构造全等，柳暗花明

沈善珍

[摘  要] “授之以渔”在素质教育背景下的诠释，不仅仅是教会学生怎样捕鱼，还要启发学生自主发现捕不到鱼的原因，以及捕不到大鱼的原因，从而引发学生进一步实践与思考.

[关键词] 初中数学;方法;思想;价值

全等三角形是初中数学几何中重要的基础知识，利用全等三角形的相关性质解决与之相关的几何问题是常见的解题思路. 在几何问题中，有些全等三角形在图形中会直接呈现，而有些全等三角形则比较隐蔽，或找不到“现成”的，需要我们自己去“构造”. 对于这类问题，添加辅助线是必要的，但学生往往对如何作辅助线感到困难，相应的问题得分率较低. 如何根据题目所给的条件作出相应的辅助线，构造出全等三角形，对几何问题的解决具有决定性作用. 本文结合实例，谈谈构造全等三角形的几种辅助线添加方法，以期给各位读者提供参考.

倍长线段法

倍长就是针对性地将线段延长至原来的2倍，这是求解与线段长度有关的几何问题的常用方法. 通过倍长，可以得到相等的线段，从而为全等的证明提供所需的条件.

例1 如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.

分析 看到求线段的取值范围，我们往往会联想到三角形的三边关系，于是如何将图中的AD转变成三角形的边是解决该问题的关键. 由中线的定义可知D是BC的中点，因此可倍长AD（如图2）得ED=AD，然后根据“SAS”证出△ABD≌△ECD，从而将得到CE=AB=5. 根据三角形三边的关系可知EC-AC<AE<EC+AC，即5-3<2AD<5+3. 所以1<AD<4.

中线、中点往往是倍长线段的“提示”，如果已知条件中存在线段的中点或三角形的中线，可通过倍长线段作为辅助线，构造相等线段，证明三角形全等. 倍长线段除了可以得到全等三角形外，有时还可以构造出平行四边形，如倍长三角形的中线，为相关问题的解决提供条件.

截长补短法

截长补短法是在较长的线段中截取一条线段等于已知线段或延长较短的线段使之与较长的线段相等的作图法. 它虽包括“截长”和“补短”两种方法，但这两种方法的实质是相通的，都是将长度不等的线段转化为长度相等的线段. 通过“截长补短”得到相等的线段，可以为两个三角形的全等提供所需的条件.

例2 如图3，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC. 求证：∠A+∠C=180°.

分析 试题要证两个角之和是180°，应与三角形的内角和有关，因此需要将角进行转化，而通过全等三角形的對应角来实现角的转化是常用的方法. 题中所给的条件已具备公共边BD与一组角（即∠ABD=∠CBD），所以只需在BC上截取BE=AB即可（如图4）. 于是可证得△ABD≌△EBD，则有∠BED=∠A，AD=ED. 由条件AD=CD可得ED=CD，于是有∠C=∠DEC. 再由∠BED+∠DEC=180°得到∠A+∠C=180°.

上述方法属于“补短”，该问题也可以通过延长线段BA使之与BC相等来解决.

截长补短法是解决线段和差问题的重要方法，也是将不等线段转化为相等线段的方法，实质是转化思想. 通过转化得到的相等线段，能为三角形的全等提供重要的条件. 通常，在几何问题中，存在两个三角形中有一条边、一个角相等时，便可以用截长补短法来实现另外一条边相等，从而得到全等三角形.

作平行线法

平行线因其特殊性，其性质通常被作为解决几何问题的重要依据. 平行线在几何问题中的作用常常是提供角与角之间的关系，而角正是三角形全等的重要元素. 通过作平行线得到相等的角，也是构造全等三角形的一种方法.

例3 如图5，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD. 求证：AD=CE.

分析？摇 要证AD与CE相等，可以考虑通过三角形全等来实现. 显然，图中现成的两个三角形不全等，所以需要进一步构造. △ABC是等边三角形这一条件可以给辅助线的添加提供“启示”——过点D作BC的平行线，仍然可以得到一个等边三角形ADG（如图6），从而将AD转化为DG，通过证明△FDG≌△FEC得到DG=CE，从而得到AD=CE.

几何问题中线段相等的证明可笼统地分为两种，一种是通过三角形全等来证明，一种是通过特殊几何体的形状来证明. 在三角形全等中，如何将所要证明的边转化成三角形的对应边是关键，而根据已知条件推导应该使用的全等证明方法则是重要的思路. 除了三边对应相等而外，全等的证明还需要通过边和角的相等关系来实现，而平行线可以通过线段之间的关系得到角之间的相等关系. 在教学实践中我们发现，在三角形全等的问题中，构造平行线作为辅助线的方法是我们比较容易忽视的方法，学生更是如此. 因此，在全等的相关问题中，有针对性地练习构造平行线是非常必要的.

平移变换法

在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动方式称为“平移”. 平移是几何中一种基本的图形变换，通过平移，可以将图形移动到相应的位置，为问题的进一步解决提供条件.

例4 如图7，在△ABC的边BC上取两点D，E，且BD=CE，连接AD，AE，求证：AB+AC>AD+AE.

分析 试题要证明的是线段和之间的不等关系，可以将线段进行转化，利用三角形的三边关系来解决. 因此，需要将要证的线段尽可能地“靠拢”. 由BD=CE可以平移△AEC，使EC与BD重合，点A落在点F处，FD与AB相交于点H（如图8）. 由此可知AE=BF，AC=FD. 由图中新构造出的两个三角形可知FH+BH>FB，AH+DH>AD，所以FH+BH+AH+DH>FB+AD，即AB+FD>AD+FB，因此AB+AC>AD+AE.

证明线段的不等关系，通常由三角形的三边关系来实现，而将不在同一个三角形的线段转化在同一个三角形内是证明的关键. 但平移不是随意的，当题中出现相等且平行或位于同一条直线上的线段时，方可进行平移. 平移是一种只改变图形的位置而不改变图形的大小及形状的变换，其实质是构造了有特殊位置关系的全等三角形. 利用这一特征可以解决较多关于全等的几何问题.

旋转变换法

旋转是在平面内将一个图形绕着某个点旋转一定的角度得到一个新图形的一种变换，旋转前与旋转后图形的形状和大小完全一样. 旋转也是一种常见的变换方式，在几何问题的解决中，通过旋转可以进行线段、角、图形的合并，从而使问题简化.

例5 如图9，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

分析 该问题实际上是“半角问题”. 由BE+DF=EF可知，将△ADF绕着点A旋转，使得AD与AB重合，得到△ABG（如图10），于是可将BE与BG“合并”，由“SSS”证得△AGE≌△AFE，因此∠GAE=∠FAE，即∠GAB+∠BAE=∠FAE. 又∠GAB=∠DAF，所以∠DAF+∠BAE=∠EAF. 所以∠EAF=1/2∠BAD=45°.

“半角问题”的常用思路是通过旋转证三角形全等，从而得到角相等. 该问题是近两年的热点问题. 旋转与平移一样，是一种全等变换，由于具有可操作性，因此该方法的使用也是对学生动手能力及想象能力的考查. 解题时应根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到解题目的.

几何是初中数学的重要组成部分，作辅助线在几何问题的解决中起着重要的作用，而构造全等三角形则是解决几何问题的常见方法. 在三角形全等的构造中，“转化”是蕴含其中的重要数学思想;通过转化，构造出全等三角形，再进一步解决问题是基本思路. 辅助线的作法要仔细斟酌题中所给的已知条件与所要求的问题，找到突破口，有的放矢. 当然，与三角形的全等有关的辅助线作法远远不止上面几种，只有深刻挖掘条件，灵活选取方法，才能将问题逐个击破，使几何问题“柳暗花明”.