剖析考题解法，拓展探究思考

刘海兵

[摘  要] “函数”是初中数学的重点内容，中考在考查时常从知识综合的角度进行，即融合代数、几何等知识构建相关的综合问题. 本文以一道函数综合题为例，开展解法探究，提出相应的学习建议，与读者交流、探讨.

[关键词] 函数;不等式;铅垂法;解法;拓展

试题再现

试题简析

本题为考卷最后几道压轴题之一，属于“函数与几何”内容的综合性考题，涉及一次函数、反比例函数、图形的翻折、不等式等内容，综合性较强，对解题的思维要求较高，下面探究该考题的常规解法.

对于问题（1），要求k₂，n的值，需充分结合函数解析式和图像的特征进行求解. 求k₂的值只需将反比例函数图像上点A的坐标代入即可，于是可求得k₂=-2×4=-8. 而点B也在反比例函数的图像上，所以必然满足解析式y=-8/x，于是可求得B（-2，4），所以n的值为4.

对于问题（2），要求不等式k₁x+b<k²/x的解集，考虑到y₁=k₁x+b，y₂=k₂/x，因此此题实际是求x取何值时，y₁<y₂，表现在图像上则是一次函数的图像位于反比例函数图像的下方. 结合图像可知，分界点就是点A、点B和点O. 显然，当xB<x<xO或x>xA时满足条件，即不等式k₁x+b<k₂/x的解集为-2<x<0或x>4.

问题（3）要求△A′BC的面积，首先需要理解三角形的构建过程. 根据题干条件绘制图像，由图像翻折规律可知点A′的坐标为（4，2）. 求解时可以采用图形割补的方式，分别过点B和点A′作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，如图2. △A′BC可以看作梯形BDEA′的一部分，则S_△A′BC=S_{梯形BDEA′}-S_△BDC-S_△A′EC. 根据点B，C，A′的坐标可求出相应边的长，代入面积公式即可求得△A′BC的面积为8.

解法探讨

上述一次函数与反比例函数综合题的三个小问属于该类问题的典型代表，求解过程也是从知识联系性角度出发构建的解题思路. 其中问题（2）求不等式的解集，采用了分析函数图像的方法;而问题（3）求一般三角形的面积则采用了常规的图形割补方法，即通过梯形和三角形的面积拼凑，间接求得三角形的面积. 下面将对这两问的解法进行拓展探究.

1. 函数图像法的剖析

函数图像法实际上是利用函数的单调性来进行函数值比较的一种方法. 如对于一次函数y=kx+b，当k>0时，函数为单调递增函数，若设函数与x轴交点的坐标为（x0，0），如图3，则由图像可知在点（x0，0）的左半部分，一次函数的图像位于x轴下方;而在点（x0，0）的右半部分，一次函数的图像位于x轴上方. 考虑到函数图像的上下位置是由y值的大小决定的，因此可以根据图像的位置关系来比较函数值的大小，此时对应的表格如表1.

如果将表1中函数值的大小关系看作一个不等式，则对应的区间就是不等式的解集，也就构成了函数法解不等式的基本原理. 进一步，将不等式中的y看作另一个函数，就可以通过分析两个函数图像的位置关系来求不等式的解集，这就是上述试题的解题思路. 下面通过分析两个一次函数的图像关系来进一步剖析图像法的使用过程.

图4是一次函数y1=k1x+b1与y2=k2 x+b2在同一直角坐标系中的图像. 设两图像的交点为点（x0，y0），则在交点的左侧，即x<x0时，y1=k1x+b1的图像位于y2=k2 x+b2图像的上方，此时y1>y2始终成立;而在交点的右侧，即x>x0时，y1=k1x+b1的图像位于y2=k2x+b2图像的下方，此时y1<y2始终成立. 若替换其中的y1和y2，则可以描述为当x<x0时，k1x+b1>k2x+b2;当x>x0时，k1x+b1<k2 x+b2，从而完成不等式与x取值对应关系的构建. 因此，利用函数法求解不等式问题时，首先需要在同一直角坐标系中绘制出两个函数的图像，并结合函数表达式确定两函数图像的交点，然后参照图像的交点坐标，根据图像的上下关系进行分段，进而确定每一段内x的取值，如下面的例题.

2. 面积问题的解法拓展

“试题再现”中的问题（3）采用了面积割补法，对于该类问题，我们可以采用三角形面积的铅垂线模型来直接求解. 如图6，在△ABC中，分别過点A，B，C作与水平线垂直的三条线，设点B和点C之间的水平距离为a，则a就是△ABC的水平宽，h为顶点A作铅垂线到底边上的距离，视为三角形内部的铅垂高，则△ABC的面积就等于水平宽a与铅垂高h乘积的一半，即S△ABC=1/2ah.

解后反思

开展考题探究是一种重要的学习方式，通过对各地优秀考题的命题形式和解题方法进行分析，不仅可以充分了解中考数学的命题方向，还可以学习其中的解题策略，提升解题能力. 下面围绕上述试题进行进一步思考.

1. 关注方法的本质内容

中考压轴题的解题方法一般具有代表性，是众多知识内容的综合，相对而言，在理解上存在一定的难度，但充分理解、灵活运用却可以大大提高解题效率. 如上述所呈现的函数图像法和求三角形面积的铅垂线法，都是基于一定的性质、定理所构建的，对于特定的问题有良好的解题效果. 而在学习方法的同时，不应忽视对方法本质的探究，不应忽略方法的证明过程. 学习方法，不仅要学习使用过程，还要学习方法的本质内涵. 因此，学习解法时，首先应关注方法的证明，在此基础上适当地对方法进行推广、拓展，从而深刻理解方法并掌握方法.

2. 重视考题的解题拓展

开展中考压轴题的解题探究，其中较为重要的一个环节是考题的多解剖析，即在常规解法的基础上探究考题的另类解，通过另类解的探究分析来强化对考题的认识，促进解题思维的发展，从而将考题的价值最大化. 如上述求面积所使用的铅垂线法，其依然以面积公式为基础，但考虑到其模型构建的过程更为简洁，因此具有极大的使用价值. 同时，对该方法进行适度拓展可以求解一类问题. 因此，在平时的解题学习中，需要重视考题的多解探究，注重总结考题的分析思路和解题方法，逐步提升解题思维，形成系统的分析策略.

写在最后

函数综合题是中考数学的重点考查题型之一，涉及众多的函数知识，具有较多的联系拓展点，虽然解题突破的难度较大，但掌握相应的分析思路和解题方法，却可以快速地找到解题突破口. 需要注意的是，在学习过程中，应注重深化理解基础知识和剖析解法本质，逐步将解题方法内化、吸收，从而从思想上提升解题能力.