数学文化在大学数学课程中的应用——以“全国高校青年教师教学竞赛”获奖作品为例

高雪芬



数学文化在大学数学课程中的应用——以“全国高校青年教师教学竞赛”获奖作品为例

高雪芬

（浙江理工大学 理学院数学科学系，浙江 杭州 310018）

以第二、三届“全国高校青年教师教学竞赛”总决赛数学课程获奖作品为样本，采用录像分析法，研究数学文化在大学数学课程中的应用：获奖作品中包含哪些数学文化内容？教师又是如何运用这些内容的？研究表明，两届比赛中分别有75%和85%的选手采用了数学文化案例．案例内容分布不均衡，主要集中在生活、科技、数学史3个方面，大多运用于引入和小结环节，运用层次不高．数学文化案例内容广泛、与时俱进、深入讲解、首尾呼应的课程更容易获得评委的青睐．建议教师在应用数学文化时注意内容的广度、融入的深度及教学设计的与时俱进．

数学文化；教学竞赛；获奖作品；大学数学

“全国高校青年教师教学竞赛”[1]（以下简称为竞赛）是由中国教科文卫体工会与教育部教师工作司联合主办的全国性竞赛，分为人文社会科学、自然科学基础学科、自然科学应用学科3个组，每个省份每个组每届只能选派一名教师参加总决赛，选手代表了中国高校青年教师教学的最高水平，为教学以及教学研究提供了宝贵的资源．尽管竞赛规模盛大，但目前对竞赛的研究不多，已有文献多为新闻报道[1]及选手的感悟总结[2-3]．以决赛作品中的数学文化为切入点，试图回答如下问题：获奖作品中包含哪些数学文化内容？教师又是如何运用这些内容的？运用效果如何？

1 研究方法与过程

1.1 竞赛概况与样本选取

竞赛从2012年至今已举办了三届，秉承“上好一门课”的办赛理念，除第一届是每个选手只需准备一节参赛内容外，第二、三届选手均需在报名前选定一门参赛课程，并完成该课程的20个学时的教学设计和与之相对应的20个教学节段的课件，比赛当天，选手现场抽签确定本人参赛的具体教学节段，竞赛内容含教学设计（15分）、现场授课（80分）和教学反思（5分）．因第一届赛制与第二、三届差别很大，故研究主要以2014年的第二届与2016年第三届竞赛中“自然科学基础学科”组内数学教师的全部参赛视频为样本，第二届该组32位选手中有8位数学教师，第三届31位选手中有13位数学教师，故共有21节竞赛教学录像，录像的信息如表1所示．

为便于分析，隐去教师姓名，代之以编号，其中左边第一位数字表示届数，后面的数字表示教师在该届比赛中的名次，如“2.3”表示第二届的第三名．这些视频样本一方面代表了全国青年教师的最高水平，另一方面，因课例是比赛现场从20个参赛内容中随机抽取讲授的，故所抽课例基本上代表该选手整个课程的水平．

表1 样本基本信息

1.2 研究方法

主要采用录像分析的方法[4]，首先截割录像片段并记载不同内容的教学时间，然后从数学文化内容、教学环节及融入层次方面进行编码．

将数学文化内容分为4类[5-6]，即数学史、数学与现实生活、数学与科学技术、数学与人文艺术．数学史又分为显性数学史和隐性数学史两部分，显性数学史包括数学家肖像、数学家生平简介、数学史事件、概念、公式、定理的历史、历史名题等内容，而隐性数学史包括根据数学史改编或基于历史材料编制的数学问题以及借鉴、重构历史顺序的概念发生发展过程．数学与现实生活可细分为6类：日常生活、学校生活、社会生活、娱乐生活、经济生活、职业生活．数学与科学技术[7]分为生物科学、地球科学、物质科学、高新技术；数学与人文艺术根据艺术形式的不同，可分为4类:人文、美术、音乐和建筑．结合数学教学的特点，将教学环节分为5部分：导入、讲授新课、例题与课堂练习、小结、作业．数学文化的融入层次分为4类：无解释、用自然语言解释、用数学表达式解释以及作为例题和习题讲授．

2 研究结果

2.1 数学文化的内容分析

21位教师中有17位运用了数学文化，共采用了75个数学文化案例，这些案例的类别如图1，图中的数字表示该类案例的个数．

图1 数学文化的内容分布

数学史方面，共有8位教师使用了数学史案例，且多为显性数学史，说明使用数学史的教师比例不高，而且很少根据数学史编制数学问题或重构概念发生过程．数学与现实生活案例有35个，占总案例数的47%，而其中尤以社会生活问题最多，有12个，如近防炮问题、质检员抽检问题等，有意思的是，虽然社会生活的案例最多，但是采用该类案例的教师却比较集中，只有5位教师，且4位为概率论与数理统计教师，1位为高等数学教师，说明案例选取与所教课程的历史、教学内容密切相关．日常生活的案例虽然只有9个，却来自于8位教师，含概率论与数理统计、高等数学、线性代数3门课程的教师；娱乐生活案例来自4位教师，经济生活3位．在数学与科学技术方面，高新技术和物质科学的案例来自于6位教师，地球科学的7个案例来自于4位教师、生物科学2位，说明教师比较注重与计算机网络技术、航空航天技术等高新技术结合，另一方面，由于历史的原因，大学数学，尤其是高等数学与物理密不可分，所以课例中也有很多物理案例．第二届中有2位教师用到了数学与人文艺术方面的内容，其中1位是用曹冲称象引入微元法，1位是在小结部分提到数学与音乐的联系．而第三届中只有1位讲微积分绪论的教师提到了人文、美术、建筑3方面的例子，说明在日常数学教学中数学与人文案例不多．此外，所有选手都没有采用学校生活、职业生活的案例，这一方面因为基础教育教材中此类内容就较少[5]，另一方因为中国目前的大学数学教材基本还是通用型为主，很少有针对各专业的教材．

2.2 数学文化的教学环节分析

先将数学文化的内容时间段截取出来，再对其教学环节进行编码，数学文化的时间分布如图2、图3，其中纵轴是时间（单位：秒），由于比赛时间为20分钟，所以视频的长度多集中在1 200秒附近，横轴上的数字表示其在当年参赛数学教师中的比赛排名，例如图1中的第一个柱状图表示第二届比赛中数学教师中的第一名（整个自然科学组的第三名，即编号2.3，参照表1）．由图可知，在引入部分运用数学文化的教师共有17位，即所有采用数学文化的教师全部在引用环节运用了数学文化，8位教师在小结环节、例题环节使用数学文化，此外，讲授新课环节有6位、作业环节有3位，说明数学文化内容主要集中在引入与小结部分，即运用数学文化的方式为点缀式、附加式[6]，即使去掉也并不影响教学的主要内容，而在例题、讲授及作业方面运用得较少．

图2 第二届作品中数学文化的教学环节分布

图3 第三届作品中数学文化的教学环节分布

从图2、图3对比来看，第二届作品的数学文化分布环节较广泛，而第三届则以分布在引入环节和小结环节为主，这说明虽然教师们意识到数学文化的重要性，但限于个人功底和时间等因素，一时难以找到更深入的融入方法，只是作为附加式、点缀式加到作品上面，起不到更好的效果．另一方面，虽然第三届使用数学文化的作品更多，但是第二届的选手在数学文化部分占课程时间的总百分比（23%）略高于第三届（20%）．

2.3 数学文化的运用层次分析

数学文化的运用层次如图4所示．

图中横轴的1—4分别表示运用的4个层次，即无解释、用自然语言解释、用数学表达式解释以及作为例题和习题讲授，纵轴的数字表示达到该层次的作品数．其中，用自然语言解释指用生活中的语言来描述数学文化案例，用数学表达式解释是指教师在黑板上或课件中给出了该案例的数学表达式，作为例题和习题指的是把该案例作为授课中的例题或者习题来详细阐述．

在第二届中，6个采用数学文化的教师有5位达到了例题习题层次，而第三届中只有4位教师达到了例题习题层次，其余大部分教师都止步于用自然语言解释阶段．这说明虽然大家运用数学文化的积极性比较高，但是运用层次还处于较低水平．注意到第三届中获得一等奖的两位教师都采用了例题的形式，所以建议在数学课程中运用数学文化内容应具有一定的深度，并与具体的数学内容结合，最好采用例题的形式深入求解剖析，而不是泛泛而谈．

图4 数学文化的运用层次

3 典型案例分析

同课异构指的是相同的课程内容，由不同的教师根据不同的教学设计进行讲授的课，课程的结构和教学方法、教学策略都不尽相同．在两届21个选手中，只有2.23和3.1两位选手的参赛内容相同，说明这种现场抽取教学节段的方法，避免了教师都选相似的、相对来说容易讲的内容，而使选手的备课内容几乎涵盖了整门课程．

2.23和3.1两位选手的教学内容均为“事件的独立性”，但由于教学设计不同，最后的名次也相去甚远．在问题引入环节，2.23首先对条件概率进行回顾，在1:18处用教学竞赛中不同选手正常发挥的案例来引入事件独立性，继而讲授事件独立的定义性质，8:45处讲授现实问题，即打靶演习．而3.1直接由近防炮引入，提出“若系统同时发射100发子弹，求至少命中一发的概率”问题，引出事件独立性的主题．就这两个实际问题而言，打靶演习虽然也是一个数学文化问题，但相对于近防炮来说，未免有些“老化”．3.1紧接着在3:00处由掷骰子问题引出两个事件相互独立的定义和性质，并在6:55处详细讲解了随机取牌问题．2.23虽然在13:20讲到了与随机取牌类似的抽卡片问题，但3.1用PPT把学生熟悉的扑克牌直观地展示出来，无疑比2.23仅用板书推导卡片问题更能吸引学生的注意力．3.1在11:50—12:30处集中列举了事件独立性可由事件的实际意义判断的一系列问题：抛硬币、质检员抽检、奥运比赛中的射击、评委打分等问题，接着于14:00处再回头解决最开始的近防炮问题及该问题的变式：“为确保以0.99的概率击中导弹，至少要发射多少发子弹”，并用MATLAB模拟射击导弹的命中率问题．在收尾处18:35—19:55再度回应中国近防炮的近况，描述“辽宁号”航空母舰的发展，用2个思考题结束课程：1个为数学问题“如何理解小概率事件在大量重复独立事件中几乎一定发生”，1个是数学文化问题“事件独立性在计算机网络和系统安全中的应用”．另一方面，2.23在讲授完卡片问题后，时间安排已经比较紧了，在19:45—20:10只能简单提到4个元件所构成的系统正常工作的概率问题，在20:30匆忙介绍了破译密码（习题）问题，结束课程．

3.1作为第三届竞赛的第一名无疑是运用数学文化最成功的一位，她的教学在数学文化及纯数学内容间来去自如，已难以将其中的数学文化内容剥离．总结起来，她的课有以下几个特点：（1）与时俱进．打靶练习是概率论中的经典问题，而3.1将这个问题改编为现代军事中的热门话题“近防炮的命中率”，并在小结部分介绍了中国近防炮的世界领先地位，内容贴近生活，与时俱进，有利于激发学生的爱国热情和学习兴趣．（2）内容广泛．在数学文化的内容分布上，她覆盖了两大类3小类：社会生活、娱乐生活与高新技术，案例选取与她的参赛课程《概率论与数理统计》的特点有关，因为该课程起源于人们的娱乐生活和社会生活．（3）首尾呼应．在教学环节方面，她是两届比赛中唯一一位在5个环节中都使用数学文化的教师，近防炮问题在多个环节中反复出现，使数学文化内容在不同教学环节间呼应，而不是点缀式地放在一头一尾．（4）详略得当，深入浅出．在运用层次上，她覆盖了4个层次，其中近防炮问题和随机取牌问题作为例题详解，掷骰子问题是用数学表达式解释，小结处近防炮的发射原理“万箭齐发”为用自然语言解释，质检员抽检等5个问题为无解释．她是唯一一位涵盖所有运用层次的选手，是数学文化应用得最全面，最自然而且有深度的选手．

4 结论与启示

基于对两届比赛教学视频的分析，可以得出以下结论：

第一，数学文化在竞赛中得到了广泛的应用，并且具有越来越受重视的趋势，两届比赛中分别有75%和85%的选手都采用了数学文化案例．

第二，数学文化分布不均衡．从内容分布上看，主要集中在生活、科技、数学史3方面，而尤以日常生活、高新技术、物质科学居多，这是由于日常生活的案例更易使学生产生亲近感，而高新技术体现了大学的学术性和时代感，物质科学则与数学的产生发展密不可分．在数学史方面，主要集中在显性数学史，很少有隐性数学史的案例，因为隐性数学史案例需要作者有较深的数学史功底，同时还要有足够的热情去实施，相对来说更难．在数学与人文艺术方面最少，这也和数学课程本身特点有关．

第三，从两届比赛中可以看出运用数学文化的教师越来越多，但是层次却在降低．比如，第三届选手在教学环节上，主要集中于引入和小结环节，在例题、讲授、习题环节运用的不多；在运用层次方面，多集中在比较浅的、无数学表达式的层次，用例题详细解析的不多．这说明越来越多的人意识到数学文化在数学课程中的重要性，但是也有很多人停留在“为数学文化而文化”的层次．

第四，通过整体的样本统计及典型课例分析，发现运用数学文化越多的，尤其是在例题环节使用数学文化从而能深入讨论的课程，同一个案例在多个教学环节间呼应的，越容易受到评委的青睐．这一点在第三届作品中表现尤为突出．3.1的教学内容在纯数学内容与数学文化之间来去自如，已难以将两者清晰划分，而3.26、3.27两位教师的作品中没有数学文化的内容，内容略显枯燥平淡，位居该组数学教师中的最后两名．但是另一方面，数学文化的内容也并非越多越好，数学文化的本质是为数学核心内容服务的，多而泛地流于表面而失去了数学教学应有的深度则往往适得其反．应加强深入、有效的数学文化融入．

总之，教学竞赛作为一种示范和引导，说明了数学文化融入大学数学课程的重要性和可行性．数学文化融入数学课程，还应注意广度、深度与时效性，需“用心”进行教学设计，从点缀式、附加式到顺应式、重构式，从锦上添花到水乳交融、浑然一体．

[1] 陈馨达．庆祝教师节，第二届全国高校青年教师教学竞赛在武汉举行[J]．工会信息，2014（27）：2．

[2] 郑春燕．什么是好的大学课程——第二届全国高校青年教师教学竞赛之后的感悟[J]．中国大学教学，2015（6）：93-96．

[3] 程晏蓓，赵艳霞，戚亚娟．从教学竞赛到课堂教学——以《大学物理》为例[J]．南昌师范学院学报，2015，36（6）：17-19．

[4] 何光峰，李美娟．TIMSS数学录像课研究及其借鉴意义[J]．数学教育学报，2016，25（5）：88-91．

[5] 王建磐，汪晓勤，洪燕君．中、法、美高中数学教科书中的数学文化比较研究[J]．教育发展研究，2015（20）：28-32．

[6] 沈春辉，柳笛，汪晓勤．文化视角下“中新美法”四国高中数学教材中“简单几何体”的研究[J]．数学教育学报，2013，22（4）：30-33．

[7] OECD. PISA 2012 assessment and analytical framework: mathematics, reading, science, problem solving and financial [M]. OECD Publishing, 2013: 110.

Study on Mathematical Culture in College Mathematics Courses ——Take the National Teaching Competition for College Young Teachers as Examples

GAO Xue-fen

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Zhejiang Hangzhou 310018, China)

Taking the lessons in the finals of 2nd and 3rd National Teaching Competition for College Young Teachers as samples, we applied the method of videos analysis to study the properties of mathematical culture content: What fields were the mathematical culture contents in? How were the culture contents applied in the lessons? The study showed that the mathematical culture had been widely used in the competition, the contents of the case were mainly concentrated in the life, science, technology and the history of mathematics. The cases were mostly applied to the introductions and summaries but the levels were not high. The lessons, which contained mathematical culture cases widely, frequently, deeply and keeping pace with the times, obtain the favor of the judges. It was suggested that teachers should pay attention to the scope of content, the depth of integration and the time of the examples.

teaching competition; mathematical culture; award-winning works; mathematics courses

[责任编校：周学智]

2017–10–26

高等学校大学数学教学研究与发展中心项目——在大学数学课程中培养学生创新思维和创新能力的案例研究（CMC20160409）；浙江省一流学科——浙江财经大学统计学（Z0111116008/048）；浙江理工大学科研启动基金项目——大学与高中数学教育衔接问题研究（14062014-Y）；浙江理工大学“应用数学全英文授课课程群”（QYKC1512）

高雪芬（1976—），女，黑龙江北安人，副教授，博士，主要从事大学数学教育研究．

G642

A

1004–9894（2018）01–0072–04

高雪芬．数学文化在大学数学课程中的应用——以“全国高校青年教师教学竞赛”获奖作品为例[J]．数学教育学报，2018，27（1）：72-75．