借助画图和审题化解学生错误认知——以“数学广角——植树问题”的教学为例

江西赣州市上犹县第二小学（341200）

【问题提出】在人教版教材五年级上册第七单元“数学广角——植树问题”的教学中，学生通过课堂学习都能掌握“两端都种”“两端都不种”“只种一端”这三种情况的解决方法，但是当他们在做练习，如“一段公路长3600米，在公路两旁每隔10米栽一棵杨树。从头至尾，一共可以栽多少棵杨树？”时常会出现以下错误解答：（1）3600÷10=360（个），即一共要种360棵杨树；（2）3600÷10=360（个），360+1=361（棵），所以要种361棵杨树；（3）3600÷10=360（个），360-1=359（棵），所以要种359棵杨树。

面对学生出现的各种错误解答，我访谈了部分学生，发现他们或没有理解“植树问题”的解法，或没有认真读题和审题，不理解“两旁”的意思。

【本质探求】一般情况下，“植树问题”可以分为以下三种情况：如果路的两端都植树，那么植树的棵数要比间隔数多1，即“棵数=间隔数+1”；如果只在路的一端植树，那么植树的棵数与间隔数相等，即“棵数=间隔数”；如果路的两端都不植树，那么植树的棵数比间隔数少1，即“棵数=间隔数-1”。除此之外，还有两种情况：如果在正方形场地的边上植树，且每个顶点都要植树，那么棵数=（每边的棵数-1）×边数；如果在圆形场地的边上植树，那么棵数与间隔数相等，即棵数=间隔数。

在解决“植树问题”时，通常采用画图的策略。在画图时，用点来表示树，用线段来表示树与树之间的间隔，这样就能将“植树问题”转换成一条封闭或非封闭线段上“点”与“线”之间的关系。

【教学反思】导致这些错误的主要原因有二：一是学生死记硬背“植树问题”中的公式，没有多角度分析“植树问题”的不同情况；二是学生审题不认真，忽略题目中的“两旁”，只计算了一端要栽的树。

1.借助画图策略帮助学生建立“植树问题”模型

为了帮助学生更好地理解“植树问题”，我先出示小问题“20米小路，每5米分一段，共分几段？”，引出平均分，为后面植树问题的分段解答做铺垫；再出示大问题“20米路，每5米种一棵树，可以种多少棵树？”，此时学生会根据题意得到三种不同的方法：20÷5=4（棵）；20÷5=4（段），4+1=5（棵）；20÷5=4（段），4-1=3（棵）；然后再结合具体的示意图帮助学生理解：只在路的一端种树时，间隔数与棵数相同；两端都种时，棵数等于间隔数加1；两端都不种时，棵数等于间隔数减1。为了帮助学生抽象出简单的图形，我引导他们把树看成点，把树与树之间的间隔用线段来表示，这样，实物图就变成了简单的“点—线”图，而且学生在边画边想的过程中厘清了间隔数与棵数之间的关系，也能列式解决问题。最后，我增加题目的难度，出示问题“这条路有100米，每5米种一棵树，可以种多少棵树？”。通过这道题，引导学生借助画图解题，学生不仅可以概括出“植树问题”中的三种不同类型，还能总结出“植树问题”的规律和建立“植树问题”模型。

2.借助圈画培养学生仔细读题和审题的能力

数学阅读是数学学习中的重点内容之一，因此，教师要为学生提供开展数学阅读的学习材料和学习时间，并且教给他们数学阅读的方法。

例如，在阅读上述题目时，教师可引导学生通过圈一圈、画一画找出题目中的关键词并读懂关键词的含义，如对于关键词“两旁”，要求学生在阅读时加以标注，要在计算出“一旁”的结果后乘2；对于关键词“从头至尾”，要求学生在阅读时知道是整段公路的长度，而不是部分公路的长度；对于关键词“每隔10米”，要求学生在阅读时知道一棵树与另一棵树之间的距离是10米。学生只有在阅读中关注到这些关键词，才能正确地将题意转变成示意图。

当学生养成仔细读题、认真审题的习惯和具备解决问题的能力后，他们才会快速地寻找到解决问题的突破口，从而有效解决“植树问题”。如上述题目，教师可引导学生先根据已知条件“3600米长的公路上每隔10米栽一棵树”计算出共有3600÷10=360（个）间隔。又因为是从头至尾栽树，意味着“两端都种”，所以栽的棵数应比间隔数多1，则一旁栽的棵数是360+1=361（棵）。根据题目“两旁都栽树”，所以再乘2就能计算出一共栽的棵数是361×2=722（棵）。

总之，教师在“植树问题”的教学中，应重视对学生审题习惯和能力的培养，注重引导学生通过画图来理解题意，从而促进学生有效解决问题，发展数学思维。