借助二次函数命制新定义试题的实践与思考

☉浙江衢州市衢江区杜泽镇初级中学 徐建兵

随着课堂教学改革的进一步深入，作为评价机制的中考也在不断变化，数学试题的内容和形式更加注重数学素养的考查.即学即用是学生自主学习能力与品质的体现，浙江省特级教师朱先东老师在2015年省中考命题培训的学业考试质量评价中，就试卷的导向性提到了“即学即用导向能力”.纵观近年各地中考，新定义题屡屡出现在中考的关键题中，仅2016年浙江省就有衢州、舟山、台州和宁波4个地区在关键题中出现新定义题，可见这种题的热门程度.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.而自主学习是创新能力的有效保障，因此中考中需要借助某些题型，给学生一个从未接触的新概念或新事物，要求学生现学现用，考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，考查学生自主学习、主动探究的品质.函数图像是一种特殊的图形，它能把数、形和式有效地结合在一起，是一个非常好的命题素材，笔者在此谈谈借助二次函数命制新定义试题的几点思考.

一、借助式子考查思维能力

例1 （2015年浙江·衢州卷第22题）小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c（1a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c（2a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”.小明是这样思考的：由函数y=-x2+3x-2可知a1=-1，b1=3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2、b2、c2，就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面的问题：

（1）写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”.

参考答案：（1）y=x2+3x+2.

（3）由已知得A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），则A（11，0）、B（1-4，0）、C（10，-2）.经过A1、B1、C1的二次函数的解析式为原函数的解析式为

由a1+a2=-得这两个函数互为“旋转函数”.

【题后思考】本题的命制思路是寻找自主学习素材，呈现思维过程，考查学生的即学即用能力.浙江省教育厅在浙教基〔2015〕36号文件《浙江省教育厅关于深化义务教育课程改革的指导意见》中提到：改革传统低效的课堂教学模式，推进体现学科本质、促进学生自主学习的教学改革.自主学习能力已成为课堂教学中急需培养的学生能力之一，也是所有能力的基本保障.本题是2015年浙江省衢州市中考第22题，考题的位置决定了题型与难度.本题从二次函数的“式”着手，“式”的特殊性决定了形的“旋转”性.从而引出“旋转函数”的新定义，把二元一次方程组和乘方的知识融入其中，同时考查学生代数的推理能力.题中给出小明的思维过程，意在让学生通过自主学习理解这一思考过程，在即学即用理解定义的同时考查学生的思维能力.

二、借助图形考查学习能力

例2（2016年浙江·衢州调研卷第23题）我们把经过原点，顶点落在同一直线上的所有抛物线称为这条直线的串顶抛物线.

（1）若y1=-x2+2x和y2=-x2+2x是直线y=kx+b的串顶抛物线，求出这条直线的函数表达式.

（2）证明经过原点的抛物线y=-mx2+2mx+m-2是直线y=2x的串顶抛物线.

（3）如图1，所有抛物线是直线y=x+2的串顶抛物线，顶点A1、A2、A3、A4、…、An的横坐标分别是1、2、3、4、…、n，尝试用含n的代数式表示抛物线yn的函数表达式.

图1

参考答案：（1）y1的顶点为（1，1），y2的顶点为（2，2）.设这条直线的表达式为y=kx+b.

（2）由y=-mx2+2mx+m-2经过原点，得m=2，则y=-2x2+4x，其顶点为（1，2）.点（1，2）在直线y=2x上，则抛物线y=-mx2+2mx+m-2是直线y=2x的串顶抛物线.

（3）yn的顶点坐标是A（nn，n+2），则

【题后思考】本题的命制思路是顺应代数概念教学的过程，给学生一个从未接触的新概念，要求学生现学现用，考查学生的阅读理解能力、接受能力、应变能力，以及自主学习和主动探究的品质.在初中阶段，概念教学分量很重，与小学相比，更加理性化，学生对概念的理解与应用便成了自主学习的一个重要内容，与上题相比，本题的设计都是围绕着概念的理解，题中并未呈现解决问题的思维方法，相对难度会较大.第（1）题理解概念写出例子，这也是概念教学中教师经常要求学生做的一件事.第（2）题理解概念进行证明，需要学生对概念有较好的理解，并能根据过原点（0，0）求出m的值，再根据m的值求出顶点坐标，该顶点在直线上从而得到证明，体现学生代数的推理能力.在课堂教学中，判定定理的出现都需要依托于概念进行推理，这也是顺应概念教学的一个过程.第（3）题是概念的一种应用.三个问题的设问都是围绕着概念教学的过程，它们的解决都要求学生对概念有较深的理解，并能利用概念解题，这就要求教师在课堂教学中不但要教给学生基础知识、基本技能，还要注意培养学生的自主学习能力、知识迁移能力.要能够依托学生的已有知识和生活经验，为学生自觉接受新知识提供一个切入点，使新知识的生成与发展基于学生熟悉的某个情境，真正做到学生新知的自我构建，为学生的实践运用与后续学习奠定基础.

三、借助规律考查创新能力

例3 （2017年浙江·衢州适应性练习第23题）我们把经过原点，且顶点落在第一象限内同一条正比例函数图像上的一组抛物线称为关于这个正比例成串顶抛物线. 例如y1=-x2+2x的顶点的顶点（2，2）、y3=-1 3x2+2x的顶点（3，3）都在正比例函数y=x上，我们把和称为关于正比例y=x成串顶抛物线.

（1）写出两支关于正比例y=2x成串顶抛物线的抛物线关系式及顶点坐标.

（2）若关于直线y=kx成串顶抛物线y=ax2+bx，观察以上函数的二次项系数b和正比例函数的k，试猜想b与k之间的数量关系，并对自己的猜想进行证明.

参考答案：（1）y=-2x2+4x，顶点为（1，2），y=-x2+4x，顶点为（2，4）（答案不唯一，只要b=4，c=0即可）.

（2）猜想结论：b=2k.

证明：y=ax2+bx的顶点坐标为将其代入y=kx，得则b=2k.

【题后思考】本题的命制思路是构造定义，发现规律，进行猜想推理和应用.即学即用，考查学生合情推理和演绎推理的能力，以及学生的创造性思维.《标准》指出，义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础.本题在定义的构建时模仿了教材的代数定义，教材中对代数进行定义都需要一定的实例，这样会使得定义更加规范，更容易被学生接受.本题与上题相比，侧重点放在了合情推理与演绎推理上，第（1）问概念理解，通过概念写出两支关于正比例y=2x成串顶抛物线的抛物线关系式及顶点坐标，这与题干中的三个例子为第（2）问发现与猜想规律作好铺垫.推理能力是数学中一个非常重要的能力，合情推理（包括类比与归纳）与演绎推理（包括计算）贯穿了数学的始终.猜想与证明体现了创新的品质.第（3）问是规律的应用.创新能力离不开大胆的猜想，不断尝试，不断否定，不断发现，这也正是命题组的命题目的之一.通过改编，从概念的理解到性质的探究和应用，体现新定义命题的一般模式.

《标准》指出：创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中.学生是课堂教学的主体，教师是课堂教学的组织者、引导者和合作者，课堂教学的重心本应放在学生的学习和发展上，课堂中教师讲得再好，脱离了学生的自主学习都是无效的.因此，在课堂中必须把课堂的主动权还给学生，把阅读课本和思考解决问题的时间和空间留给学生，引导学生去探索发现，让学生在自主探究的基础上学会与人交流，在交流中获得共赢.随着课程改革在浙江的推进与落实，一线教师也越来越感觉到自己教学中一讲到底的方法已不再适应现在的学生，都在努力尝试寻找和实践一种新的以学生为主体的教学方法，让学生的学习成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，让动手实践、自主探索与合作交流同样成为学习数学的一个重要方式，让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.作为评价的核心工具，中考试卷的内容和形式也必须进行变化，顺应新的教学理念，考查学生自主学习的能力，即学即用体现过程性学习、即学即用顺应概念教学和即学即用凸显创新的品质.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.丁浩勇.一道新定义型试题的命制历程与反思［J］.中学数学（下），2012（11）.

3.邓文忠.中考新定义抛物线问题探析［J］.中学数学杂志，2015（2）.

4.陈丽君.巧解新定义题，提高数学发展力［J］.中学课程辅导·教学研究，2012（24）.

5.訾本凤.中考数学新定义题型归类探究［J］.理科考试研究，2013（2）.