概述解析“孪生素数猜想”之方法

贵州省务川中学 刘晓东 何长勇 申学勤贵州省务川县实验学校 王若仲

一 、方法的基本思路

以偶数18对应的情形为例说明这种基本思路，

（1）在上轴中筛除所有合数及筛除下轴中它们分别对应的整数；

（2）在下轴中筛除所有合数及筛除上轴中它们分别对应的整数；

（3）在上轴中筛除整数2及筛除下轴中2对应的整数0，在下轴中筛除奇数1，筛除上轴中奇数1对应的整数3。

最后得出偶数2=5-3=7-5=13-11，还剩下2（对）。

根据这个思路，对于任一偶数2m（m≥3）对应的情形则有：

（1）在上轴中筛除所有合数及筛除下轴中它们分别对应的整数；

（2）在下轴中筛除所有合数及筛除上轴中它们分别对应的整数；

（3）在上轴中筛除整数2及筛除下轴中2对应的整数0，在下轴中筛除奇数1，筛除上轴中奇数1对应的整数3。

根据这个思路，证明存在偶数M（M＞2m），经过筛选后，M对应的情形中至少是增加了1对，增加的这1对就是孪生素数。

二、奇合数和奇素数的特性(初等数论13页)

（1）对于任一较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），那么在区间中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除。

（2）对于任一奇数M（M≥9），设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），若奇数M均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除，则奇数M为奇素数。

三、方法的基本步骤

（1）奇合数和顺筛及上轴和下轴

奇合数为既是奇数又是合数的正整数，如：15，21，35等，这样的奇数统称为奇合数。

顺筛就是两千多年前的埃拉托斯特尼筛法(初等数论16页)。

平面上两条平行且方向均向右的数轴，上轴为上一条数轴，下轴为下一条数轴。

（2）构建筛选数学模型

对于任一偶数2m（m≥3），把它看成是由一条上轴与一条下轴平行且呈轴对称的一个平面图形， 这样就构建了一个筛选数学模型。如下图：

（3）数学模型筛选原则

数学模型筛选原则：在上轴中筛除某些整数，这些整数在下轴中分别对应的整数也跟着筛除；在下轴中筛除某些整数，这些整数在上轴中分别对应的整数也跟着筛除。

（4）利用数学模型进行筛选

把上轴中一个整数a和在下轴中与之对应的整数b称为一对（组）。对于正实数x，符号〔x〕记为不大于x的最大正整数(十章数论50页)。

对于偶数2m（2m=W），设素数p0，p1，p2，p3，…，pt均为不大于偶数2m的全体素数（pi＜pj，i＜j，i、j=0，1，2，3，…，t），t∈N。那么偶数2m对应的筛选数学模型，如下图：

为了便于分辩，改为如下图：

其实p1=p1′，p2=p2′，p3=p3′，…，pt=pt′。在上轴中筛除q的倍数与在下轴中筛除q的倍数是不等同的。若转换到筛除对数上来分析，上轴上的情形和下轴上的情形要区别分析计算。

按照筛选原则筛选：

（1）在上轴中筛除偶素数p0的所有倍数，下轴中的全体偶数一同被筛除，筛选后则剩下：W-〔W÷p0〕=W（1-1÷p0）（对）。

（2）在上轴中筛除奇素数p1的所有倍数及筛除下轴中它们分别对应的整数，再筛选后剩下：W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷（p0p1）〕。其中，〔W÷p0〕与〔W÷p1〕，W减〔W÷p0〕时，〔W÷（p0p1）〕已减了一次，减〔W÷p1〕时，〔W÷（p0p1）〕又减了一次，故要返回一次。

（3）在下轴中筛除奇素数p1′的所有倍数及筛除上轴中它们分别对应的整数再筛选后剩下：W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷（p0p1）〕-〔W÷p1′〕+〔W÷（p0p1′）〕=W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷（p0p1）〕≈〔W（1-1÷p0）（1-2÷p1）〕（对）。减〔W÷p1′〕时，〔W÷（p0p1）〕多减了一次，又要返回一次。

（4）在上轴中筛除奇素数p2的所有倍数及筛除下轴中它们分别对应的整数；在下轴中筛除奇素数p2′的所有奇数倍及筛除上轴中它们分别对应的奇数，再筛选后剩下：W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷（p0p1）〕-〔W÷p1′〕+〔W÷（p0p1′）〕-〔W÷p2〕-〔W÷p2′〕+〔W÷（p0p2）〕+〔W÷（p1p2）〕+〔W÷（p1′p2）〕+〔W÷（p0p2′）〕+〔W÷（p1p2′）〕+〔W÷（p1′p2′）〕-〔W÷（p0p1p2）〕-〔W÷（p0p1′p2）〕-〔W÷（p0p1p2′）〕-〔W÷（p0p1′p2′）〕=W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷（p0p1）〕-2〔W÷p2〕+2〔W÷（p0p2）〕+4〔W÷（p1p2）〕-4〔W÷（p0p1p2）〕≈〔W（1-1÷p0）（1-2÷p1）（1-2÷p2）〕（对）。

（5）在上轴中筛除奇素数pt的所有倍数及筛除下轴中它们分别对应的整数，在下轴中筛除奇素数pt的所有倍数及筛除上轴中它们分别对应的整数，最后剩下：W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷（p0p1）〕-2〔W÷p2〕+2〔W÷（p0p2）〕+4〔W÷（p1p2）〕-4〔W÷（p0p1p2）〕-2〔W÷p3〕+2〔W÷（p0p3）〕+4〔W÷（p1p3）〕+4〔W÷（p2p3）〕-4〔W÷（p0p1p3）〕-4〔W÷（p0p2p3）〕-8〔W÷（p1p2p3）〕+8〔W÷（p0p1p2p3）〕-2〔W÷p4〕+…-2〔W÷pt〕+2〔W÷（p0pt）〕+4〔W÷（p1pt）〕+4〔W÷（p2pt）〕+4〔W÷（p3pt）〕+…+4〔W÷（pt-1pt）〕-4〔W÷（p0p1pt）〕-4〔W÷（p0p2pt）〕-…+（-1）t-12t〔W÷（p0p1p2p3…pt-1pt）〕≈〔W（1-1÷p0）（1-2÷p1）（1-2÷p2）（1-2÷p3）…（1-2÷pt-1）（1-2÷pt）〕（对）。

四、判别孪生素数无穷多

对于前面阐述的筛法，在转换到计算筛除对数时，有两种情形被计算多筛除了：

（1）在素数p0，p1，p2，p3，…，pt之中存在的孪生素数被全部计算筛除了。

（2）“上轴中的奇合数-下轴中的奇合数=2”的情形被重复计算了。

就是计算筛除多了。也影响不到判别孪生素数无穷多。

现假定孪生素数只有有限多，不妨设相当大的素数pt之后不存在孪生素数，

根据奇合数和奇素数的特性，可设偶数2m=pt2+1，则素数p0，p1，p2，p3，…，pt均为不大于的全体素数（pi＜pj，i＜j，i、j=0，1，2，3，…，t），t∈N。根据前面的筛法情形，则有Y=〔2m（1-1÷p0）（1-2÷p1）（1-2÷p2）（1-2÷p3）…（1-2÷pt-1）（1-2÷pt）〕。因为有下列两种情形被计算多筛除了：

（1）在素数p0，p1，p2，p3，…，pt之中存在的孪生素数被全部计算筛除了。

（2）“上轴中的奇合数-下轴中的奇合数=2”的情形被重复计算筛除了。

这样我们就可以得出结论：假定孪生素数只有有限多不能成立。

[1]闵嗣鹤，严士健．初等数论[M]．北京：人民教育出版社，1983（02）．

[2]戎士奎．十章数论[M]．贵阳：贵州教育出版社，1994（09）．