基于学生已有认知，有效渗透数学思想——以“鸡兔同笼”教学为例

福建省厦门市湖里区教师进修学校附属小学 林成荫

“数学广角”是人教版小学数学课标教材特有的单元，每个内容都蕴含着基本的数学思想，集中体现了2011版新课程标准的要求。那么，要怎样让学生有效感受到这些蕴含的数学思想方法并内化为己用，形成自身的素养呢？奥苏伯尔坚定地提出，假如把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那就是：影响学习的唯一重要因素，就是学习者已经知道了什么。因此，要有效渗透数学思想，教师应该探明学生的已有认知，并据此进行教学。下面以人教版数学四年级下册“鸡兔同笼”教学为例，谈谈我的做法和感悟。

一、基于学生解决问题的经验教学

小学生解决数学问题时，直觉性思维占主要地位，一般会先从储备的信息中搜寻已有的解决问题的方法和经验，如果找到类似点，他们就会套用原有的方法尝试进行，而在尝试解决的过程中遇到障碍后，才会激发他们的反思性思维，寻找新的方法。因此，当学生理解“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔知几何?”的题意，明确要求的问题后，我做了如下引导：

片段一：

师：根据以前的经验，你会怎么解决这个问题？

生1：分别假设鸡的只数和兔的只数，然后计算它们的总脚数，看是不是题目已知的总脚数。

师：那么，你要怎么假设？

生1：假设鸡10只，兔25只，鸡兔的总脚数是10×2+25×4=120，哦，总脚数不对。

生2：我假设鸡5只，兔30只，鸡兔的总脚数是5×2+30×4=130，总脚数也不对。

生3：我假设鸡15只，兔20只，鸡兔的总脚数是15×2+20×4=110，总脚数也不对。

师：这样假设你们有什么感觉？

生：很乱。

师：那么怎么办呢？

生：可以按顺序假设，再计算。就是先假设鸡0只，兔35只计算；再假设鸡1只，兔34只计算……这样有序假设，有序计算，有序思考，就不乱了。

师：嗯，好办法，这样就有序了。那么有35个头，我们就要假设35次，这样你们觉得怎样？

生：好麻烦！

师：怎么办呢？

生：如果动物的只数少一些就好了。

这时，老师再告诉学生在数学上可采用“化繁为简”的方法先寻找规律，然后再运用规律解决原问题。

四年级的学生学习的基本上是用算术解决问题，所以，当他们遇到这样的题目时，就必然想到要假设具体的量来计算，这是他们已有的知识经验决定的。在读懂学生的这个特点后，我留出时间让学生尝试解决问题，经过几次简单假设和数据调整，仍然不能得到正确的结果，学生自然会感受到这样无序假设不利于寻找结果，于是有序假设数据的想法自然涌现，有序思考的思想方法水到渠成地渗透其中。有了有序假设的想法后，因数据较大，不利于假设来寻找规律，接着“化繁为简”的数学思想方法也就应运而生。这个思想方法四年级的学生还未经历过，一般说不出准确的名称，但他们会有想法，想法有了，老师再顺着学生的想法告知有这样的方法可以解决问题，学生一方面为自己的想法感到高兴，另一方面，他们将牢牢记住“化繁为简”的数学思想方法的用处。只有经历这样的体验，印象才会深，掌握才会牢，应用才会活。

二、抓住本课前后知识联系教学

从教材编排来看，解决“鸡兔同笼”方法有猜测、列表、假设等，体现解决问题策略和方法的多样化，这些方法之间是并列的，没有联系。一节课中，学生学习的过程应该是逐渐深入的、有层次的、有系统性的，其掌握的知识才能结构化、系统化。如果是东一榔头、西一棒槌地学，充其量习得其中一两点，效果大打折扣。基于此，我把教材中的列表法和假设法联系起来，统称为假设法，教材中的列表法属“有序假设”，教材中的假设法属“特例假设”，这样学生前面学习的知识为后面学习的知识服务，解决问题的方法依然多样，但方法螺旋上升，顺应学生思维的发展，促进学生把已有的方法进行优化和深化。

片段二：

师：刚才我们用列表法有序假设鸡和兔的只数，找到了结论，也发现了每多（少）一只兔，少（多）一只鸡，总脚数就会多（少）2只的规律。那么在这些假设中，你们觉得哪种假设比较特殊？

生1：鸡8只，兔0只这种。

生2∶ 鸡0只，兔8只这种也是。

师：为什么你们认为这样是特殊的？

生：因为鸡兔同笼嘛，那肯定是有鸡又有兔的，但我们却假设其中一种是没有的，所以比较特殊。

师：在数学上，我们就利用这种特殊的假设找到了解决“鸡兔同笼”问题的更一般的方法，你们要不要试试？接着让学生根据提示自主探究。

以前见过老师们教学本内容引入教材中的假设法时，单刀直入地说：刚刚我们用列表法解决了问题，接下来我们学习用新的方法解决这个问题。这样平淡无奇、波澜不惊地过渡，没有激发学生学习的兴趣，更不用说培养学生用联系的眼光分析解决问题的意识和能力。我经过分析发现，教材中的列表法和假设法是有联系的，联系一就是假设法其实是列表法中把鸡和兔的只数分别假设为0的情况；联系二是从表中发现总脚数的变化规律总是差2，正是因为每只兔（鸡）比每只鸡（兔）多（少）2只脚的缘故，为探究假设法的道理做好铺垫。于是抓住这个联系承上启下，让学生感受到下一步的学习是以刚学的知识为基础的，不但体验到新知学习的作用，享受成功感，而且激发了他们进行探究的欲望和积极性，更重要的是树立信心，觉得在已有认知的基础上产生的新知自己是有能力探究出来的，于是他们兴致勃勃地寻找特例假设与题目条件的矛盾，有的学生根据列表中的规律找原因，有的学生画图找原因，有些学生在独立思考和合作交流后仍不懂的，迫不及待地阅读课本。

三、根据现有几何直观水平教学

2011版数学课程标准中新增的核心概念之一“几何直观”是指利用图形描述分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。但不是有图就能理解，有图就能解题，有图还要根据学生现有的几何直观理解水平，辅以必要的操作、变化和语言分析，才能达到用几何直观性来阐明数之间的关系的目的，帮助学生逐渐掌握数形结合的思想方法。

片段三：

师：现在我们假设全是鸡，那么总脚数是8×2=16（只），比题目已知的26只少了10只，为什么少了10只呢？

生：因为有些兔被看成鸡了，所以总脚数变少了。

生：少的这10只脚原来是兔子的。

师：已经知道这10只脚是兔子的，那接下来怎么办呢？

生：用10÷2来算兔的只数。

师：2是什么意思？为什么用除法？

学生通过交流，阅读课本，模糊地明白了解决的步骤，但还没完全理解，面对已经摆好的图（图1），学生思考，迟疑，但说不出来。

图1

师：是不是要把兔子少的脚还回去呢？（学生点头表示同意。）

师：每只兔要还回去几只脚？

生：2只。

师：为什么？

生：因为每只鸡有2只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，所以只要补上2只脚。

师（边操作）：那就从这10只脚中拿出2只补给它，鸡就变成兔了。（如图2）

图2

生：我明白了，这10只脚中有几个2，就说明刚才少看了几只兔，也就是兔有几只。

师：是这样吗？请一位同学上台来把剩下的这些脚补回去。（请一生上台操作，最后如图3）

图3

师：现在你们能把这个过程用算式表示出来吗？（绝大多数学生都满怀信心地拿起笔，在作业本上刷刷地写起来了）

……

学生思考的着力点有时离真相只隔着一层纸，虽然只是一层纸，但如果没有戳出一个小洞，让学生得以靠近窥探，那么一层纸就足以阻碍学生进一步的思考。就像上述环节中，图已经摆出来了，学生知道总脚数比实际少10只，少的10只脚是兔子的脚，但他们找不到图与数间的进一步联系，因为四年级学生还是具体形象思维占主要地位，透过静态图思考图与数间的关系的能力较弱，经过老师把少的2只脚补到原图中变成兔的操作后，静态图变成了动态图，更加直观地展现了数量的变化关系，学生的思路找到切入口，思维找到了着力点——除法的意义，于是瞬间感悟到只要求少的总脚数中有几个2，就有几只兔的道理。基于学生现有几何直观水平的动态的形帮助学生很好地理解了算式的意义和所求数的道理，同时感受到数形结合的深层魅力。

在学生已有认知水平的基础上，经过他人或媒介的帮助，通过自己的体验，用自己的思维方式逐渐抽象、推理构建的“鸡兔同笼”的数学模型，嵌入学生已有的知识和思维体系，达到新的水平，为学生提取信息，灵活解决新的情境和数据下其他的“鸡兔同笼”问题打下了坚实的基础，学生在解决这一类问题时得心应手，能顺利找出对应的数据，运用原模型的解决方法解决一般化的鸡兔同笼问题。学生对数学思想的认识需要与具体的知识相结合，认识的深浅在于其是否以学生的原有认知为着力点，所以要让学生深刻体验和感悟数学思想，教师应该探究与其紧密联系的知识生成的生长点，再据此展开教学。