澄清教材中关于圆周运动的四个模糊点①

(中央民族大学理学院，北京 100081)

“圆周运动”是一种特殊的曲线运动形式，从人教版高中物理必修二第五章第4节的教材(以下简称教材)编排来看,圆周运动是在学习了曲线运动及平抛运动之后学习的,它既拓展了平面曲线运动的知识层次,也为后面讲述天体运动创设了条件[1]。从高考的命题来看,计算题经常涉及圆周运动向心力、向心加速度等相关物理量的计算,压轴题多采用带电粒子在电磁场中做圆周运动的物理模型。可见,圆周运动在中学物理中占有十分重要的地位。从已有研究来看,对涉及圆周运动向心力、向心加速度的物理模型分析较多,对基本概念的研究则较少。明确物理量的基本定义是学好高中物理的基础[2]，本文从教材和生活实际出发,分析本节内容在教材中的知识脉络,指出教材中的四个模糊点，提出相应的解决办法,以求更好地回归教材,体现出教材的指导作用。

1 圆周运动的定义

在物理学中,把质点的运动轨迹是圆或者圆弧的运动叫做圆周运动。但是人教版教材中并没有对圆周运动的定义进行说明,仅是采用生活中的实例,如用“电风扇的叶片”“时钟的指针”“地球绕太阳的运动”等让学生感知圆周运动。由于学生个体存在差异,从感性认识上升到理性认识以及建构知识的能力不同,对圆周运动的概念可能存在认识上的误区。主要体现在以下两个方面:一是如何判断质点做圆周运动?另一个是质点的运动轨迹一定要是一个完整的圆吗?

为此我们可以设计这样一个问题给学生:“自行车在行进过程中,其车轮上某一点的运动是否为圆周运动?”以下我们通过对自行车车轮运动时的轨迹、速度等问题进行探讨,深化学生对“圆周运动”这一概念的理解。

1.1 自行车在水平路面上沿直线行驶

(1) 以地面为参考系,研究自行车车轮上某点的运动状态

当自行车在水平路面上沿着直线行驶时,以地面为参考系,车轮上一点A的运动轨迹如图1所示。

图1

现截取运动轨迹的一部分进行分析,建立图2所示的直角坐标系,起点O为坐标原点,点C为车轮的轴心,令车轮半径为r,点A坐标为(x,y)。一段时间后,点A转过的角度为θ,则可通过数学运算求得点A的运动学方程,进而判断点A的运动轨迹。由以上条件易得:CD=rcosθ,AD=rsinθ,OE=rθ。则可求得:x=OB=OE-BE=OE-AD,y=AB=DE=CE-CD,即:x=rθ-rsinθ,y=r-rcosθ。

图2

以上即为点A的运动学方程,显然当以地面为参考系时,点A的运动轨迹并不是圆,而是摆线。经以上分析可知，当以地面为参考系时,沿直线行驶的自行车车轮上的任意一点的运动均不是圆周运动。

(2) 以轮轴为参考系,研究自行车车轮上某点的运动状态

当自行车在水平路面上沿直线行驶时,以轮轴为参考系,此时车轮上任一点A的运动轨迹如图3所示,是一个以C为圆心、以AC为半径的圆。由此可见,此时车轮上任一点(不包括轴心)均做圆周运动。

图3

1.2 自行车倒放时拨动车轮,以地面为参考系,研究自行车车轮上某点的运动状态

拨动车轮后如图4所示,显然此时车轮上(不包括轴心)的各点运动轨迹均为圆或圆弧,则以上各点均绕轴心做圆周运动。

图4

1.3 教学启示

在讲解圆周运动的概念时,判断质点是否做圆周运动的关键之处就是看质点运动的轨迹。教材在引入这部分内容时,采用了与生活实际相联系的很多示例,引导学生能从中得出正确的结论。对于质点的运动轨迹一定要是一个完整的圆的问题,多数学生受实际生活问题中前概念的影响,其科学思维可能还没有达到一定层次,在抽象质点等某些物理模型时容易遇到困难[3]。当运动轨迹为一段圆弧时,质点做的仍然是圆周运动。比如开门时,将门把手抽象成质点,门把手的运动轨迹是一段圆弧,它的运动也是圆周运动。

2 线速度的讲解脉络

人教版教材在呈现线速度的定义及相关内容时,与必修一第一章第三节介绍速度时的脉络类似,经整理如图5所示。

图5

但是,在具体问题的引入和介绍上略显模糊。首先,人教版教材在介绍速度的概念时,仅强调速度是位移与所用时间的比值,没有对时间长短提出要求,而在引入线速度时,教材对线速度的定义中重点强调了“极短时间”内物体通过的弧长。即时间应趋近于零,线速度具有瞬时性,即为瞬时线速度[4]。其次,教材紧接着提出线速度的分类,即平均线速度和瞬时线速度,时间趋近于零是瞬时线速度的计算前提,而平均线速度则需要一定时间的积累,显得教材前后内容冲突。此外,教材随后再次提出当时间趋近于零时,其即为瞬时速度,这里前后内容又有重复。

在实际教学过程中,我们建议可以分开介绍线速度的大小和方向。不妨采用教材中提到的微元法,通过瞬时速度直接引入线速度的定义,这样既承接了前面所学的速度，也便于学生理解线速度的矢量性。关于线速度的方向,可首先引导学生进行定性的分析,基于其对曲线运动的学习,他们已经掌握曲线运动的方向与轨迹相切的一般规律。圆周运动不过是一种特殊的曲线运动,则其线速度的方向也应与圆相切。再应用微元法进行证明,当时间趋近于零时,圆弧所对圆心角也趋近于零,根据三角形内角和为180°,就可说明此时运动方向与半径垂直,即线速度方向与圆相切。当圆上任意一点线速度的“大小”处处相等时,即为匀速圆周运动，在此处强调“匀速”是指质点的速率不变[5]。而平均线速度在高中阶段并不常见,最后做简单介绍即可。这样便于学生对知识进行梳理,形成清晰的学习脉络。

3 角速度的引入

图6

在运动学中,选取恰当的坐标系以及相应的物理量,对于探讨物理问题,具有事半功倍的效果。对于直线运动,可建立直线坐标系,对平抛运动则可通过运动分解“化曲为直”,在平面直角坐标系中处理。以上均是从“线量”的角度对物体的运动加以描述。但有人认为“化曲为直”的方法不适用于圆周运动,为此有必要引入新的物理量——角速度,从“角量”入手来描述物体圆周运动[6]。

设质点在如图6所示的平面内,绕点O做圆周运动,轨道半径为R。以x轴为参考方向,当该质点经时间Δt由M运动到N时,初始角位置为θ,角位移为Δθ。

4 线速度与角速度关系式的推导方法

5 结语

本文对教材中圆周运动这一节的知识细节和脉络进行剖析,明确物理量的定义是学生学好物理的基础。回归教材才能更好地帮助学生扫清学习的盲点和模糊点。就本节内容而言,无论是圆周运动的定义、线速度的讲解、匀速圆周运动的介绍,还是角速度的引入及其与线速度关系的推导,都需要以教材为依托,使教学过程环环相扣。深刻理解教材中微元思想，并实际应用于教学活动中,有助于教师讲清楚圆周运动的几个模糊点,更好地完成教学任务。

[1] 段祝霞.重视体验与探究有效突破教学重难点—五版本教材圆周运动对比分析[J].物理教学探讨,2016,(3):42-44.

[2] 王爱华.一切从定义出发,再谈匀速圆周运动速度方向的变化率[J].物理教师,2012,(4):47.

[3] 郑清岳.怎样对待学生错误的前概念[J].中学物理教学参考,2010,(5):2-4.

[4] 朱亚.“匀速圆周运动”的教学探讨[J].物理教师,2011,(10):18-19.

[5] 杨绍征,徐以玲.剖析处理圆周运动问题中的四个误区[J].物理教学,2011,(6):42-44.

[6] 张婷玉,陈清梅,邢红军.圆周运动的高端备课[J].首都师范大学学报(自然科学版),2015,(6):22-24.