探究教学的设计与改进——以“面积与周长的关系”教学为例

俞宏毓，朱向阳，顾泠沅



探究教学的设计与改进——以“面积与周长的关系”教学为例

俞宏毓1，朱向阳2，顾泠沅3

（1．绍兴文理学院 数理信息学院，浙江 绍兴 312000； 2．义乌市实验小学，浙江 义乌 322000；3．上海市教育科学研究院，上海 201700）

“面积与周长”问题是受中西方数学教育界普遍关注的小学数学教学主题之一．2015年底，以“面积与周长的关系”为教学主题，在义乌市某镇某小学进行了探究性教学的改进实验．“面积与周长的关系”是通过学生的探究活动，使学生区分图形的周长和面积，并初步认识等周图形．《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》都强调了探究教学的重要性，但实施过程中发现，很多探究教学是存在问题的．该次探究教学，经历了行动教育模式的3次教学及改进，到第三次课真正实现了教师恰当引导下的探究．

引导；面积与周长；探究

1 引言

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》曾指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》又进一步强调，教师要“处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流”[2]．为顺应课程改革的潮流，很多学校和教师积极实施探究教学．实践过程中发现，有些所谓的探究教学是存在问题的，有些教师设计不好探究教学．比如有的探究教学流于形式，名为学生探究，实则教师包办[3]；有的探究教学教师过分强调学生自主探究，没有发挥有效的引导作用，导致学生探究误入歧途．

为进一步研究如何更好地实施探究教学，选取小学数学中的一个教学主题“面积与周长的关系”，开展了教学实验．

小学数学中，“面积与周长”问题是受中西方数学教育界普遍关注的教学主题之一．马立平博士的《小学数学的掌握和教学》（）一书中研究的4个教学主题中有一个就是“周长与面积”．2011年初，顾泠沅教授和美国密歇根州立大学的Lynn Paine教授开始合作进行教师发展指导者项目的研究．在商量教学主题时，双方提出的4个教学主题不约而同，分别为：退位减法、面积与周长、进位加法和分数除法．2012年下半年，在顾泠沅教授的主持下，上海市某教师进修学院的科研员和教研员、上海市某实验小学的数学教师，以“长方形、正方形的面积与周长”为教学主题，进行了教学研究活动，成功实现了从周长教学到面积教学的迁移[4]．

关于“面积与周长”问题，教学中一般存在的问题是就事论事，只强调周长和面积公式的具体形式，没有让学生弄明白图形的周长与面积的概念和运算的本质，这种建立在机械记忆基础上的教学往往导致学生混淆周长和面积公式的现象出现[5]．关于面积和周长，不管是在学习周长和面积时还是在生活实际中，人们都往往会产生“图形周长大面积也一定大”的错觉，因此有的教材设计了区分面积和周长的内容．

教学实验于2015年12月在义乌市某镇某小学开展，前后持续了两周的时间．这里介绍该实验的过程、设计思路、获得的结果，并阐述有关结论．

2 研究方法与设计思路

2.1 参与人员与研究对象

义乌市某镇某小学是一所有着一百多年历史的小学，学校有3个校区，70个班级，3 200名师生．2015年底，作者和该小学的校长ZXY以及WXJ等数学教师进行了持续两周的教学研究活动．作者和ZXY担任这次教研活动的教师发展指导者[5]，ZXY是浙江省著名特级教师，职称为中学高级．执教教师有两位，一位是有6年教龄的经验教师JLN，一位是只有两年教龄的职初教师FHF．执教班级是四年级6个平行班，各班学生基础相当．

2.2 研究材料

执教内容是上海教育出版社出版的小学三年级下册的“长方形、正方形的周长”第三部分“小探究”和“数学广场——谁围出的面积最大”．“小探究”是让学生用12根火柴棒围各种不同的图形，比较谁的面积大．目的是让学生通过围图形得出周长相等时，面积不一定相等，其中不凹的图形（凸图形）面积较大．“数学广角——谁围出的面积最大”是通过让学生用20根火柴围出不同形状的长方形，得出周长相等的长方形中正方形面积最大的结论．义乌市的小学用的是北师大出版社的教材，学生在三年级已经学习过长方形、正方形的周长和面积．

2.3 设计思路与研究过程

教材的这两部分内容可以使学生进一步区分面积与周长，并对等周问题有初步的认识．根据顾泠沅教授的“小学数学教学中存在太多的浪费”和“探究需要恰当的引导”的观点[3]，研究将两部分内容并到一节课中教学，并将教材的让学生摆火柴棒操作改进为在虚线方格纸上画图形，同时加强对学生探究的引导．

研究活动采用的是顾泠沅教授的行动教育模式[6]，两位教师分别进行了3次课的执教．第一次是教师的原生态教学．第一次课后，教师发展指导者向两位执教教师介绍了设计的思路，和教师讨论确定第二次课的教学设计，然后进行第二次教学．第二次课后，基于课堂观察的结果，根据设计与现实的差距，进一步进行了研讨、改进，最后是第三次教学．3次课堂教学及课后研讨会议都进行了全程录像，收集了3次课学生的课堂作业纸．

下面结合课堂观察、课堂教学和研讨会议录像带分析以及学生课堂作业纸的分析，展示研究的进程及结果．

3 研究结果

经验教师JLN改进前后的3次课变化很大，第三次课真正实现了教师引导下的探究，3次课体现了教师对探究教学逐步把握的过程．职初教师FHF经历3轮课的改进，在对教学内容的把握、教学环节的处理等各方面都有一定的变化．以经验教师JLN为例，分析3次课教学理念及行为的变化．

3.1 经验教师3次课的变化

对经验教师3次课进行录像带分析发现，如表1和表2所示，经验教师3次课不仅主要教学环节及用时产生了很大变化，具体教学行为也发生了变化．

表1 经验教师3次课主要教学内容用时

表2 经验教师3次课教学行为变化

第一次课，教师没有完全领会教材和教师发展指导者的设计意图，教学主要研究长方形的长和宽变化时周长和面积的大小关系，教学没有涉及图形凹凸问题．教学中缺乏数形结合，要求学生由数据分别写出面积相同周长不同的长方形的长、宽和周长以及周长相同面积不同的长方形的长、宽和面积，而且教学重心放在前者上，学生完全由代数运算得出结果，两个结论“面积相等的长方形，长与宽差距越大，周长越大；长与宽差距越小，周长也越小”和“周长相等的长方形，长与宽差距越大，面积越小；长与宽差距越小，面积越大”不是由学生探究得出，完全由教师一步步给出．

第二次课经验教师下足了功夫，但是在探究引导的程度上把握不够好．第一个环节判断命题“周长长，面积大”对于小学生来说难度较大，因此教师分别展示如图1所示3组图让学生观察得出命题不一定正确的结论．第二个环节凹凸图形面积大小比较，也是以教师教为主，给出了3组图形，其中一组如图2所示．这两个环节都顺利得出了结论，学生对图形的周长和面积的关系及图形凹凸认识得非常深刻，但是整个过程靠教师教得，学生思考和探究缺乏．第三个环节关于周长相等的长方形面积最大问题，教师设计的是用固定长度的篱笆围最大面积的长方形糖源基地的实际问题，要求学生在白纸上画图形解决，由于引导不够，全班只有5个学生画出了正方形，仅占总人数的16.13%（班级总人数为31）．有2个学生画出了长宽不同的3种长方形，而且在没有格子的白纸上画图，学生画出的图形单位不统一也无法数形结合比较大小．

图1 关于“周长长 面积大”命题判断图形

图2 第二次课凹凸图形面积比较

第二次课后，教师发展指导者指出，关于图形凹凸问题，小学生的认识可以粗浅一点，教学不用在图形的凹凸上太深入，但结论最好是由学生自己探究得出来的，教师应该是恰当引导而不是包办一切．第三次课，经验教师接受了教师发展指导者的建议，通过从长方形上剪掉一块感受周长和面积的区别，总共涉及图3所示3种剪法，第一种剪法由教师给出，后两种剪法由学生探究．为进一步让学生感受周长相等凸图形面积大，教师展示如图4所示被弧线分割的正方形，让学生比较两部分周长和面积的大小．关于周长相等的长方形面积最大问题，仍然是解决用固定长度篱笆围出面积最大的长方形糖源基地的问题，但是改进为在虚线格子纸上画各种长方形，并经过了教师的恰当引导，结果有15个学生画出4种情况的长方形（如图5），并得出正方形面积最大的结果，占班级总人数的33.33%（第三次执教班级总人数为45），比第二次课多了17.2%．最后在教师的引导下，有85%的学生数形结合得出了“当长方形周长相等时，长与宽越接近，面积越大；长与宽相等时，面积最大”的结论．

图3 区分周长和面积图形

图4 第三次课凹凸图形面积比较

图5 第三次课学生作业纸剪辑

3.2 关于学具的使用

关于学具的使用，教材用的是火柴棒．用火柴棒摆图形实际操作中存在很多问题，如出现歪斜等情况．布鲁纳认知思维发展的三水平理论指出，儿童的认知需要经历一个具象到表象再到抽象的数学化过程．学生在初学周长、面积概念时，可以选用火柴棒、小方块等具象的学具来帮助理解，到研究周长与面积的关系时，学生对周长和面积的认识已经达到表象水平，这个时候再用火柴棒进行具象操作是认知的倒退，可以采取在虚线格子纸上画图形这种表象的方法[5]．

职初教师第一次课用的是摆小棒的方法，结果学生摆图形的时候出现如图6所示小棒东倒西歪等问题，费时而且效果不理想，摆火柴棒估计也会出现类似情况．而且由于小棒比较长，在摆小棒组成的长方形时出现了超出桌面的情况．经验教师3次课都没有使用火柴棒，经历两次课的改进和磨合，第三次课在探究不凹的图形面积较大时采取剪方格纸和课件演示相结合的方法，在探究周长相等的长方形什么时候面积最大时采用在虚线格子纸上画图的方法，结果学生很成功地画出了所有的长方形，并比较出了面积大小、顺利得出了结论．

图6 学生摆小棒

3.3 对长方形和正方形的面积与周长教学的启示

关于“面积与周长”的学习，学生常出现的两个问题是混淆周长与面积的运算公式以及误认为周长大面积也一定大．“长方形、正方形的面积与周长”教学实验成功地解决了第一个问题，通过强调周长、面积运算的实质使学生完全区分了周长和面积公式，并且实现了从“周长三要素”的学习到“面积三要素”学习的有效迁移[4]．

实验中顺利解决了第二个问题，并且为学生以后逐步认识等周问题埋下了伏笔．在实验的研究过程中也发现，长方形、正方形的面积与周长公式虽然只是个形式，重要的是面积、周长运算的实质，但在后续的学习及应用中还是要用到公式，如根据长方形的周长来确定长和宽，没有长方形的周长公式则比较难解决．因此“长方形、正方形的面积与周长”的教学，正确的途径是在强调周长、面积运算实质的基础上得出运算公式，实现理解基础上的记忆．

4 总结与建议

4.1 教师的学科知识不完善

在实验的研究过程中发现，很多一线教师的数学学科知识是不完善的．如教师对凸图形的概念是有误解的，认为鼓出来的图形如“凸”字图形是凸图形，对于等周问题更是一无所知．作者曾访谈过某地方院校数学与应用数学专业大三的学生，发现有三分之二的学生也不知道凸图形的概念，而等周问题也没有一个学生知道．关于凹凸图形的有关概念及等周问题小学生只要有个初步认识就可以了，但教师对相关知识应该是非常清楚的．无论是职前教师培养还是教师在职培训都需要加强数学学科教学知识的教学．

4.2 探究教学需要把握度的问题

探究教学是新课程改革提倡的教学方式之一，目前有一些中小学在实施探究教学，但很多所谓的探究教学是存在问题的．如实验研究发现一线教师对于探究的度的把握是存在问题的．这里的度关系到两个方面，一个是探究进行到什么程度，另一个是教师引导到什么程度．这个度要紧紧依赖学情，也就是探究应该符合学生的年龄特点，是学生力所能及的．如经验教师的第二次课对凹凸图形的要求就超出了学生的年龄段，只能采取教师灌输的方法．关于恰当引导对探究教学的重要作用，顾泠沅教授曾一再强调，有关实验也验证了其效果[7]．但教学中怎样引导才算恰当、究竟该引导到什么程度，很多一线教师是存在困惑的．如经验教师的教学，第一次课和第二次课的前两个主要环节都是教师过分地引导，学生没有经历思考和探究的过程，第二次课的第三个主要环节又缺乏引导导致学生探究“误入歧途”．第三次课，才真正实现了教师恰当引导下的有效探究[8-13]．

4.3 小学数学教学数和形的结合不容忽视

数与形的结合是数学教学的主线之一，作者在进行“长方形、正方形的面积与周长”教学实验时曾发现小学教学中存在数和形脱离的现象[4]．经验教师的第一次课没有注重数与形的结合，学生在探究“周长与面积的关系”时遇到挫折．改进后的第三次课，通过数与形的有机结合，学生很容易区分了周长和面积，弄明白了周长相等的图形中不凹的（凸）图形面积较大，并顺利得出了“周长相等的长方形，长和宽越接近的时候面积越大，正方形时面积最大”的结论．

致谢：感谢义乌市义亭镇义亭小学对本研究的支持．

[1] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2001：7．

[2] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：1．

[3] 顾非石，俞宏毓，顾泠沅．探究学习的设计与改进——关于一个课例的述评[J]．课程·教材·教法（义教课标解读与教学建议专辑），2012，32（增刊）：116-119．

[4] 俞宏毓．“长方形、正方形的面积与周长”教学指导研究报告[J]．数学教育学报，2014，23（3）：71-75．

[5] 俞宏毓．教师发展指导者工作的案例研究[D]．上海：华东师范大学，2013：6．

[6] 顾泠沅，王洁．以课例为载体引领教师发展[J]．人民教育，2003（6）：24-34．

[7] 俞宏毓，顾非石．关于“扇形的面积”的教学指导研究报告[J]．数学教育学报，2013，22（2）：44-48．

[8] 张玲，刘静．解代数应用题的认知模型建构[J]．数学教育学报，2017，26（1）：64-69．

[9] 史宁中，娜仁格日乐．小学数学教科书中的比及其教学[J]．数学教育学报，2017，26（2）：1-5．

[10] 孔海燕，孙雨，宋广文．小学生近似数量表征系统和工作记忆与数学成绩的关系[J]．数学教育学报，2017，26（2）：14-16．

[11] 周淑红，王玉文．小学数学核心素养的特质与建构[J]．数学教育学报，2017，26（3）：57-61．

[12] 陈奕桦，付倩兰．教学方法对小学生数学课堂参与度影响的实证分析[J]．数学教育学报，2017，26（4）：80-82．

[13] 徐建星．小学教育专业数学教育类课程的构建——基于MKT的视角[J]．数学教育学报，2017，26（5）：54-56

Design and Improvement of Inquiry Teaching——A Case Study about the Relationship of Area and Perimeter

YU Hong-yu1, ZHU Xiang-yang2, GU Ling-yuan3

(1. Department of Mathematics, Shaoxing College of Arts and Sciences, Zhejiang Shaoxing 312000, China; 2. Yiwu Experimental Primary School, Zhejiang Yiwu 322000, China;3. Shanghai Institute of Educational Science, Shanghai 201700, China)

Area and Perimeter was one of the most popular concern teaching subjects.By the end of 2015, we chose the relationship of area and perimeter as teaching subject, and then carried out inquiry teaching in a primary school of Yiwu. The purpose of teaching materials was to promote students not only to distinguish area and perimeter but also to preliminary understanding perimeter equal graphics by means of exploration.andbothemphasize the importance of inquiry teaching. But in the process of implementation, we found some inquiry teaching was problematic. This time, experiencing three times teaching and improvement, we achievedproperly guided effective exploration.

conduct; area and perimeter; inquiry

[责任编校：周学智]

2017–12–11

浙江省2016年高等教育教学改革研究项目——理论水平和实践技能的双重提升——数学教育类课程教学改革研究（jg20160170）；绍兴市教育科学2018年规划课题——数学与应用数学专业师范生教学技能培养研究（SGJ2018013）；浙江省2017年教育科学规划重点课题——关于教师发展指导工作的实证研究（2017SB066）

俞宏毓（1977—），女，安徽宁国人，副教授，教育学博士，主要从事数学教育、教师教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）01–0068–04

俞宏毓，朱向阳，顾泠沅．探究教学的设计与改进——以“面积与周长的关系”教学为例[J]．数学教育学报，2018，27（1）：68-71．