有理数加法法则应用失败分析及教学建议

☉山东淄博市周村区王村中学 郑学涛

一、问题提出

有理数的加法是义务教育数学第三学段的基石，学生学习有理数加法运算不仅对后续的整式、方程、函数等知识的学习具有重要的影响，娴熟地使用法则也是发展学生运算能力、培养学生基本数学思想和方法论的重要渠道.有理数加法法则中蕴藏的分类讨论思想、数学建模思想、程序思想不但是数学内涵的重要组成部分，更是培养学生坚持真理的价值观、严谨求实的科学态度和克服困难的意志品质等核心素养的重要介质.在教学中发现，学生对有理数加法法则的应用非常失败，常见的问题主要有：（1）不知道有理数加法法则为何而来，如何使用；（2）总是先计算后判断结果的符号或干脆不判断，尤其对于异号两数相加尤为严重；（3）计算失败后不知自己的问题出在哪儿（法则成为摆设）并羞于向教师寻求帮助；（4）计算速度偏慢.

二、原因分析

1.思考力不足导致学生不知法则为何而来，无法正常支配.

思考力是对所要解决问题和使用工具内涵的透析以及对外关系的甄别，是对问题解决系统整体的宏观把握及工具支配的预备，可以狭义解释为学生分析问题的强度.思考力不足导致学生对计算和法则缺乏理性认识，不知道法则为何而生，为什么分条呈现，如何借助法则的“对立统一性”区分计算路径使算法“对号入座”，法则与原有加法有什么关系.对这些问题含糊不清导致信息表征和路径匹配失败，不能在法则和具体计算之间建立实质联系，甚至认为法则是没用的.根据皮亚杰的认知发展理论，刚刚进入初中阶段的学生大多处于具体运算阶段，其思维的特点是具有守恒性，思维活动需要具体的内容支持.初中以前学习的加法其实质是“算术”.“算术”来源于实际生活，其计算依据源于诸如7个苹果+8个苹果或掰手指的经验.而升入初中之后，数系扩充到有理数，负数与正数具有了同等的运算地位，但学生没有将负数进行更多的生活意义赋予的机会，计算思维中，思考的天平总是偏向非负有理数一侧，新问题下的思维活动无法得到足量具体内容的支撑，量变不足，质变无从谈起，新法则与旧经验无法合体并叠加，对新法则的思考和认知其实是一种假性建构，是思考力不充足的具体表现.

2.执行力不足导致学生不知法则如何应用，原地踏步.

执行力是指有效利用资源并在规则指令的支配下循序渐进、按部就班地完成目标的操作能力.执行力表现为力求每一步都有法可依、有法必依.有理数加法法则阐释的是具体的计算步骤，它是实现问题解决的关键.执行力不足，会导致学生不按法则进行计算或只执行法则中的某一部分，如只执行“算”的部分，而不先判断符号，导致计算失败.有理数的法则分为四部分，分别是符号相同的两个数相加、符号不同且绝对值不相等的两个数相加、互为相反数的两个数相加、一个数同零相加，这四部分是四条路径，也是一个倒置的分类讨论的结果，学生需要通过具体的数来判断所要处理的计算属于哪一类，但学生获取法则之后面对具体的数，往往不去判断要进行的计算属于哪一部分，更不愿意选择路径、执行路径.还有的学生习惯于回到教师最初引导学生探究法则的数轴上进行向左或向右的操作获取结果，这都是学生的执行力不足的现象.法则成了形同虚设之物.此外，如果思考力出现问题，那么执行力度越大，错误的程度就越大，造成背道而驰的局面，因此思考力直接决定执行力.

3.行动力不足导致学生停滞不前，计算失误重复出现.

行动力是指根据预完成的学习目标，能够不断调整自己的学习行为、突破自己的惰性思维，在过程中表现出较强的自制力，努力实现自己想做好但还没做好的事情，有条不紊地下定决心保证自己的目标一定实现的力度.前文提到，学生困惑于为什么要总结出一套有理数的计算法则、法则是怎样得出的、应该怎样有效利用，在学习完之后仍然一知半解的情况下缺乏进一步学习的行动力，不去彻底搞清楚问明白，自己的认知和计算获得的经验无法形成有效的对接，都是片段的存在，学生对有理数的计算永远无法实现真正的突破.在教学中发现，几乎所有的学生都缺乏改错题和反思出错原因的能力，无法真正吃一堑长一智，做再多的练习也是浪费时间，计算还是偏慢，这也是行动力缺失的一种表现.当然，学生的行动力也和外力的作用有一定的关系，如果教师对学生的要求严格，引导细致，也能间接提高学生的行动力.

诚然，学生对于有理数加法法则使用失败不能完全归因于学生，教师数学教学观不成熟，教学方法不够精致，教师对学生心理特点、学习特质把握失真，都会影响最终的教学效果.

三、教学建议

有理数加法计算是一个系统的程序操作.不能将其仅仅归于运算技能而将其与数学思想撇开.数的计算是一种运动，这种运动可用点的运动表示出来（借助数轴）.在教学中，教师一定要循序渐进让学生完成有理数加法法则的生成，填补数系的扩充所带来的对学生思维冲击的空白.根据上面的分析，有理数加法法则的教学要着重解决以下四个问题：第一，为什么要总结出这样长的法则；第二，有理数加法法则是如何得出的；第三，有理数加法法则应该如何应用，步骤如何分解；第四，让学生进行基于法则使用的计算失误反思.具体的教学建议如下：

1.夯实基础作好前序知识的教学.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，把每节课教学的知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识和整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性［1］.数学是一个逻辑群组和迭代关系的生命体，数学的生命就是数学知识基于生产、生活的需要和逻辑延拓的自然生长.建构主义认为，新知识是在学生原有知识之上的同化与顺应.那么作为先行组织者，教师在授课时要赋予数学生命力，让学生认识到原有的加法计算经验已经不能解决现有的问题，然后引导学生探索新的规则并合取原有成分.而对有理数加法法则的探究、归纳、理解和应用离不开前序知识在学生思维上形成的积极影响，因此必须夯实学生基础，扎实做好前序知识的教学工作.前序知识最重要的四个点为：负数的加入、数轴的产生、相反数及绝对值的计算和使用.教学中要让学生通过实例认识到负数产生的必要性，要尽可能让学生把负数与正数放到同等的价值地位上；借助数轴的产生让学生明白正数和负数的对称性及有理数都可以用数轴上的点来表示，为通过数轴上点的运动探究有理数的计算法则埋好伏笔，实际上这也是数形结合的一次尝试，在相反数和绝对值的教学中，更要让学生借助数轴理解互为相反数的两个数及一个数与其绝对值在数轴上的相对位置，并以此推动概念的记忆和使用，为学生理解法则作好准备.同时，教师要不断渗透数形结合思想、分类讨论思想（主要指绝对值），这些隐性知识不但影响学生对有理数法则的理解和应用，对学生高级思维形态的构建也至关重要.

2.作好有理数加法法则的归纳和概括的教学.

建构主义认为，知识是活动经验的合理化解释，而活动经验是学生通过某种经历获得的.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中沉淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的［1］.因此必要的情景活动是帮助学生积累基本活动经验并升华为法则的心理和知识准备.但是在课堂中，发现能够真正进入问题情境进行深度探究的学生往往寥寥无几，多数情况下学生的基本活动经验是教师怕耽误时间硬塞给学生的，是一种客观的堆积，而不是学生主动的创造.这样的经验甚至不叫间接活动经验，对学生的学习帮助微乎其微，为此，教师一定要将利用数轴上的点的移动探究有理数加法法则的活动真正还给学生，让尽可能多的学生参与到“向左走、向右走”的体验与感受中，教师在学生具备了相关的充足经验之后，先让学生谈谈感受并试图总结，然后教师在这个关键节点处给予学生充分的指导，将经验升华为正式的法则，让法则的生成水到渠成，合情合理，还极具人情味.在此过程中，充分发挥学生的主观能动性，问题由学生发现、办法由学生提出、法则由学生归纳，教师永远是学生学习的组织者、引导者、服务者，良好学习氛围的营造者，学生是知识学习的主动参与者、知识的构建者、自生能力发展的进步者［2］.

3.作好学生加减法则的通俗化理解的教学.

法国数学家托姆（R.Thom）曾指出：“实际上无论人们的意愿如何，一切教学法根本上出自某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也是如此”［3］.学术的语言往往严谨、科学而不容易理解，通俗的语言（含俏皮的解释）往往能够吸引学生的注意，让学生快速记忆法则并熟练应用，这种通俗的语言也可以认为是将法则与学生日常生活中已经十分熟悉的得心应手的事务处理方式之间建立一种同理化的合取.数学不应该被理解为一种费解、难懂而又违背常识的东西，实际上数学是常识的精微化［4］.如学生归纳出法则之后，对于同号两数相加容易理解，而对法则中异号两数相加的理解及应用总是出现问题，教师可以用这样的生活常识给学生解释：异号两数相加的结果如同少数服从多数，谁到原点的距离长谁就说了算，结果的符号就跟多的一样；至于学生最容易出现计算失误的一步先判断符号后计算（学生往往先算后判断符号），教师可这样解释：有理数的加法法则应用如同早上起床穿鞋走路，判断符号如同先穿袜子，算数如同后穿鞋，没有人能够先穿鞋后穿袜子.这样的解释不但能够加速学生记忆还能活跃课堂气氛.要注意的是这样的解释要适度，不能干扰数学课堂严谨的气氛.

4.作好有理数加法法则如何使用的引导教学.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理［1］.有理数的加法法则是一种倒置的分类讨论的结果，需要学生首先判断数的属性，然后执行.而由于刚刚升入初中的学生思考力、执行力、行动力都十分薄弱，如果把有理数的法则让学生直接作为高级准则应用，那么会有两种结果，第一，学生产生畏难情绪，越来越失去信心；第二，学生可以模仿教师，而没有掌握法则的工作原理，是一种伪建构知识的表现，容易出现不首先判断符号等现象.有理数加法法则绝不是简单的套路化，因此教师引导学生如何使用有理数加法法则显得尤为重要.例题教学中应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，这个过程有利于理解和掌握相关的知识和技能，感悟数学思想，积累活动经验［1］.以5+（-7）为例，教师要设置以下的引导问题：第一，这是有理数的加法吗？第二，相加的两个数分别是什么数（正数和负数）？第三，这样的情况符合有理数加法法则中的哪一条？第四，如何执行这一条？结果的符号是怎样的？第五，最后的结果是多少？根据有理数加法法则的叙述，对计算题多次进行计算分解.磨刀不误砍柴工，教师一定不要怕耽误时间，有理数加法法则分为四部分，那么教师要准备四种类型的计算，且根据信息加工理论，每一种类型需要进行7次学生才能形成正常的条件反射，所以每种类型的题目至少要有7个，一节课总共约30道计算题.此外，使用法则的过程也是一种思维锻炼的过程，教师还要借助如何使用法则的过程培养学生严谨性、逻辑性的特质，促进学生分类讨论和程序性思维的进一步完善.

5.作好有理数加法法则阐释和应用的图式教学.

根据皮亚杰的儿童认知发展理论，初一的新生刚刚进入具体运算阶段，而它的前一阶段是前运算阶段，其本质特点是表象图式明显，因此教师可以根据学生这一特点将有理数加法法则及应用过程以程序图的方式表示与文字遥相呼应，其具体的表示方法如图1.教师在讲解例题时在这个程序图的一旁，与这个程序图的流程保持一致.如果纯文本的信息使学生感到难以分辨，那么类似于“跳方”的路线图能够使学生的思路更加清晰，便于学生理解和应用有理数加法法则.

图1

6.作好学生的错题改正的检查工作并引导学生进行反思.

“靡不有初，鲜克有终”，是指人做事情总是有个好的开头但难有一个好的结尾，而在有理数加法的学习中，错题改正和查找出错原因是好的结尾.心理学研究也认为错误应该被积极看待，因为错误是儿童思考的结果.通过错题改正和查找出错原因，厘清在应用有理数加法法则的过程中哪一步出错，并在以后的计算中格外注意，事半功倍.对比驾驶机动车，如果不遵守交通规则就有生命危险的常识，让学生再次体验加法法则的重要价值和必要性.教师要敦促学生形成改错题、写反思的习惯，用外力推动学生行动力的百分百落地.在学习完本章知识之后，教师要让学生撰写小论文《我看有理数》，引导学生梳理有理数加法与以往加法的不同，以获取法则工作的自我解释，使知识添加个性化色彩，对学生日后的学习大有裨益.

四、结束语

有理数的法则不但承载了运算的依据，还承载了人们简单处理计算的愿望，它更是发展学生适应社会的必备品格和培养学生关键能力的重要媒介.教师要借助初一新生积极性高、表现欲强的特点，以知识、经验、思想、能力的发展为课堂的明线，以人类认识事物的一般步骤为暗线（为什么、是什么、怎么办、结果是），深入浅出.有理数加法法则不是思维的桎梏，而是思维的向导，教师要通过自己的精心设计把它变成火热的思考力、精准的执行力和适切的行动力.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2011.

2.蒲大勇.从“法则是无用的”说开去［J］.中学数学杂志，2015（12）.

3.齐民友.数学与文化［M］.大连：大连理工大学出版社，2008.

4.R E 莫里兹，著.数学家行言录［M］.朱剑英，译.南京：江苏教育出版社，1982.