三角函数模型的实际应用

张志忠

【摘要】 三角函数是初中数学中很重要并且常用的数学模型，可以通过模型研究很多数学问题，帮助学生更好地理解数学知识，提高课堂效率.在现实生活中有很多抽象和比较复杂的问题，通过函数模型的应用，就可以快速而准确地解决，让学生明白数学函数的重要性，并且激发学生的学习兴趣，促进学生主动投入数学的学习，从而让课堂达到事半功倍的效果.通过教师的不断改善教学方式，下面本文将通过几个具体的案例，揭示三角函数模型在实践中的实际运用.

【关键词】 三角函数模型;课堂教学;实际应用

在初中课堂教学理念中，提倡学生主动学习、积极探索的学习方法，提高学生的数学能力和思维能力，培养学生的数学模型意识，深入了解数学文化.在初中数学教材中，很多知识点与学生的现实生活距离遥远，加上初中生的认知水平，很难理解抽象和复杂的数学内容.通过三角函数模型的应用，帮助学生培养思维，指出学习方向，收集相关资料，进而解决实际性的问题，体现三角函数模型的重要作用.下面通过以下几个例子来学习三角函数模型.

例1   小美和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20 m，匀速旋转1周需要12 min.小美乘坐最底部的车厢（离地面约0.5 m）开始1周的观光，请回答下列问题：（参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）

（1）1.5 min后小美离地面的高度是 m;（精确到0.1 m）

（2）摩天轮启动多长时间后，小美离地面的高度将首次达到10.5 m？

点拨  本题目涉及了直角三角形的应用以及生活中的旋转现象.

（1）可以通过算出1.5分钟后所转的角度，再根据半径的长以及构造的直角三角形，通过函数模型建设，可求出答案为6.4.

（2）可以根据已知条件，给出的高度，先能求出OD的長，根据直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么这个直角边所对的角是30°，从而求出转过的∠COD的情况并求解.通过函数模型，得出答案为2分钟.

例2   如图3所示，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB.

探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么？

在C，D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？

点拨  要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C，D，B三点共线，这时可以构成一个直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了.最后的答案为：塔高AB为10米.

例3   如图4所示，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里.

（1）求出此时点A到岛礁C的距离;

（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离.（注：结果保留根号）

点拨  本题目主要涉及直角三角形的应用以及方位角问题.

（1）根据题意得出，画出上图，延长线BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由题意可得∠CBD=30°，BC=120海里，则DC=60海里，最后通过函数模型建立，得出点A到岛礁C的距离为40 3 海里.

（2）如图5所示，过点A′作AN⊥BC于点N，得∠2=15°，即A′B平分∠CBA，通过函数解答，快速求出答案为60-20 3 海里.

这类题目在日常工作经常遇到，只要我们找到函数之间的关系，通过函数模型建设就可以很快准确地计算出答案，用数学解决日常工作问题.

例4   如图6所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100 m，山坡坡度i=1 ∶ 2，且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测角仪高度忽略不计）

点拨  本题主要涉及三角形的应用以及仰角问题.

（1）在△AOC中，作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60，通过对三角函数求解，得出答案为100 3 （米）.

（2）据右图可以看到3个直角三角形，用60°以及45°以及坡度比，分别求出CO，CF，PE，然后根据三者之间的关系求解答案.

在现实生活中处处都包含着函数知识点，这些问题比较复杂并且抽象，需要我们有良好的函数基础来解决它.因此，作为初中数学教师，我们应该更加重视数学函数的学习，在举例子的时候尽量贴近生活，让学生明白数学起源于生活，作用于生活，让学生明白数学的重要性，并且激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，学会用教材知识解决实际生活中的问题.