间

则工件由A端到B端过程中，系统产生的摩擦热为

（2）因ν₀>ν，故工件先减速运动，工件减速时间

工件减速阶段的位移

工件匀速运动阶段的时间L—

故工件由A端到B端的时间endprint

则工件由A端到B端过程中，系统产生的摩擦热为

变式2 如图3所示，在变式1中若传送带改为沿逆时针方向转动，且r=10m/s，试分析当工件分别以初速度ν₀=5m/s和ν₀=12m/s，从左端A水平向右滑上传送带时，工件的运动情况，并求出该过程产生的摩擦热。

点拨 ν₀与ν反向，工件受到与运动方向相反的摩擦力而做匀减速直线运动。若工件从传送带右端滑出，工件将一直受到摩擦力的作用而做匀减速运动，若工件不能从传送带右端滑出，工件将先匀减速到ν=0，然后再反向做匀加速直线运动直到与传送带速度相同。若工件从传送带右端滑出，则产生摩擦热的距离为物块与传送带相对滑动距离，即等于L+νt。若工件先减速后反向加速，则克服摩擦力做功产生摩擦热的距离为工件与传送带发生相对滑动的距离。

解析 （1）ν₀=5m/s时，工件先向右做匀减速运动，速度减为0的时间

件运动的位移^=从-士说丨=14.4m

故工件再向左做匀加速运动，速度增加到与传送带相同的时间^=i=2s，运动的位移

a

&=士=10m，再以速度z；=10m/s匀速

运动A端的时间=^^=0.44s，故工件

v

再回到A端，共需时间，=^^^=

4.84s，此过程中系统产生的热量0=//jng（vt{+x{+vt2-x2}=242J。

升华 （1）当ν₀与ν同向时，只要传送带足够长，无论ν₀与ν的大小关系如何，最终一定一起勾速运动。（2）当ν₀与ν反向时，只要传送带足够长，当ν₀<ν时，工件返回到滑人端，速度大小仍为ν₀；当ν₀>ν时，工件返回到滑入端，速度大小为ν。（3）Q=μmgx_相，式中x_相为全过程的相对位移，应注意ν₀与ν同向和反向时的区别。

总结 水平传送带解题策略：先分析物体初速度与传送带速度关系，然后判断出物体所受摩擦力是阻力还是动力，接着分析物体运动状态，抓住“滑动摩擦力突变发生在二者速度相等”的临界状态，对其全过程进行正确分析，进而运用有关物理规律求解。

2.倾斜传送带模型

例2如图4所示，传送带与地面的夹角θ=37°，A、B两端间距L=16m，传送带以速度ν=10m/s，沿顺时针方向运动，物体质量m=1kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩檫因数μ=0.5，试求：

（1）物体由A端运动到B端的时间；

（2）系统因摩擦产生的热量。

点拨 开始时物体沿斜面方向受重力沿斜面向下的分力与斜面对它沿斜面向下的摩擦力而做匀加速直线运动。当ν_物=ν_带时，先判断物体所受沿斜面向下的重力分力与摩擦力的大小关系，若mgsinθ>μmgcosθ，則物体继续沿斜面做匀加速运动（此时摩擦力的方向变为向上，合力变小，加速度减小），若/mgsinθ≦/μmgcosθ，则物体随斜面一起匀速运动。无论物体相对传送带如何运动，系统产生的热量等于摩擦力乘以它们间的相对路程。

解析 （1）物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律得：

变式1如图5所示，传送带与地面的夹角θ=37°，A、B两端间距L=16m，传送带以速度ν=10m/s，沿顺时针方向运动，物体质量m=1kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，试求：

（1）物体由A端运动到B端的时间；

（2）系统因摩擦产生的热量。

解析 （1）物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律得：

变式2如图6所示，传送带与地面的夹角θ=37°，A、B两端间距L=16m，传送带以速度ν=10m/s，沿逆时针方向运动，物体质量m=1kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，试求：

（1）物体由A端运动到B端的时间；

（2）系统因摩擦产生的热量。

点拨 传送带沿逆时针方向（沿斜面向上运动），则物体始终受到沿斜面向上的摩擦力，因mgsinθ>μmgcosθ，则物体一直沿斜面向下做匀加速运动。物体沿斜面下滑的过程中克服摩擦力做功而产生热量，相对滑动的距离为传送带的长度与传送带转过的距离之和。

解析 因传送带逆时针转动，物体受到的滑动摩擦力沿斜面向上，由牛顿第二定律得：

则系统因摩擦产生的热量

升华（1）物体沿传送带向下传送时，若ν_物与ν_带同向，则物体加速到与传送带速度相同时，若mgsinθ>μmgcosθ，则物体将继续加速，但加速度大小已改变，若mgsinθ≦μmgcosθ，则物体与传送带一起匀速运动。 （2）物体沿传送带向上传送时，必有μmgcosθ>mgsinθ，且物体加速到与传送带同速后，一起与传送带匀速上升。

例2 如图7所示，绷紧的皮带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持ν₀=2m/s的速率运行。现把一质量m=10kg的工件（可看做质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，g=10m/s².求：

（1）工件与皮带间的动摩檫因数；

（2）电动机由于传送工件多消耗的电能

点拨 通过分析和具体的计算弄清楚工件的运动过程，要考虑到工件可能先加速后匀速运动，考虑到工件的动能和重力势能都在增加。

解析 （1）由题意可知皮带长为

（2）首先要弄清什么是电动机“多消耗的电能当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能，现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加，另外，滑动摩擦力做功还会使一部分机械能转化为内能，这两部分能量之和就是电动机多消耗的电能。 在时间t₁内，皮带运动的位移为=1.6m，工件相对皮带的位移△s=s₂-s₁=0.8m，

升华（1）静止的物体放在传送带上运动，在物体与传送带达到相同速度之前，物体与皮带存在相对滑动，因此一定有摩擦生热现象发生，摩擦生热的量值等于滑动摩擦力与物体相对于传送带位移的乘积。

（2）物体在倾斜的传送带上运动，当与传送带达到共同速度后，若物体在静摩擦力的作用下做匀速运动，此运动过程系统不产生热量，动能也不增加，但是物体的重力势能仍在增加，这一点应该引起重视。