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基于一个矩形性质的“大题小做”

2018-03-04刘会芳

数学学习与研究 2018年23期
关键词:邻边易知理科

刘会芳

矩形是平面几何中的基本图形,它所蕴含的性质应用广泛,本文介绍矩形的一个性质在解题中的应用.

一、矩形性质

性质  点P是矩形ABCD所在平面上任意一点,则有PA2+PC2=PD2+PB2.

证明1  如图1所示,设AC,BD交于点K,连接PK,

∵ PA 2+PC 2 2 =  PA +PC  2  2+  PA -PC  2  2=PK 2+AK 2,

PD 2+PB 2 2 =  PD +PB  2  2+  PD -PB  2  2=PK 2+BK 2.

∵AK 2=BK 2,∴PA2+PC2=PD2+PB2,命题得证.

证明2  如图2所示,以矩形ABCD的中心为原点,平行于两组对边所在的直线为坐标轴,建立如图所示坐标系,不妨设D(m,n),则A(-m,n),B(-m,-n),C(m,-n),设P(x,y),有PA2+PC2=(x+m)2+(y-n)2+(x-m)2+(y+n)2,同时,PB2+PD2=(x+m)2+(y+n)2+(x-m)2+(y-n)2,故PA2+PC2=PD2+PB2.

二、试题巧解

例1   (2014年全国高考广东卷理科第20题)已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的一个焦点为( 5 ,0),离心率为  5  3 .(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线互相垂直,求点P的轨迹方程.

解析  由(1)易知,椭圆C的方程为 x2 9 + y2 4 =1,设F1,F2为椭圆的左右焦点,过点P的椭圆的两条切线分别为PA,PB(A,B为切点)且PA⊥PB,过F2作关于PB,PA的对称点F2′,F2″,连接图3各线段, 由椭圆的光学性质可知,F1F2′=F1B+BF2′=F1B+BF2=2a,从而OG=a=3, 同理可得,F1F2″=F1A+AF2″=F1A+AF2=2a,从而OH=a=3.又四边形PGF2H为矩形,有OP2+OF22=OH2+OG2化简有x2+y2=13,即为点P的轨迹方程.

例2   (2013年高考重庆卷理科第10题)在平面上,AB1 ⊥AB2 ,|OB1 |=|OB2 |=1,AP =AB1 +AB2 ,若|OP |< 1 2 ,則|OA |的取值范围是(  ).

A. 0,  5  2

B.   5  2 ,  7  2

C.   5  2 , 2

D.   7  2 , 2

分析  如图4所示,易知AB1PB2为矩形,

则OA 2+OP 2=OB1 2+OB2 2=2,又0≤|OP |< 1 2 ,

故  7  2 <|OA |≤ 2 ,选D.

例3   (2012年高考江西卷理科第7题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P是线段CD的中点,则 |PA|2+|PB|2 |PC|2 =( ).

A.2

B.4

C.5

D.10

分析  可将直角三角形ABC补形成如图5所示的矩形ACBM,由上述矩形性质可得PA2+PB2=PC2+PM2,∴ |PA|2+|PB|2 |PC|2 = |PC|2+|PM|2 |PC|2 = |PC|2+(3|PC|)2 |PC|2 =10.

例4   已知向量 a , b , c 满足| a |=| b |=2,| c |=1,( a - c )·( b - c )=0,则| a - b |的取值范围是 .

解析  如图6所示,设OA = a ,OB = b ,OC = c ,则

CA = a - c ,CB = b - c ,以线段CA,CB为邻边,构造矩形CADB,由矩形性质知:OD2+OC2=OA2+OB2,解得OD= 7 ,因为| a - b |=|AB |=|CD |,而OD-OC≤|CD |≤OD+OC,所以, 7 -1≤| a - b |≤ 7 +1.

例5   设非零向量 a , b 满足| a |=1,| a +2 b |=1,则| a + b |+| b |的取值范围是 .

解析  由 | a |=1,| a +2 b |=1,  知|( a + b )+ b |=|( a + b )- b |=1,故当| b |≠0时,以 a + b , b 为邻边的平行四边形为矩形,所以| a + b |2+| b |2=1,所以 | a + b |+| b | 2 ≤  | a + b |2+| b |2 2  =  2  2 ,所以| a + b |2+| b |2≤ 2 .又因为| a + b |+| b |≥| a + b - b |=| a |=1,所以1≤| a + b |+| b |≤ 2 .

三、解题反思

运用矩形所呈现出的优美数量关系解题,大题小做,既揭示了数学问题的本质,又简洁明了.可以说,这种方法以小见大,最终达到“四两拨千斤”的潇洒境界.

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