国外线性代数的教学研究述评

朱 琳，蒋启芬



国外线性代数的教学研究述评

朱 琳，蒋启芬

（上海交通大学 数学科学学院，上海 200240）

线性代数是大学理工科学生的重要基础课，有关线性代数教学领域的研究越来越受到重视．分析近30年来国外有关线性代数教与学方面的研究成果，论述了国外线性代数的课程改革与内容，总结出学生学习的心理过程和在学习过程中所遭遇的困难和原因，并对国外的教学设计与实践成果进行了评析，为中国的线性代数教学研究提供了思考和借鉴的方向．

线性代数；教学研究；研究述评

微积分和线性代数是大学理工科学生的两门数学基础课，对各专业的后续课程学习起着重要的作用．早期的高等数学教育领域的研究，主要集中于微积分的教学．随着线性代数在工程、技术、计算机科学、经济等领域的应用越来越广，有关线性代数的研究也越来越受到重视．近30年来，国外学者在线性代数的教与学中，对课程内容、教学设计、学生学习等方面，产生了大量的研究理论与成果，值得借鉴和思考．

1 线性代数的课程改革与内容

美国的线性代数课程改革起源于图兰的微积分改革会议[2]，于1990年1月成立线性代数课程研究小组（LACSG），并对线性代数的课程大纲和教学提出了一系列指导性建议．他们认为，线性代数应该是矩阵导向的课程，应从具体的、实际的例子出发来介绍概念、原理、理论的发展．教学必须响应其它学科的需求，让学生的后续课程学习会觉得线性代数是有用的．他们给出线性代数课程改革的建议为：（1）教学大纲和介绍必须响应其它学科的需求，让学生的后续课程学习会觉得线性代数是有用的．（2）线性代数应该是矩阵导向的课程．应该从具体的、实际的例子出发来介绍概念、原理、理论的发展．必须着重定义、定理的陈述以及证明，并且揭示不同概念和理解之间的联系．（3）教师需要了解学生的需求和兴趣．（4）教学中要应用计算机技术．（5）至少要开设第二门线性代数后续的课程，以适应数学专业以及其它专业需求更高的学生的需要．在LACSG小组的这一建议下，影响了很多国家的线性代数课程和教学改革，并出版了风扉全球的教材[3]．但是，对于LACSG的线性代数改革建议，杜宾斯基是强烈质疑的．他认为，这种矩阵导向的线性代数课程是“灌水式”教学，充斥着计算的步骤，不仅不是应用型导向，也不能帮助学生构建概念性理解[4]．

2 学生学习的心理过程

研究学生如何理解数学概念，以及学生如何进行数学学习的心理建构过程，对于改进教学有重要的作用[6]．杜宾斯基的APOS理论、韬尔的过程性概念（Procept）、数学的3个世界（具体化世界、符号化世界、形式化世界）理论等，都为研究学生学习中的心理建构过程奠定了理论基础，能够帮助数学研究者从更广阔的视角理解数学推理的发展，并能帮助数学家看到数学教育研究和他们教学之间的深刻联系[7]．

Okta等人应用APOS理论分析学生在构建向量空间概念时的方式，以及他们遭遇的困难，形成由4个图式：公理、二元运算、函数和集合协调构成的向量空间的图式，以此描述学生在学习概念时发生的心理机制和建构方式．并基于学生的理解设计ACE教学循环，用MAPLE软件设计教学活动，促进学生对向量空间概念的理解[13]．随后，Parraguez和Okta的研究改进了这一向量空间概念的图式框架[14]，认为由集合、二元运算、公理这3个图式整合构建而成．通过对10名学生进行问卷调查和访谈发现，学生很难构建出向量空间的图式，向量空间的运算和结构之间的协调在认知上很重要，虽然数学上看只是小事．他同时也给出了教学启示：需要重点关注二元运算的图式构建，给学生机会练习不同集合下的二元运算，让他们能灵活地发展包含多种不同于常见运算的心理结构；需要将向量空间的两个运算关联起来，需要设计活动来促进这两种过程的协调．

3 学生学习的困难和原因

学生认为学习解线性方程组、计算矩阵的乘积时都很简单，但是，当学到子空间、扩张、线性无关时，“如同浓浓迷雾滚滚而来”，感觉迷失了方向[15]．线性代数中的概念因其抽象性和形式化的本质，是产生学生理解困难的主要原因[16]．针对学生在概念理解时遇到的困难，以及产生困难的原因，研究者从不同角度作了大量研究．

3.1 形式化障碍

形式化将数学定义为严密的证明科学，做数学的唯一方式就是进行证明．当通过严密的证明，得到确定的数学结论时，才算是完成了做数学的过程．学生难以理解向量空间理论中的形式化，更难以解释形式化的概念跟几何或线性方程组理论中更直观的内容之间的关系．几乎所有的教学模式中，学生都感到的一个独特的巨大障碍，即“形式化障碍”[17]．学生们常常感觉像是登上了另一个星球，大量的定义、定理、术语铺面而来，这些与他们之前学习的知识没有联系，让他们感到非常困惑．另一方面，在老师看来十分简单的概念，学生却无法理解，老师们也常常感到受挫和失望[1]．对于大多数学生而言，线性代数无非是一列列的他们无法想象的抽象记号．另一方面，他们的水平很难找到可以将线性代数用于解决问题的情境．学生对集合论、证明语言的逻辑知识、形式化数学语言解释的缺乏，是学生学习线性代数的障碍．学生很难将代数过程中的形式化、算法化特征与非正式的、有意义的方法关联起来；与具体的情境相比，解决问题的过程是抽象的；学生缺乏对数学对象抽象水平的认识；抽象是完成整个问题解决过程的需要，而执行初等代数运算过程只是其中的部分．因此，必须帮助学生发展有意义的代数对象和运算，使其不仅与现实生活情境相关，也包括有意义的数学关系框架．

有一些研究者认为，在大一学生的学习中，所有需解决的线性问题，可以无需使用公理化的理论、而通过计算的技巧来解决，这种形式化理论的益处，比如它的统一形式、可以进行概括归纳、可以体现数学的简洁，只有专门的数学家才能体会到．因此，有一种倾向的解决路径，就是放弃教授这种公理化的线性空间理论．然而，又有一些研究者认为，对于进入大学学习的学生而言，即将学习大量的高等数学和科学，必须通过学习这些公理化的概念，掌握对代数结构的了解，获得思维方式的提升，这对于学生的后续学习是尤为重要的．线性空间正是代数结构中最基本的对象之一．因此，必须引导学生去体会这种思想和方法的过程，带领学生思考形式化概念的好处，并建立起与已有知识之间的联系，形成掌握学习这种新的形式化概念的能力[1]．Dorier另外提到，现在的教学模式已经越来越少在一开始就强调形式化的概念，而是尽可能地先让学生学习类似初等矩阵行列变换的算法运算．然而，这又导致了一个矛盾，学生只学会了怎么进行Jordan标准型的计算，却对其中最基本的概念比如线性无关、子空间等产生误解[1]．

Dubinsky指出，学生在学习线性代数时，遇到困难的原因包括：第一，教师是教学的主导者，他在教学过程中完全是单向地向学生灌输各种概念和定理，学习的内容和必要的操作，是完全由教师来告诉学生．数学思维的过程，是完全由教师来进行展示和操作．学生往往不理解概念的意思，但是可以直接进行计算的操作，比如，学生只记住了可以直接应用著名的算法来解题，比如，用高斯消元法进行初等行变换，可以得到矩阵的阶梯型．这是线性问题的优点，同时也是教学所面临的弱点和挑战．第二，学生缺乏对于线性代数所需背景概念的理解．这些背景概念往往能够解决线性代数之外的很多问题，但通常是数学家所不关心的，也是数学教师所不了解的．但对于学生的学习而言却很重要，这有助于建立学习的动机．第三，缺乏有效的教学策略，可以让学生形成自己的思考，而非一味地接受现成的理论和方法，以此帮助学生建构起自己对概念的理解[4]．

Hillel建立了一个理论框架，理解学生在学习线性代数时的思考过程，分成几何、代数和抽象模型，以及学生在抽象模型下会面临哪些学习障碍[18]．Gueudet用了10年的时间研究线性代数与几何的关系，进而研究学生的具体困难在于很难建立形式化概念的直观想象[19-20]．Portnoy等证明，职前教师在用线性变换将几何对象变换为其它几何对象的过程中都会遭遇困难．虽然理解线性变换将有助于理解一般的概念，但他们无法发展出必要的对象性理解[21]．Britton和Henderson的研究表明，学生对于形式化的子空间概念和代数形式很难理解[22]．

3.2 认知灵活性

Pavlopolon区分了向量的3种符号化表述的记法：“箭头”指的是图记法，“坐标”为表格记法，“公理化的线性空间”为符号记法．她指出，在教师的教学和教材中，这些不同的记法，特别是记法的表述之间的转换通常是不加解释的．学生的很多错误，是由于混淆了对象和它的表征方式，特别是向量和它的几何表示所造成的．对于学生而言，从一种表述到另一种表述之间的灵活转换，是巨大的困难和障碍[1]．Alves-Dias研究了线性子空间及其笛卡尔坐标表示形式．她发现，这不仅只是表述形式的改变，对于学生而言涉及更加复杂的认知和建构过程．学生常常会根据代数符号的表征形式来辨认属于某种表述形式，比如把包含和，就认为是笛卡尔坐标，而没有去理解真正的含义．本质上，当把一个子空间由笛卡尔坐标进行表示的时候，其实相当于寻找的一组生成元．即使子空间的维数已知时，想要寻找它的一组基也不是那么容易，这里不仅只是表述形式的改变，还涉及更加高等数学思维的建构过程，对于学生而言是比较困难的[1]．

Harel认为，学生学习线性代数的时候，智力活动必须在概念性对象这一范围内进行，在对象转移水平上的思考困难将导致学生产生了“防御机制”．学生在面临巨大的认知冲突和学习困难时，为了摆脱困境，只能试图机械性地进行重复，在形式上“复制”教学或教材中的过程，而没有理解符号和术语的真正含义[24]．Sierpinska等人通过对学生在计算机环境下的具体行为和表现进行分析，解释他们在解决具体线性代数问题时，可能产生的错误，并寻找导致这种困难的原因．得出结论，学生认知思维的特征是“以‘具体的’而非‘理论的’方式进行思维的倾向”[25]．学生具体思维的显著特征是，他们对抽象概念的理解不是基于它的定义，而是基于一些“典型的例子”．例如：线性变换被理解为旋转、伸缩、剪切以及它们的组合．这种理解方式使学生很难看出线性变换可以由在某一组基上的值来确定；因此，他们关于线性变换的矩阵的概念仍停留在它是一种程序的水平上[26]．

3.3 历史分析的视角

古希腊时期，向量的平行四边形法则就被亚里士多德和海伦提出过．早期的向量方法强调的是运算本身，在数学理论的构建上并不清晰．公理化、形式化的线性空间理论直到19世纪后期才产生．从认识论角度对线性代数发展历史进行分析，是揭示学生学习困难的缘由的一种方法，对设计教学活动有启发作用[1]．

线性空间理论的产生可以追溯到19世纪后期，它对应于线性代数的公理化过程，即利用新的以公理为中心的理论的各种概念和工具，对解线性问题的方法进行理论重构．必须认识到：这种公理化本身，不仅能让数学家解决新的问题，还能以一种通用的方法和语言在各种情境下进行使用（泛函分析、二次型、算术、几何，等等）．在数学问题中，除非需要解决的是非可数的无限维问题，否则公理化的方法也不是绝对必须的，但它是进行数学思维思考的普遍性的思想方法．这种公理化的好处，不仅在于有可能解决未知的问题，而且在于它可以进行概括和归纳，这种一般的、统一的方法简化了解决问题的途径[28]．

Hristovitch通过对线性相关、线性无关概念的历史分析，认为数学家使用的直觉化的、隐喻和类比的解释，如“限制”、“分解”和“不可约”到“死”，是从操作性理解转化为结构性的表达“线性独立”，这对数学概念的初步形式化和接下来的发展都是很重要的．而在概念具体化的道路上，符号化表征和演绎性推理，在将起初的直觉转化为这些起源于直觉概念的高级结构上起了重要的作用．在这种意义下，学生无意识的类比、带暗喻的语义解释和对概念的符号化的推理，具有概念发展的历史相似性，将影响学生的概念化形成和问题解决[29]．

4 教学设计与实践

4.1 几何直观化的教学设计

一种观点认为，几何化能够真正建立学生的“概念意象”．Robert等人设计并实施以几何的方式融入线性代数教学的方案，将线性代数概念赋予更多“具体”的几何意义，以此克服抽象的困难和形式化的障碍[17]．Cihan（2003）等人通过两个班级的对比研究，得出结论，几何化、直观化的教学，能促进学生对线性空间概念的理解和转换[30]．

但是，又有一些研究者认为，从几何的角度来引入概念，会让学生很难与代数表征关联起来，在推广到形式化概念的学习中会遭遇很多困难[31]．首先，几何只能限于三维空间，比如秩、对偶等概念，在几何情境下的讲述会受到很大限制．这种跟几何的联系，会让不少学生常用仿射子空间代替向量子空间[1]．Gueudet对几何与线性代数两者间的联系进行了认识论方面的研究[19]．她发现几何直观在线性代数的教材或教师中被当作是一种必要条件．然而，现实中几何的利用经常是非常肤浅的，甚至对某些学生而言，在线性代数中利用几何的表示或以几何为参照物，并不总是有益的．事实上，一些学生不能从向量空间结构中区分仿射空间；他们也常常不能想象不是几何变换的线性变换．换言之，几何参照物成了学生理解一般的线性代数的障碍．另一方面，研究中发现学优生很少利用几何参照物，他们可以不借助几何的表示而直接在形式化的水平上思考．如此看来，几何表示或语言的使用可能是一个积极的因素，但必须加以控制，要在把两者的联系讲得十分清楚的条件下使用[1]．

4.2 计算机技术的应用

随着计算机技术的发展，大量数学软件（Matlab、Mathematica、Derive、Linalg）在教学中得到有效的使用，美国大学数学教育研究小组（RUMEC）于2002年出版了用《ISETL语言融入线性代数教学》．Dogan等人试图通过计算机技术的融入，探究学生在学习时的困难，搭建不同表征形式之间的桥梁[32]．Sierpinska等人发现，计算机环境下的任务操作，可以帮助学生发展对线性变换的动态理解，但却阻碍了学生理解线性变换是将一般的向量映射到它的象，将思想固着于线性变换的具体例子[33]．Dogan（2001）对传统课堂和用Mathamatica实验课堂进行了对比研究．在传统课堂由老师直接介绍定义，在实验课堂用软件引导学生探究定义和对向量空间的理解．结论表明实验组在解决涉及到概念性知识的任务时，表现优于传统组．实验组和传统组理解上最大的不同在于，实验组将线性空间概念应用到线性变换的时候，能够认识到向量作为子空间的对象，能够写出子空间的基．但没有显著差异表明，实验组比传统组在需要过程性知识的问题时，或者同时需要过程性和概念性知识的问题时表现更好[34]．Dikovic利用课堂投票器介入课堂教学，让学生主动思考，让课堂生动活泼．同时，他利用数学软件和网络技术的交互式学习，在学生完成传统课堂的学习后还能进行专题学习，以建立起对线性代数概念数值化、符号化、直观化的表征[35]．

4.3 数学建模的方法

在数学课程中融入数学建模的方法，运用经“现实生活”的问题设计的数学模型，能激发学生的学习动机，促进学生建构重要的数学概念[36]．Possani等人设计了交通流的模型，通过交通控制中不同参数的设计，帮助学生理解线性方程组[37]．他们基于APOS理论和数学建模理论，设计了具体的教学顺序和教学材料，在现实的生活中利用有趣的实际问题，帮助学生建构概念，开发分析工具来分析学生对线性方程组的理解．他们之后继续进行模型的开发和设计，利用经济学中生产计划的建模问题，基于APOS理论分析学生的建模过程，重点构建对学生的学习路径分析框架，分析学生在线性组合、线性无关，以及向量空间的概念建构过程中处理建模问题的循环．并得到结论，数学模型的使用和基于教育研究理论所特殊设计的活动，能增进学生对抽象概念的理解．建模活动可以给学生提供背景来关联他们以前的知识，并且建构新的知识，同时也能给老师和研究者提供很清晰的视角来观察学生推理、证明、判断的过程[38]．

5 结语

综上所述，近30年来国外在线性代数的教与学研究中取得了诸多成果，研究范围不断扩展，研究方法日益更新．但同时能够看到这样的倾向性，以法国为代表的欧洲国家，主导形式化的、公理化的教学模式，通常的线性代数教学以公理化的线性空间理论开始，然后介绍矩阵、解线性方程组的问题．这些符号化的表征和形式化的定义，都让学生觉得很难理解．而在美国，线性代数改革小组改革后的线性代数课程，是以“矩阵—导向”的、偏重计算技巧的改革课程，大量计算机技术的融入线性代数教学．但是，当计算能被电脑快速有效执行时，必须问问“什么是学生真正需要去学的？”在这两种不同的研究背景下，立足于中国高校的特点和国内学生的认知特点，需要对线性代数教学深入进行融入实践、融入课堂的实证研究．在中国的线性代数教学研究领域，研究者主体是高校的数学家、以及热心教学的数学教师．现有研究主要以经验总结、思辨思考为多，研究方法缺乏规范、研究工具更显单一．在借鉴国外研究成果的基础上，加强本土化的教学理论建设和实证研究，是线性代数教学研究领域，甚至是高等数学教育研究领域予以努力的方向．

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Review on Foreign Studies of the Teaching and Learning of Linear Algebra

ZHU Lin, JIANG Qi-fen

(School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Linear algebra was one of the first advanced mathematics courses that students encounterat university level. This paper evaluated foreign studies of the teaching and learning of linear algebra in the past three decades from the four aspects as follows: the content and reformation of curriculum, the psychological process of students’ learning, students’difficulties, and the teaching designs and experiments. The foreign research patterns and conclusions couldprovide some reference for our research, while their limitations also indicated the direction of our future study.

linear algebra; studies of teaching and learning; research review

[责任编校：周学智]

2017–10–05

上海交通大学课程教学改革项目——发生教学法在线性代数教学中的研究与应用

朱琳（1981—），女，安徽黄山人，讲师，主要从事高等数学教育研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2018）01–0079–06

朱琳，蒋启芬．国外线性代数的教学研究述评[J]．数学教育学报，2018，27（1）：79-83．