基于一个矩形性质的“大题小做”
2018-03-04刘会芳
刘会芳
矩形是平面几何中的基本图形，它所蕴含的性质应用广泛，本文介绍矩形的一个性质在解题中的应用.
一、矩形性质
性质 点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，则有PA2+PC2=PD2+PB2.
证明1 如图1所示，设AC，BD交于点K，连接PK，
∵ PA 2+PC 2 2 = PA +PC 2 2+ PA -PC 2 2=PK 2+AK 2，
PD 2+PB 2 2 = PD +PB 2 2+ PD -PB 2 2=PK 2+BK 2.
∵AK 2=BK 2，∴PA2+PC2=PD2+PB2，命题得证.
证明2 如图2所示，以矩形ABCD的中心为原点，平行于两组对边所在的直线为坐标轴，建立如图所示坐标系，不妨设D（m，n），则A（-m，n），B（-m，-n），C（m，-n），设P（x，y），有PA2+PC2=（x+m）2+（y-n）2+（x-m）2+（y+n）2，同时，PB2+PD2=（x+m）2+（y+n）2+（x-m）2+（y-n）2，故PA2+PC2=PD2+PB2.
二、试题巧解
例1 （2014年全国高考广东卷理科第20题）已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的一个焦点为（ 5 ，0），离心率为 5 3 .（1）求椭圆C的标准方程;（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.
解析 由（1）易知，椭圆C的方程为 x2 9 + y2 4 =1，设F1，F2为椭圆的左右焦点，过点P的椭圆的两条切线分别为PA，PB（A，B为切点）且PA⊥PB，过F2作关于PB，PA的对称点F2′，F2″，连接图3各线段， 由椭圆的光学性质可知，F1F2′=F1B+BF2′=F1B+BF2=2a，从而OG=a=3， 同理可得，F1F2″=F1A+AF2″=F1A+AF2=2a，从而OH=a=3.又四边形PGF2H为矩形，有OP2+OF22=OH2+OG2化简有x2+y2=13，即为点P的轨迹方程.
例2 （2013年高考重庆卷理科第10题）在平面上，AB1 ⊥AB2 ，|OB1 |=|OB2 |=1，AP =AB1 +AB2 ，若|OP |< 1 2 ，則|OA |的取值范围是（ ）.
A. 0， 5 2
B. 5 2 ， 7 2
C. 5 2 ， 2
D. 7 2 ， 2
分析 如图4所示，易知AB1PB2为矩形，
则OA 2+OP 2=OB1 2+OB2 2=2，又0≤|OP |< 1 2 ，
故 7 2 <|OA |≤ 2 ，选D.
例3 （2012年高考江西卷理科第7题）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则 |PA|2+|PB|2 |PC|2 =（ ）.
A.2
B.4
C.5
D.10
分析 可将直角三角形ABC补形成如图5所示的矩形ACBM，由上述矩形性质可得PA2+PB2=PC2+PM2，∴ |PA|2+|PB|2 |PC|2 = |PC|2+|PM|2 |PC|2 = |PC|2+（3|PC|）2 |PC|2 =10.
例4 已知向量 a ， b ， c 满足| a |=| b |=2，| c |=1，（ a - c ）·（ b - c ）=0，则| a - b |的取值范围是 .
解析 如图6所示，设OA = a ，OB = b ，OC = c ，则
CA = a - c ，CB = b - c ，以线段CA，CB为邻边，构造矩形CADB，由矩形性质知：OD2+OC2=OA2+OB2，解得OD= 7 ，因为| a - b |=|AB |=|CD |，而OD-OC≤|CD |≤OD+OC，所以， 7 -1≤| a - b |≤ 7 +1.
例5 设非零向量 a ， b 满足| a |=1，| a +2 b |=1，则| a + b |+| b |的取值范围是 .
解析 由 | a |=1，| a +2 b |=1， 知|（ a + b ）+ b |=|（ a + b ）- b |=1，故当| b |≠0时，以 a + b ， b 为邻边的平行四边形为矩形，所以| a + b |2+| b |2=1，所以 | a + b |+| b | 2 ≤ | a + b |2+| b |2 2 = 2 2 ，所以| a + b |2+| b |2≤ 2 .又因为| a + b |+| b |≥| a + b - b |=| a |=1，所以1≤| a + b |+| b |≤ 2 .
三、解题反思
运用矩形所呈现出的优美数量关系解题，大题小做，既揭示了数学问题的本质，又简洁明了.可以说，这种方法以小见大，最终达到“四两拨千斤”的潇洒境界.
