动中寻定，数形结合方为妙

朱红姣

有关直线与圆相切、相交弦长的问题，同学们习惯于根据圆心到直线的距离d及圆的半径r的几何特征来解题，那么当直线或圆中含有参数，这样解决已不再简便时，我们义该怎么办？一起来看课本上的一道练习题：

求证：无论k取何值，直线l：kx-y4k+3=0与圆C：x²+y²-6x-8y+21=0都有两个交点.

我们将式子整理一下，k（x-4）+（3y）=0，无论是取何值，当x=4，y=3时等式恒成立，即过定点（4，3），哦，动中有定！在平面直角坐标系中，作出以（3，4）为圆心，2为半径的网C，定点（4，3）在网内，同学们稍加说明，结论便得证了！

回看此题，从图形的角度出发来处理问题，关键点是同学们能看出动直线l：kxy-4k+3=0过定点（4，3），从而得出了位置关系，看来在动中找定，把握了动的变化规律后，解决问题才能事半功倍.

例 点P（-1，3）到直线y=k（x-2）的距离的最大值是

此题中直线l含有参数k，为动直线，上面问题的分析让我们意识到要在动中找定，显然，直线l过定点A（2，0），我们先定后动，可以多画几条过点A的动直线l，过点P作直线l的垂线段，由图1可看出，将PA连起来，PA可看成由所有垂线段（PA除外）构成的直角三角形斜边，斜边大于直角边，自然可知PA是所有过点P到动直线l垂线段中最长的.因此，点P到直线l的距离的最大值即为PA.

此题中，当我们抓住“定点”后，利用图形助力解题，问题迎刃而解！

迁移1 圆C与两平行直线l：y=kx+1和l₂：y=k（x-1）都相切，则圆C半径的最大值为 ___________.

分析 首先看到直线l₁与l₀后，同学们头脑中有了找定点的想法了，l₁过点A（O，1），l₂过点B（1，0），且两动直线l₁，l₂平行，作图时我们能出很多组满足要求的l₁，l₂，条件中的网C与l₁，l₂均相切，圆C必定夹在ll₂与ll₂之间，则圆C直径的最大值即为两平行线l₁，l₂之间距离的最大值，而两平行线间距离的最大值可看成是在一条直线上找一点到另一条直线的距离，此时问题转化成了过点A（B）到动直线l₂（l₁）的距离，即转化为例题所求问题了.

题目千变万化，当我们找到规律，巧妙化归后，解题也变简单了.

迁移2 在平面直角坐标系xoy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m+l=0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是_____.

分析 首先直线与圆相切，则半径r与网心（1，O）到直线：mx-y-2m+l=0的距离d相等，故求r的最大值就是求d的最大值，即点（1，0）到动直线：mx-y=2m+1=0的最大距离，此问题即转化力例题所求问题了.

我们发现：迁移1、迁移2实际上就是在例题的基础上加了层“外衣”，当我们通过分析处理将“外衣”剥离后，就变成了含参数的直线方程过定点，然后结合图形解决最值问题.

前几题都是动直线过定点问题，那我们再看看含参数的动曲线中有没有“定”的东西.

迁移3 在平面直角坐标系xoy中，以点C（a，a）为圆心的圆C与圆M：（x-3）²+y²=2恒有公共点，则圆C面积的最小值是

此题中同学们发现动点所成轨迹是解题的关键，因此我们要善于从动中探定，借助图形来解题.

通过这几道题的探究求解后，同学们有什么样的收获呢？当代数运算复杂不容易求解时，你是否愿意从形的角度来解决？当我们看到含有参数的直线或网的问题时，如何从动中找定？你掌握了吗？

思考 已知点P，Q分别是网C₁：（x-m）²+（y-m²）²=1（m∈R）和圆C₂：（x-a）²+（y-a+4）²=1（a∈R）上任意一點，则PQ的最小值是_____.endprint