数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例

朱立明，胡洪强，马云鹏



数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例

朱立明1，胡洪强2，马云鹏3

（1．唐山师范学院 教育学院，河北 唐山 063000；2．伊犁师范学院 人文分院，新疆 伊宁 835000；3．东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024）

数学核心素养是数学课程改革的新指向，是数学教育的培养目标．基于对高中数学课程中数学核心素养6个维度：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析的理解，提出数学核心素养的生成路径：（1）依靠数学抽象过程生成数学抽象核心素养；（2）凭借数学理性思维生成逻辑推理核心素养；（3）利用数学综合实践生成数学建模核心素养；（4）通过数学问题解决生成直观想象核心素养；（5）借助数学算法算理生成数学运算核心素养；（6）依赖数学统计思维生成数据分析核心素养．

高中数学课程；数学核心素养；维度理解；生成路径

1 研究背景

1.1 国际教育发展的诉求：走向以人为本的理念

随着科学与信息技术日新月异地更替，全球化的进程正在加速，世界各国综合国力的竞争日趋激烈．这种竞争主要体现在经济发展与社会变革的角逐，最终转化为深层的以人才为中心的竞争．无论是哪个国家或者地区，都已经将提升国民素养，培养能够迎接21世纪挑战的新型人才作为谋求发展道路上的共同主题[1]．针对这样的国际背景，教育应该回归以人为本，人是教育的起点与归宿．教育旨在促进人的全面持续发展，尊重和关爱人的生命本性，培养人的社会属性与个性．通过个体自我价值的实现推动社会的发展，从而保证人的发展与社会发展和谐统一，这是国际背景下的新世纪教育的诉求．

1.2 中国课程改革的指向：追求核心素养的目标

课程改革是以课程为核心，涉及到整个教育领域的系统改革，它的基础是价值观念的重大变化和方向的重新调整，包括课程的理念、目标、结构、管理、方法与评价等方面．新中国成立以来算得上真正意义的“课程改革”只有5次[2]．以核心素养为目标对课程在文本层面与实践层面进行改变，一方面从“三维目标”走向“核心素养”为课程改革深化发展带来新指向，有利于实践教育改革的育人价值；另一方面，从“知识本位时代”走向“核心素养时代”是课程改革的新思路，有利于解决知识无限与时间有限之间的矛盾，总之，围绕核心素养这一目标组织课程改革已经成为中国热门的研究课题[3]．

1.3 高中数学标准的修订：坚持学科素养的落实

学生发展核心素养培养的最终落脚点必然是基于学科[4]，人们用来有效处理生活与工作过程中所需的技能、知识、信念、气质、思维习惯等是核心素养学科化后的具体表现．所谓学科核心素养，就是指学科的思维品质和关键能力．一个人成功的基础，包括知识的掌握、思维方法和经验积累[5]．在新一轮的高中数学课程标准修订过程中，已经将数学核心素养明确写入标准，并以此指导数学课程的组织与实施，在坚持“双基”的合理内核下，通过恰当的数学情境，在感悟“数学基本思想”，积累“基本活动经验”的同时将形成和发展数学核心素养作为数学教学的核心要求．

2 高中数学核心素养的理解

2.1 高中数学核心素养维度的诠释

2011—2013年，教育部组织了对高中数学课标实验稿实施情况的调查研究．2014年12月8—9日，教育部召开“普通高中课程标准”修订工作启动会暨第一次工作会，标志着高中课程标准修订工作正式拉开了帷幕．在这次修订稿中，不仅对高中数学课程结构、学业质量标准、高考改革等方面进行改进，更重要的是将数学核心素养写入标准，这预示高中数学核心素养在一段时期内都是重点研究问题．在高中数学课程中，数学核心素养具有如下3个特征：一是能够通过后天培养获得；二是与特定情境相关；三是可以借助外在行为进行表现．目前，修订稿中将高中数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，下文将分别对每一个数学核心素养进行阐述[6]．

2.1.1 数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．数学抽象是对某一类事物或现象关于量的共同本质属性的描述，这里的量包含数学中的数与形两个方面．作为数学基本思想之一，数学抽象促进了数学概念及其关系的建构，推动了数学学科的产生和发展．数学概念的抽象有两个途径，其一是从现实具体存在中抽象获得，其二是借助相关数学符号或者类比获得．例如球的概念形成可以通过对现实世界中各种球类物理属性（颜色、材料、质地等）的舍弃，从得到所有球类的共同本质属性（大小与结构），即球的概念，也可以通过类比圆的概念，将平面图形拓展至空间图形得到球的概念．无论是哪一种途径的数学抽象，都使数与形脱离了直观意义与经验意义上的存在，形成一般性概念、结构和规律，并且用数学符号予以表征，经过数学抽象，数学意义的表达才更具一般性．

2.1.2 逻辑推理

逻辑推理是从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．逻辑推理包括两类，第一类是由特殊出发的合情推理，推理形式有归纳和类比，归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理．高中数学的归纳推理主要表现为完全归纳，具有整体性，需要验证研究对象的每一个个体，是一种用有限表示无限的思维．类比推理是根据两个或两类事物具有相同或相似的属性，利用已知领域某些对象的相似特征的一致性构建其它的一致性，例如式与数的类比、立体与平面的类比、多维与一维的类比、无限与有限的类比．合情推理是从经验过的东西推断未曾经验过的东西，用于发现猜想；第二类是由一般到特殊的演绎推理，演绎推理需要前提，大前提是基础，通常为一般性的原理，小前提是桥梁，包含于大前提之内，结论是在小前提下产生的，只要大前提正确，逻辑规则无误，得到的结论便是真实的[7]，因此，演绎推理是收敛性的证明方式，用于验证猜想．数学具有两大历史渊源：一是以古希腊数学为代表的演绎体系；二是以古代中国数学为代表的归纳体系．正如波利亚指出的：“数学具有两个面……以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学．”[8]逻辑推理是数学理性思维的主要形式，旨在发现与论证数学命题，逻辑推理的意义不仅在于保证数学命题的正确性并具有充分的说服力，还揭示了各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，从而实现数学的公理化．

2.1.3 数学建模

数学建模是对现实问题进行数学化处理，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．数学建模是联系数学世界与现实世界之间的桥梁，完整的数学建模过程包括3个阶段，第一个阶段是建模阶段，这个阶段通过利用数学的眼光发现问题，借助数学思维对问题进行分析，通过数学语言对问题进行表达，构建数学模型，实现从现实世界到数学世界的过渡；第二个阶段是求解阶段，这个阶段主要是利用数学知识与技能对模型求解，得到结果；第三个阶段是调试阶段，这个阶段是通过对模型的反思、调整和改进，验证数学结论与实际问题的契合程度．数学建模是在深入调查研究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，将数学应用于数学之外的情境，通过构建数学模型，运用数学思想、方法和知识解决实际问题的基本手段，体现了数学的创新意识与应用意识．数学建模不仅有利于激发学生学习数学的积极性，而且有利于推动数学发展的动力．

2.1.4 直观想象

直观想象是借助几何直观与空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题的过程．直观想象包括几何直观与空间想象两个层面的内容，几何直观是通过图形生动性与形象性来直观清晰地描述与分析数学问题，实现抽象思维与形象思维之间的转换，将某些复杂的数学问题简单化．例如高中数学中用图形解决集合问题、最值问题、交点个数问题、数列问题等，通过建立数与形之间的联系，构建数学问题的直观模型，有助于把握数学问题的本质，从而找到问题的切入点，探索问题解决的思路，使问题得以解决；三维空间是人类生存的现实空间，因此，认识空间图形，培养和发展学生空间想象能力是非常必要的．高中数学中空间想象包括3个方面内容：第一，掌握描述空间图形的符号语言；第二，掌握空间图形与直观图形之间的相互转化；第三，能够对空间几何体进行分解与组合，并分析新几何体的数量和位置关系．总而言之，直观想象是对事物本质和发展规律的认知和理解，是建立数学直觉的基本途径．

2.1.5 数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．数学运算是数学活动的基本形式，也可以将其视为演绎推理的特殊情况，是获得数学结果的重要手段．在科学与计算机技术迅猛发展的今天，数学运算的重要地位与作用日益得到凸显，已经成为日常生活的必备素养，是学生学习数学的前提与基础．数学运算是借助运算进行的数学思考，作为半独立的数学力量，数学运算不受数学家个人意图的控制，而是由公式本身规律推动其前进，数学运算往往能够强行推出新概念和新运算．对于数学运算的理解关键在于对通性通法的理解．数学运算作为数学抽象结构的基本要素，不仅能够使学生的思维更加条理化、清晰化，还能培养学生的意志力与创新能力．

2.1.6 数据分析

数据分析是针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程．数据分析是统计学中的重要内容，它可以为人们制定决策提供依据．如果说描述确定性现象的数学培养的是学生确定性思维，那么统计与概率就是通过找出客观事物的统计规律性与随机现象中的客观规律性，来培养学生的随机思维和因果推断思维．因此，在对某一对象进行研究时所收集的数据具有一定的随机性，也正是因为数据本身具有随机性，人们才能够通过数据整理，提取有用的信息，进而从中获得规律性的结论．在如今的大数据时代，人们所提及的数据不仅包括通过记录、调查和试验获得的数据，还包括通过互联网、文本、声音、图像、视频等数字化得到的数据．数据分析作为数学应用的主要方法，也是学生的必备素养，其应用已经深入到社会生活和数学研究领域的各个方面．

2.2 高中数学核心素养与“四基”的关系

高中数学核心素养比数学基本技能的范畴更加广泛，比数学基础知识更加上位，体现的是数学基本思想，数学核心素养形成的前提是数学基本活动经验的不断积累．如图1所示，从本质上看，数学基本技能是对学生的共性要求，这个共性要求首先是以结论或答案的正确为重点，正确的基础之上再考虑合理性；从功能上看，数学基本技能的关键功能在于经过数学思考，寻求方法完成数学任务．当然，每个学生技能水平的高低与自身差异和任务的难度有关．数学基础知识是数学概念、公理、原理、公式、命题的知识集合，是由理论、方法、问题和符号语言等多种成分组成的复合体，每一个数学核心素养都涵盖了数学知识，而数学运算核心素养与数据分析核心素养集中体现了数学基本技能．高中数学核心素养超越了数学教育中长期以来的数学知识与数学技能二元对立的思维方式，是基于“双基”又高于“双基”的．数学核心素养以数学基础知识和基本技能为载体，培养学生数学综合能力（外显表现），引导学生形成数学思维与数学态度（内隐特质）．

高中数学核心素养蕴含着数学基本思想，史宁中教授指出数学学科发展所依赖的思想在本质上有3个：抽象、推理、模型．而这3个数学基本思想恰恰体现了高中数学课程中的3个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模．数学抽象保证数学从现实世界进入数学世界，逻辑推理保证数学自身公理化体系的不断发展与完备，数学建模保证数学从数学世界回归现实世界[9]．如果说“双基”指向结果性目标，那么数学基本活动经验就指向与过程性目标，主要包括实践的经验和思维的经验，数学的实践一般包括两种：动手参与的实践与大脑参与的实践，所以实践的经验形成源于对日常生活中问题的解决；而思维的经验主要是指演绎思维经验与归纳思维经验．无论是实践的经验还是思维的经验，都具有内隐性，二者与数学核心素养一样，都是形成于教学活动之中．高中数学核心素养伴随着学生基本活动经验的积累而不断提升，数学基本活动经验之目的在于培养学生数学核心素养，例如直观想象中就体现着学生从具体到抽象的活动经验，逻辑推理体现了学生从感性到理性的活动经验．

图1 数学核心素养与“四基”关系

3 高中数学核心素养生成路径的探索

3.1 依靠数学抽象过程生成数学抽象核心素养

数学抽象主要包括数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出来的数学概念及其之间的相互关系．函数是高中数学核心内容，高中的数学抽象主要集中体现在函数概念形成过程上，因此可以借助函数这一抽象概念，培养学生感悟数学抽象的不同层次，引导学生生成数学抽象核心素养．函数最早源于人们对动点轨迹的探索，变量的引入实现了函数第一次抽象，这时的函数概念还具有一定的描述性；当人们很少限制函数表达式，而转向采用对应来定义函数就实现了函数第二次抽象，这时的函数概念不再是对一个过程的描述，法则的引入使函数脱离了图像、表格、表达式的具体表现形式，依赖于集合的对应使函数更加抽象；碍于对应法则的模糊不清，布尔巴基学派开始采用关系来定义函数时，这实现了函数的第三次抽象，这时函数的概念最为抽象，函数概念不需要对应法则而成为一种关系．函数概念的3次抽象是数学从几何观念到代数观念，再到对应观念的发展过程．数学抽象需要学生积累从具体到抽象的数学活动经验，通过对概念、命题、定理的理解，把握事物的数学本质属性，逐步形成一般性思考问题的方法．

3.2 凭借数学理性思维生成逻辑推理核心素养

逻辑推理主要包括合情推理与演绎推理两种推理形式，对于逻辑推理核心素养的生成关键在于培养学生清晰的、有条理的、合乎逻辑的理性思维品质．所谓数学理性思维是指通过观察、体验、经历及内化等过程逐步形成理性的思考问题、分析问题、解决问题的思维方法和价值观[10]，理性有两个方面的意义：一是指属于判断、推理等活动的理性认识；二是指从理智上控制行为的能力．无论是对判断、推理等活动的理性认识，还是理智上控制行为的能力，都与逻辑推理密不可分．

图2 合情推理的推理模式

3.3 利用数学综合实践生成数学建模核心素养

数学建模包括在实际情境中从数学视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题，如图3所示，数学建模是从现实世界抽象出数学问题，进入数学世界，再通过解决数学问题，最终回归现实世界的过程．数学综合实践包含两个层面，一是理解数学内容在知识、问题和方法上的联系，综合运用数学知识和方法解决数学问题；另一个是数学内容与现实问题的综合，利用数学知识和方法解决现实问题．在数学建模过程中，蕴含着综合实践的两个层面，在数学模型求解过程中涉及综合实践的第一个层面，在构建数学模型与数学模型还原过程中涉及综合实践第二层面．在高中数学中，数学综合实践更多通过应用题的形式展开，以实际生活为背景，实现数学知识生活化与实际问题数学化的结合．Mayer曾经提出数学问题解决的两个重要成分：问题表征和解决计划的执行[12]．因此在数学建模核心素养生成过程中，关键在于通过综合实践的两个层次的训练，培养学生用数学的眼光发现问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题．

图3 数学模型解决现实问题结构

3.4 通过数学问题解决生成直观想象核心素养

直观想象包括借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象集中体现在利用几何直观与空间想象解决数学问题，因此，要在数学问题的解决过程中，将问题表征、图式构建与学生思维有机结合，从而生成直观想象核心素养．对于几何直观而言，建立形与数的联系是几何直观的内核，以此为基础培养学生数形结合思想方法在问题解决过程中的应用．高中数学中体现数与形结合的核心知识包括函数与方程、向量、解析几何，以函数为例，函数的单调性中蕴含着函数的形态变化与规律，函数的奇偶性展现了图象的对称关系，除此之外，函数还可以作为研究曲线与方程的直观模型．例如，可以借助函数图象研究切线与导数的关系，借助函数零点解决方程的近似根问题，等等，利用“形”的方法处理解析几何中的代数问题往往会使抽象、复杂的问题形象化、简单化，这些都可以培养学生的几何直观；对于空间想象，可以从向量的视角分析立体几何的相关问题，利用向量解释空间图形的运动变换与位置关系，利用三视图描述二维与三维之间的联系，形成新的问题解决思路，培养学生的空间想象，由此在问题解决过程中增强学生运用图形和空间想象思考问题的意识，促进直观想象核心素养的形成[13-18]．

3.5 借助数学算法算理生成数学运算核心素养

3.6 依赖数学统计思维生成数据分析核心素养

数据分析主要包括收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，进而获得结论．如果说数学能够告诉人们完美准确的答案，那么统计思维就是为人们提供可能的想象空间．在数据分析中所产生的数据具有随机性，统计思维就是机率控制、减少、预测资料的变异，可见，依赖数学统计思维可以养成数据分析核心素养．统计思维是在收集数据、从数据中提取信息、论证结果的可靠性过程中表现出来的一种思维模式．在高中数学中有很多蕴含统计思维的典型案例，例如普通高中数学课程必修3中涉及的“一个著名的案例”、“城市居民月用水量”、“人体的脂肪百分比与年龄之间的关系”，在选修2-3中涉及的“人的体重与身高的关系”、“新药是否有效”、“肺癌与吸烟有关吗”等，需要充分利用这些案例，提升学生的统计思维．数据分析表现为3个层面，一是对数据本身的意识与感悟，学生要了解生活中有许多问题应当先进行调查，在收集与分析数据之后做出合理推断，在这一过程中学生能够体会数据中蕴含着信息；二是对数据处理方法的意识和感悟，了解同样的数据可以有多种分析方法，要根据不同的情境选择合适的方法进行分析；三是对现实现象随机性的意识和感悟，通过数据分析体验随机性．意识到对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，但只要有足够的数据就可以从中发现规律，利用样本的数据估计总体，利用独立性检验进行推测诊断．数据的随机性表现在两个方面，一方面是对于同样的试验，每次收集到的数据可能不同，另一方面，只要有足够的数据还是能够从中发现规律，例如频率与概率．通过让学生经历数据收集、整理，信息提取、分析的过程，借助数据中所蕴含的信息做出决策和推断，感受数据产生的随机性与预测性，建立“用数据说话”的观念和意识，进而逐渐养成数据分析核心素养．

[1] 林崇德．21世纪学生发展核心素养研究[M]．北京：北京师范大学出版社，2016：2-3．

[2] 谢翌，马云鹏，张治平．新中国真的发生了八次课程改革吗[J]．教育研究，2013，34（2）：125-146．

[3] 朱立明．基于深化课程改革的数学核心素养体系构建[J]．中国教育学刊，2016（5）：76-80．

[4] 郑毓信．数学教育视角下的“核心素养”[J]．数学教育学报，2016，25（3）：1-3．

[5] 史宁中．推进基于学科核心素养的教学改革[J]．中小学管理，2015（10）：19-21．

[6] 洪燕君，周九诗，王尚志，等．《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询——访谈张奠宙先生[J]．数学教育学报，2015，24（6）：35-39．

[7] 朱立明，马云鹏．基于新课标的学生数学价值感悟研究[J]．数学教育学报，2014，23（5）：33-35．

[8] 波利亚G．怎样解题[M]．上海：上海科技教育出版社，2002：序．

[9] 史宁中．数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M]．长春：东北师范大学出版社，2008：1．

[10] 李艺，钟柏昌．谈“核心素养”[J]．教育研究，2015，36（9）：17-23．

[11] 外尔·赫尔曼．数学与自然科学之哲学[M]．齐民友，译．上海：上海科技教育出版社，2007：195．

[12] 辛自强．数学应用题解决研究的理论进展——兼论表征复杂性模型[J]．宁波大学学报（教育科学版），2004（5）：13-18．

[13] 王光明，卫倩平，赵成志．核心素养视角下的跨学科能力测评研究[J]．中国教育学刊，2017（7）：24-29．

[14] 曹一鸣，于国文．中学数学课堂教学行为关键性层级研究[J]．数学教育学报，2017，26（1）：1-6．

[15] 喻平．数学核心素养评价的一个框架[J]．数学教育学报，2017，26（2）：19-23．

[16] 常磊，鲍建生．情境视角下的数学核心素养[J]．数学教育学报，2017，26（2）：24-26．

[17] 李昌官．数学抽象及其教学[J]．数学教育学报，2017，26（4）：61-64．

[18] 王娅婷，毛秀珍．数学素养的测量及评价[J]．数学教育学报，2017，26（3）：73-75．

Understanding and Generating Paths of Core Mathematics Competencies——Take Mathematics Curriculum in High School as an Example

ZHU Li-ming1, HU Hong-qiang2, MA Yun-peng3

(1. Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China;2. Yili Normal University Faculty of Humanities, Xinjiang Yining 835000, China;3. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China)

Mathematical core competencies was the new direction of the reform of new mathematics curriculum , and had become the training goal of mathematics education. With the six dimensions in mathematics core competencies in the high school curriculum would be comprehended: mathematical abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, intuitive imagination, mathematical operation, and data analysis. After that the generating paths of mathematics core literacy would be elicited: (1) create the mathematical abstract core competency through mathematical abstract process; (2) improve mathematical rational thinking and cultivate logical reasoning core competency; (3) generate mathematical modeling core competency through math comprehensive practice; (4) promote intuitive imagination core competency through mathematical problem solving; (5) drive core mathematical operation core competency with the aid of mathematical algorithm and rules; (6) attach great importance to mathematical statistical thinking and form data analysis core competency.

high school mathematics curriculum; core mathematics competencies; dimension comprehension; generating paths

[责任编校：周学智]

2017–11–09

唐山师范学院博士科研基金项目——义务教育阶段学生数学核心素养评价与培养实证研究（2018A15）

朱立明（1986—），男，满族，河北承德人，讲师，博士，主要从事数学课程与教学论研究．

G632

A

1004–9894（2018）01–0042–05

朱立明，胡洪强，马云鹏．数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J]．数学教育学报，2018，27（1）：42-46．