关于讨论含参函数单调性的一点看法

王 敏（陕西省汉中市略阳县天津高级中学，陕西 汉中）

一、方法探寻

我们在讨论含参函数单调性时常常借助导数这个工具，我们对原函数求导，最后讨论导函数值的正、负情况，从而确定原函数的单调性，而讨论导函数值的正、负情况归根结底就是讨论导函数图像的正、负分布。下面我就函数图像正、负分布的分类讨论方法归纳如下几个步骤介绍给大家。

分类点一：讨论图像类型：（1）水平直线型；（2）二次函数型；（3）单调型。

分类点二：讨论根分布：（1）讨论根个数；（2）讨论根与“讨论区间”关系（讨论区间由函数定义域确定）；（3）讨论根与根的关系（此步骤至少要有二个根）。

分类点三：讨论图像的“走势”（走势指图像根据参数取值来确定其样子）

二、实践应用

例：研究f（x）=（x-a）（x+1）在R上的正、负分布

分析：分类点一：讨论图像类型：确定为二次函数型。

分类点二：讨论根分布：①讨论根个数，当a=-1时，一个根。当a≠-1时，有两个根x1=a，x2=-1。②讨论根与“讨论区间”关系，a，-1∈R③讨论根与根的关系，a＜-1（x1＜x2），a＞-1（x1＞x2）。

解：令f（x）=0，则x1=a，x2=-1当a=-1时，x∈R，f（x）≥0

当a＜-1时，x∈（-∞，a）∪（-1，+∞），f（x）＞0，x∈（a，-1），f（x）＜0.

当a＞-1时，x∈（-∞，-1）∪（a，+∞），f（x）＞0，x∈（-1，a），f（x）＜0.

从以上过程可以看出，解决此类分类讨论问题，只要严格按照三大分类点，同学们就会分类目标明确，思路清楚，有点可依，而不是无处下手。

三、推广延伸（真题练习）

分类点一：讨论图像类型：①当k=0时，单调型。②当k≠0时，二次函数型。

分类点二：讨论根分布：①讨论根个数，当k=0时，一个根。当k≠0 时，有两个根②讨论根与“讨论区间”关系，当 k=0 时，x=0∈（-1，+∞），当 k＞0 时，x1，x2∈（-1，+∞），当 k＞0时，x1∈（-1，+∞），x2∉（-1，+∞），③讨论根与根的关系，当 k=1时，x1=x2=0，当 0＜k＜1 时，x1＜x2，当 k＜0 或 k＞1 时，x1＞x2.

分类点三：讨论图像的“走势”：

令 g（x）=kx2+（k-1）x，当 k=0 时，x∈（-1，0）时，g（x）＞0，x∈（0，+∞）时，g（x）＜0

当 k=1 时，x∈（-1，∞）时，g（x）≥0

当 k＜0 时，x∈（-1，0）时，g（x）＞0，x∈（0，+∞）时，g（x）＜0

综上可知：当k≤0时，f（x）在（-1，0）上是增加的，在（0，+∞）上是减少的。

当k=1时，f（x）在（-1，+∞）上是增加的。

从上例可以看出，无论多么复杂的含参讨论问题只要按照以上步骤走下去都可以找到分类的标准，即分类的尺子。而且按此步骤走，条理性很强，避免无了无从下手的感觉。