高中力学中极值问题解法的探讨①

(山东省肥城市第一高级中学,山东 肥城 271600)

在高中力学习题中，经常遇到求物理量的极值问题，这会涉及力学量的临界问题，解决此类问题的基本思维方法是假设推理法，即先假设条件成立，从而把比较隐蔽的临界条件或各种可能性“暴露”出来，然后再根据物理规律及有关知识列方程求解，主要有以下几种方法。

1 解析法

图1

例1:如图1所示，摆球质量为m、摆长为L的单摆由水平状态开始下摆，在摆到竖直状态的过程中，摆球所受重力的瞬时功率如何变化？何处取得最大值？

解析：摆球所受重力的瞬时功率P用重力G和重力方向的速度vy的乘积表示，即P=Gvy，开始时摆线在水平状态，摆球初速度为零，重力的瞬时功率为零，当摆线到达竖直状态时，摆球速度虽然最大，但方向沿水平方向，竖直方向的分速度为零，故重力的瞬时功率仍为零。由此可见，摆线由水平状态开始下摆，在到达竖直状态的过程中，摆球所受重力的瞬时功率从零增大、再减小到零，此过程中重力的瞬时功率存在最大值。究竟何处最大呢？我们不妨设θ为摆线与水平方向的夹角，此时摆球速度为v。

点评：本题讨论了小球摆动过程中的瞬时功

率问题，利用三角函数展开讨论是一种重要的常规方法，在三角函数的处理过程中，巧妙地利用数学不等式能快速地求解极值问题，并避免陷入了一种“想当然”的误区。

2 三角函数法

图2

点评：三角函数配角法求极值是数学中常用的方法，它在物理问题解决中有着较为广泛的应用价值。根据物理问题用三角函数列出方程后，将三角函数中的自变量进行配角，整理化成两角和的正弦或余弦，便能得到函数的极值。当得出的式子不是典型的函数类型时，可通过等效变换进行转化，利用三角函数公式把所列的方程简化，变成仅含单个三角函数的式子，然后利用三角函数的性质解决问题。

3 图解法

图解法是一种利用几何图形解决物理问题的方法，解答共点力的动态平衡问题时常用图解法，其优点是简捷、方便、直观。可以化繁为简，化难为易，提高解题的效率。

如用三角形定则分析力的最小值：① 当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。如图3甲所示，F2的最小值F2min=Fsinθ。

图3

② 当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是所求分力F2与合力F垂直，如图3乙所示，F2的最小值F2min=F1sinθ。

③ 当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为|F-F1|。

图4

例3：如图4所示，半径为R，质量为m的均匀球体紧贴竖直墙壁放置，在球体的左下方有一厚为h的木块(h

图5

点评：本题求解球体脱离地面时水平推力的最小值，采用了三角形定则，把问题转化为矢量三角形的临界条件。用三角形定则解题是一个比较方便、直观地计算最小值的方法，而矢量运算始终贯穿整个高中物理的学习过程，掌握好三角形定则在解题中的应用技巧，将使学生的解题能力得到提升。

综上所述，应用数学知识处理物理问题是高考考查的能力之一，灵活地运用多种数学方法求解物理的极值问题，是中学物理教学的难点，在平时的教学中，应高度重视，及时总结，适时渗透数学思想。

[1] 丁勇.高中物理常见的极值问题解法探究[J].课程教育研究,2016，(21).

[2] 周宏建.例析高中物理极值问题的求解方法[J].中学生数理化,2016,(11).

[3] 鲁信.高中物理极值问题求解的两种思路[J].新高考(高三理化生),2013,(2).