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三角函数模型的实际应用

2018-03-04张志忠

数学学习与研究 2018年23期
关键词:实际应用课堂教学

张志忠

【摘要】 三角函数是初中数学中很重要并且常用的数学模型,可以通过模型研究很多数学问题,帮助学生更好地理解数学知识,提高课堂效率.在现实生活中有很多抽象和比较复杂的问题,通过函数模型的应用,就可以快速而准确地解决,让学生明白数学函数的重要性,并且激发学生的学习兴趣,促进学生主动投入数学的学习,从而让课堂达到事半功倍的效果.通过教师的不断改善教学方式,下面本文将通过几个具体的案例,揭示三角函数模型在实践中的实际运用.

【关键词】 三角函数模型;课堂教学;实际应用

在初中课堂教学理念中,提倡学生主动学习、积极探索的学习方法,提高学生的数学能力和思维能力,培养学生的数学模型意识,深入了解数学文化.在初中数学教材中,很多知识点与学生的现实生活距离遥远,加上初中生的认知水平,很难理解抽象和复杂的数学内容.通过三角函数模型的应用,帮助学生培养思维,指出学习方向,收集相关资料,进而解决实际性的问题,体现三角函数模型的重要作用.下面通过以下几个例子来学习三角函数模型.

例1   小美和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20 m,匀速旋转1周需要12 min.小美乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光,请回答下列问题:(参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732)

(1)1.5 min后小美离地面的高度是 m;(精确到0.1 m)

(2)摩天轮启动多长时间后,小美离地面的高度将首次达到10.5 m?

点拨  本题目涉及了直角三角形的应用以及生活中的旋转现象.

(1)可以通过算出1.5分钟后所转的角度,再根据半径的长以及构造的直角三角形,通过函数模型建设,可求出答案为6.4.

(2)可以根据已知条件,给出的高度,先能求出OD的長,根据直角三角形中,若直角边是斜边的一半,那么这个直角边所对的角是30°,从而求出转过的∠COD的情况并求解.通过函数模型,得出答案为2分钟.

例2   如图3所示,在河的对岸有水塔AB,今在C处测得塔顶A的仰角为30°,前进20米到D处,又测得A的仰角为45°,求塔高AB.

探索:在河对岸的塔能否直接测得它的高度?为什么?

在C,D两处测得仰角的含义是什么?怎样用CD的长?

点拨  要直接隔岸测得塔高是不可能的,也不可能直接利用两个仰角及CD长,由于塔身与地面垂直,且C,D,B三点共线,这时可以构成一个直角三角形,且有∠ACB=30°,∠ADB=45°,这时就可以借助解直角三角形的知识求解了.最后的答案为:塔高AB为10米.

例3   如图4所示,“中国海监50”正在南海海域A处巡逻,岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上,岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上,已知点C在点B的北偏西60°方向上,且B,C两地相距120海里.

(1)求出此时点A到岛礁C的距离;

(2)若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去,当到达点A′时,测得点B在A′的南偏东75°的方向上,求此时“中国海监50”的航行距离.(注:结果保留根号)

点拨  本题目主要涉及直角三角形的应用以及方位角问题.

(1)根据题意得出,画出上图,延长线BA,过点C作CD⊥BA延长线于点D,由题意可得∠CBD=30°,BC=120海里,则DC=60海里,最后通过函数模型建立,得出点A到岛礁C的距离为40 3 海里.

(2)如图5所示,过点A′作AN⊥BC于点N,得∠2=15°,即A′B平分∠CBA,通过函数解答,快速求出答案为60-20 3 海里.

这类题目在日常工作经常遇到,只要我们找到函数之间的关系,通过函数模型建设就可以很快准确地计算出答案,用数学解决日常工作问题.

例4   如图6所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100 m,山坡坡度i=1 ∶ 2,且O,A,B在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测角仪高度忽略不计)

点拨  本题主要涉及三角形的应用以及仰角问题.

(1)在△AOC中,作PE⊥OB于点E,PF⊥CO于点F,在Rt△AOC中,AO=100,∠CAO=60,通过对三角函数求解,得出答案为100 3 (米).

(2)据右图可以看到3个直角三角形,用60°以及45°以及坡度比,分别求出CO,CF,PE,然后根据三者之间的关系求解答案.

在现实生活中处处都包含着函数知识点,这些问题比较复杂并且抽象,需要我们有良好的函数基础来解决它.因此,作为初中数学教师,我们应该更加重视数学函数的学习,在举例子的时候尽量贴近生活,让学生明白数学起源于生活,作用于生活,让学生明白数学的重要性,并且激发学生的学习兴趣,调动学生的积极性,学会用教材知识解决实际生活中的问题.

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